人教版八年級數(shù)學11章-三角形教案

第十一章三角形

11.1.1三角形的邊

［教學目標］1、了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三角形；2、理

解三角形三邊不等的關系，會判斷三條線段能否構成一個三角形,并能運用它解決有關的問題.

［重點難點］三角形的有關概念和符號表示，三角形三邊間的不等關系是重點；用三角形三邊不等關

系判定三條線段可否組成三角形是難點。

［教學過程］

一、情景導入

三角形是一種最常見的幾何圖形，如古埃及金字塔，香港中銀大廈，交通標志，等等，處處都有三角

形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有關概念

不在一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

注意：三條線段必須①不在一條直線上，②首尾順次相接。

組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內角，簡稱角，相鄰兩邊的公

共端點是三角形的頂點。

三角形ABC用符號表示為AABC。三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示，頂點B所對的邊

AC可用b表示，頂點A所對的邊BC可用a表示.

三、三角形三邊的不等關系

任意畫一個AABC,假設有一只小蟲要從B點出發(fā)，沿三角形的邊爬到C,它有幾種路線可以選擇?各條

路線的長一樣嗎?為什么？

有兩條路線：（1）從B-C,（2）從B—ATC；不一樣，AB+AOBC①；因為兩點之間線段最短。

同樣地有AC+BOAB②

AB+BOAC③

由式子①②③我們可以知道什么？

三角形的任意兩邊之和大于第三邊.

四、三角形的分類

我們知道，三角形按角可分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形，我們把銳角三角形、鈍角三角

形統(tǒng)稱為斜三角形。

按角分類：

三角形f直角三角形

I斜三角形（銳角三角形

I鈍角三角形

那么三角形按邊如何進行分類呢？請你按“有幾條邊相等”將三角形分類。

三邊都相等的三角形叫做等邊三角形：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

頂角

三邊都不相等的三角形叫做不等邊三角形。

顯然，等邊三角形是特殊的等腰三角形。flyW

底角L------'底角

按邊分類：

三角形f不等邊三角形底功

t等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

I等邊三角形

五、例題

例用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形。（1）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多

少？（2）能圍成有一邊長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？

分析：（1）等腰三角形三邊的長是多少？若設底邊長為xcm,則腰長是多少？（2）“邊長為4cm”

是什么意思？

解：（1）設底邊長為xcm,則腰長2xcm?

x+2x+2x=18

解得x=3.6

所以，三邊長分別為3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）如果長為4cm的邊為底邊，設腰長為xcm,則

4+2x=18

解得x=7

如果長為4cm的邊為腰，設底邊長為xcm,則

2X4+x=18

解得x=10

因為4+4<10,出現(xiàn)兩邊的和小于第三邊的情況，所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形。

由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰三角形。

五、課堂練習

課本練習1、2題。

六、課堂小結

1、三角形及有關概念；

2、三角形的分類；

3、三角形三邊的不等關系及應用。

作業(yè)：

課本1、2、67題。

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

（教學目標）1、經(jīng)歷畫圖的過程，認識三角形的高、中線與角平分線；

2、會畫三角形的高、中線與角平分線；3、了解三角形的三條高所在的直線，三條中線，三條角平分線分別

交于~1點.

（重點難點）三角形的高、中線與角平分線是重點；三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，畫鈍角

三角形的高是難點.

（教學過程）

一、導入新課

我們已經(jīng)知道什么是三角形，也學過三角形的高。三角形的主要線段除高外，還有中線和角平分線

值得我們研究。

二、三角形的高

請你在圖中畫出4ABC的一條高并說說你畫法。

從4ABC的頂點A向它所對的邊BC所在的直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫做4ABC的邊

BC上的高，表示為ADLBC于點D。

注意：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

請你再畫出這個三角形AB、AC邊上的高，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

三角形的三條高相交于一點。

如果aABC是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？

現(xiàn)在我們來畫鈍角三角形三邊上的高，如圖。

///F\

顯然，上面的結論成立.

請你畫一個直角三角形，再畫出它三邊上的高。DC

上面的結論還成立。

三、三角形的中線

如圖，我們把連結AABC的頂點A和它的對邊BC的中點D,所得線段AD叫做AABC的邊BC上

的中線，表示為BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

請你在圖中畫出4ABC的另兩條邊上的中線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？

三角的三條中線相交于一點。

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。

上面的結論還成立。

四、三角形的角平分線

如圖，畫NA的平分線AD,交NA所對的邊BC于點D,所得線段AD叫做^ABC的角平分線，表示

為NBAD=/CAD或/BAD=NCAD=1/2NBAC或2NBAD=2NCAD=NBAC。

思考：三角形的角平分線與角的平分線是一樣的嗎？

三角形的角平分線是線段，而角的平分線是射線，是不一樣的。

A

請你在圖中再畫出另兩個角的平分線，看看有什么發(fā)現(xiàn)？/

三角形三個角的平分線相交于一點。

如果三角形是直角三角形、鈍角三角形，上面的結論還成立嗎？請畫圖回答。//

上面的結論還成立。BDC

想一想：三角形的三條高、三條中線、三條角平分線的交點有什么不同？

三角形的三條中線的交點、三條角平分線的交點在三角形的內部，而銳三角形的三條高的交點在三角

形的內部，直角三角形三條高的交戰(zhàn)在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部。

五、課堂練習

課本練習1、2題。

六、課堂小結

1、三角形的高、中線、角平分線的概念和畫法。

2,三角形的三條高、三條中線、三條角平分線及交點的位置規(guī)律。

作業(yè)：

課本3、4；8、9題

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

［教學目標］1、知道三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性；2、了解三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中

的應用。

［重點難點］三角形穩(wěn)定性及應用。

［教學過程］

一、情景導入

蓋房子時，在窗框未安裝之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條，為什么要這樣做呢？

二、三角形的穩(wěn)定性____________

〔實驗〕1、把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會

改變嗎？IX

AFT■

(1)

不會改變。

2、把四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

會改變。

3、在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？

不會改變。

從上面的實驗中，你能得出什么結論？

三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有穩(wěn)定性。

三、三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定的應用

三角形具有穩(wěn)定性固然好,四邊形不具有穩(wěn)定性也未必不好，它們在生產(chǎn)

和生活中都有廣泛的應用。如:

(3)

鋼架橋屋頂鋼架

活動掛架

鋼架橋、屋頂鋼架和起重機都是利用三角形的穩(wěn)定性，活動掛架則是利用四邊形的不穩(wěn)定性。

你還能舉出一些例子嗎？

四、課堂練習

1、下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）

A正方形B長方形C直角三角形D平行四邊形

2、要使下列木架穩(wěn)定各至少需要多少根木棍？

nao

四邊形木架五邊形木架六邊形木架

3、課本練習。

作業(yè)：510題。

11.2.1三角形的內角

【教學目標］掌握三角形內角和定理。

［重點難點］三角形內角和定理是重點；三角形內角和定理的證明是難點。

【教學過程］

一、導入新課

我們在小學就知道三角形內角和等于180°,這個結論是通過實驗得到的，這個命題是不是真命題還需

要證明，怎樣證明呢？

二、三角形內角和的證明

回顧我們小學做過的實驗，你是怎樣操作的？

把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處，用量角器量出

NBCD的度數(shù)，可得到/A+/B+NACB=180°。

想一想，還可以怎樣拼？

①剪下/A,按圖（2）拼在一起，可得到/A+/B+/ACB=180°。

圖2

②把N8和NC剪下按圖（3）拼在一起，可得到/A+/B+NACB=180°。

如果把上面移動的角在圖上進行轉移，由圖1你能想到證明三角形內角和等于180°的方法嗎？

已知△ABC,求證：ZA+ZB+ZC=180°o

證明一

過點C作CM〃AB,則NA=/ACM,ZB=ZDCM,

又NACB+ZACM+ZDCM=180°

ZA+ZB+ZACB=18Oo?

即:三角形的內角和等于180°。

由圖2、圖3你又能想到什么證明方法？請說說證明過程。

三、例題

例如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°

方向，從C島看A、B兩島的視角NACB是多少度？

分析：怎樣能求出NACB的度數(shù)？

根據(jù)三角形內角和定理，只需求出/CAB和/CBA的度數(shù)即可。

NCAB等于多少度？怎樣求NCBA的度數(shù)？

解：/CBA=NBAD-/CAD=80°-50°=30°

VAD//BEZBAD+ZABE=180°

ZABE=180o-ZBAD=180o-80°=100<,

，ZABC=ZABE-ZEBC=1OOo-4O°=6O°

NACB=180°-NABONCAB=180°-60°-30°=90°

答：從C島看AB兩島的視角NACB=180°是90°。

四、課堂練習

課本1、2題。

作業(yè)：

1、3、4；7、9題。

11.2.2三角形的外角

［教學目標］1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性質，能利用三角形外角的性質解決問題。

|重點難點］三角形的外角和三角形外角的性質是重點；理解三角形的外角是難點。

［教學過程］

一、導入新課

［如圖，AABC的三個內角是什么？它們有什么關系？

是NA、/B、ZC,它們的和是180°?

若延長BC至D,則NACD是什么角？這個角與AABC的三個內角有什么關系？

二、三角形外角的概念

/ACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有幾個？

共有六個。A

注意：每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角。研究與三角形八H外

角有關的問題時，通常每個頂點處取一個外角./\/

三、三角形外角的性質/X*z

容易知道，三角形的外角/ACD與相鄰的內角NACB是鄰補口/---------V_L_D角，

bc

那與另外兩個角有怎樣的數(shù)量關系呢？

〕如圖，這是我們證明三角形內角和定理時畫的輔助線，你能就此圖說明NACD與/A、NB的關系

嗎？

；CE〃AB,.,.ZA=Z1,ZB=Z2

又NACD=N1+N2

.\ZACD=ZA+ZB

你能用文字語言敘述這個結論嗎？

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。

由加數(shù)與和的關系你還能知道什么？

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。AA

即ZACD>ZA,ZACD>ZB。

四、例題

例如圖，ZkN2、N3是三角形ABC的三個外角，它們的和是多少？/^2

分析：Z1與NBAC、N2與NABC、N3與/ACB有什么關系？NBAC、ABC、NACB有什么關系？

解：VZ1+ZBAC=18O°,Z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=18O°,

AZ1+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=54O°

XZBAC+ZABC+ZACB=180°

NI+N2+N3==360°。

你能用語言敘述本例的結論嗎？

三角形外角的和等于360°。

五、課堂練習

課本練習；

六、課堂小結

1、什么是三角形外角？A

2、三角形的外角有哪些性質？人

作業(yè)：\

課本1、2、5、6；8題。/\

BD

11.3.1多邊形C

［教學目標］1、了解多邊形及有關概念，理解正多邊形的概念.2、區(qū)別凸多邊形與凹多邊形.

［重點難點］多邊形及有關概念、正多邊形的概念是重點；區(qū)別凸多邊形與凹多邊形是難點。

［教學過程］

一、情景導入

看下面的圖片，你能從中找出由一些線段圍成的圖形嗎？

二、多邊形及有關概念

這些圖形有什么特點？

由幾條線段組成；它們不在同一條直線上；首尾順次相接.

這種在平面內，由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形。這就是說，一個多邊形由

兒條線段組成，就叫做兒邊形，三角形是最簡單的多邊形。

與三角形類似地，多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角，如圖中的NA、/B、ZC>ND、Z

Eo多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.如圖中的/I是五邊形ABCDE的一個外

角。［

連接多邊形的不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

四邊形有幾條對角線？五邊形有幾條對角線？畫圖看看。

你能猜想n邊形有多少條對角線嗎？說說你的想法。

n邊形有l(wèi)/2n(n-3)條對角線。因為從n邊形的一個頂點可以引n-3條對角線，n個頂點共引n(n

-3)條對角線，又由于連接任意兩個頂點的兩條對角線是相同的，所以，n邊形有l(wèi)/2n(n-3)條對角線。

三、凸多邊形和凹多邊形

如圖，下面的兩個多邊形有什么不同？

在圖(1)中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個圖形都在這條直線的同一側，這樣

的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖(2)就不滿足上述凸多邊形的特征，因為我

們畫BD所在直線，整個多邊形不都在這條直線的同一側，我們稱它為凹多邊形。

注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形.

四、正多邊形的概念

我們知道，等邊三角形、正方形的各個角都相等，各條邊都相等，像這樣各個角都相等，各條邊都相

等的多邊形叫做正多邊形。

下面是正多邊形的一些例子。

正三角形正方形正五邊杉正六邊杉

五、課堂練習

課本練習1。

2、有五個人在告別的時候相互各握了一次手，他們共握了多少次手？你能找到一個幾何模型來說明

嗎？

六、課堂小結

1、多邊形及有關概念。

2、區(qū)別凸多邊形和凹多邊形。

3,正多邊形的概念。

4、n邊形對角線有l(wèi)/2n(n-3)條。

作業(yè)：

11.3.2多邊形的內角和

［教學目標］1、了解多邊形的內角、外角等概念；2、能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公

式，并會應用它們進行有關計算.

［重點難點］多邊形的內角和與多邊形的外角和公式是重點；多邊形的內角和定理的推導是難點。

［教學過程］

一、復習導入

我們已經(jīng)證明了三角形的內角和為180°,在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數(shù)，知道四邊

形內角的和為360°,現(xiàn)在你能利用三角形的內角和定理證明嗎？

二、多邊形的內角和

如圖，從四邊形的一個頂點出發(fā)可以引幾條對角線？它們將四邊形分成幾個三角形？那么四邊形的內

角和等于多少度？

可以引一條對角線：它將四邊形分成兩個三角形；因此，四邊形的內角和=4人1?的內角和+Z\BDC的

內角和=2XI80°=360°。

類似地，你能知道五邊形、六邊形……n邊形的內角和是多少度嗎？

觀察下面的圖形，填空：

五邊形六邊形

從五邊形一個頂點出發(fā)可以引對角線，它們將五邊形分成三角形，五邊形的內角和等

于;

從六邊形一個頂點出發(fā)可以引對角線，它們將六邊形分成三角形，六邊形的內角和等

于;

從n邊形一個頂點出發(fā)，可以引—對角線，它們將n邊形分成三角形，n邊形的內角和等

于o

n邊形的內角和等于(n-2)?180°.

從上面的討論我們知道，求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求。現(xiàn)在以五邊形為例，

你還有其它的分法嗎？

分法一〔投影3〕如圖1,在五邊形ABCDE內任取一點0,連結0A、0B、0C、0D、0E,則得五個三

角形。

五邊形的內角和為5X180°—2X1800=(5—2)X1800=540°。

分法二如圖2,在邊AB上取一點0,連0E、0D、0C,則可以(5-1)個三角形。

五邊形的內角和為(5—1)X180°—180°=(5—2)X180°

如果把五邊形換成n邊形，用同樣的方法可以得到n邊形內角和=(n-2)X180°.

三、例題

例1如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關系？

如圖，已知四邊形ABCD中，ZA+ZC=180°,求NB與/D的關系.

分析：NA、/B、NC、/D有什么關系？

解:VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又NA+NC=180°

ZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

這就是說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補.

例2如圖，在六邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做

六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少？

如圖，己知Nl,N2,Z3,Z4,Z5,N6分別為六邊形ABCDEF的外角，求N1+N2+N3+N4+N5+

N6的值.

分析：多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的內角和是多少度？

解：VZ1+ZBAF=18O°Z2+ZABC=180°Z3+ZBAD=180°

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

AZ1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCDE+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X1800

又Nl+N2+N3+N4+N5+N6=4X180°

ZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X1800-4X180°=360°

這就是說，六邊形形的外角和為360。。

如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果：

n邊形的外角和等于360°。

對此，我們也可以這樣來理解。如圖，從多邊形的一個頂點A出發(fā)，沿多邊形各邊走過各頂點，再回

到A點，然后轉向出發(fā)時的方向，在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和，由于走了一周，所得

的各個角的和等于一個周角，所以多邊形的外角和等于360°.

四、課堂練習

課本1、2、3題。

五、課堂小結

n邊形的內角和是多少度？

n邊形的外角和是多少度?

作業(yè)：

2、34、5、6、7。

第十二章全等三角形

12.1全等三角形

教學目標：1了解全等形及全等三角形的的概念；

2理解全等三角形的性質

3在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺，

4學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等

三角形性質的過程中感受到數(shù)學的樂趣

重點：探究全等三角形的性質

難點：掌握兩個全等三角形的對應邊，對應角

教學過程：

觀察下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形

問題：你還能舉出生活中一些實際例子嗎？

這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形

思考：

在圖13.1-1中.把△ABC沿直線BC平移.得到△DEF.

在圖13.1-2中，把△ABC沿直線BC翻折180°,得到△DBC.

在圖13.1-3中.把△ABC旋轉180°,得到AMED.

各困中的兩個三角形全等嗎？

A

圖13.1-1圖13.1-2圖13.1-3

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前

后的圖形全等。

“全等”用三表示，讀作“全等于”

兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如A鉆C和△￡>￡尸全等時，點A

和點D,點B和點E,點C和點F是對應頂點，記作

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合

的角叫做對應角

思考：如上圖，12。\-WABC^\DEF,對應邊有什么關系？對應角呢？

全等三角形性質：

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等。

思考：

(1)下面是兩個全等的三角形，按下列圖形的位置擺放，指出它們的對應頂點、對應邊、對應角

BC

AC

.0

A'D

(2)將AABC沿直線BC平移，得到AOEF,說出你得到的結論，說明理由？

(3)如圖，\ABE=\ACD,ABAC,AD與AE是對應邊，已知：NA=43°,N3=30°,求/加C的

小結：

作業(yè)：P92—1,2,3

課題：12.2三角形全等的條件(1)

教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學結論的過程.

②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性.

③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神.

教學難點

三角形全等條件的探索過程.

一、復習過程，引入新知

多媒體顯示，帶領學生復習全等三角形的定義及其性質，從而得出結論：全等三角形三條邊對應相等,

三個角分別對應相等.反之，這六個元素分別相等，這樣的兩個三角形一定全等.

二、創(chuàng)設情境，提出問題

根據(jù)上面的結論，提出問題：兩個三角形全等，是否一定需要六個條件呢？如果只滿足上述六個條件

中的一部分，是否也能保證兩個三角形全等呢？

組織學生進行討論交流，經(jīng)過學生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進行交流予以匯總歸納.

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1,先任意畫一個△ABC,再畫一個△A'B'C',使aABC與B'C',滿足上述條件中的一個或兩

個.你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎？

讓學生按照下面給出的條件作出三角形.

(1)三角形的兩個角分別是30°、50°.

(2)三角形的兩條邊分別是4cm,6cm.

(3)三角形的一個角為30°,一條邊為3cm.

再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫出的

三角形一定全等.

出示探究2,先任意畫出一個△A'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA,把畫好的AA'B'C'剪下,

放到AABC上，它們全等嗎？

讓學生充分交流后，在教師的引導下作出△A'B'C',并通過比較得出結論：三邊對應相等的兩個三角

形全等.

四、應用新知，體驗成功

實物演示：由三根木條打成的一個三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的.

鼓勵學生舉出生活中的實例.

給出例1,如下圖4ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點A與BC中點D的支架，求證aABD也△ACD.

讓學生獨立思考后口頭表達理由，由教師板演推理過程.

例2如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下:

①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點B和點C；

②分別以點B、C為圓心，相同長度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點D；

③畫射線AD.

AD就是NBAC的平分線.你能說明該畫法正確的理由嗎？

例3如圖四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,你能把四邊形ABCD分成兩個相互全等的三角形嗎?你有幾

種:方法?口你能證明你的方法嗎?試一試.

五、鞏固練習

教科書第96頁的思考及練習.

六、反思小結

回顧反思本節(jié)課對知識的研究探索過程、小結方法及結論，提煉數(shù)學思想，掌握數(shù)學規(guī)律.

七、布置作業(yè)

1.必做題：教科書第103頁習題12.2中的第1、2題.

2.選做題：教科書第104頁第9題.

課題：12.2三角形全等的條件（2）

教學目標

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，培養(yǎng)學生觀察分析圖形能力、動手能力.

②在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理.

③通過對問題的共同探討，培養(yǎng)學生的協(xié)作精神.

教學難點

指導學生分析問題，尋找判定三角形全等的條件.

知識重點

應用“邊角邊”證明兩個三角形全等，進而得出線段或角相等.

教學過程（師生活動）

一、創(chuàng)設情境，引入課題

多媒體出示探究3：已知任意△ABC,畫△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,ZA'=ZA.

教帥點撥，學生邊學邊畫圖，再讓學生把畫好的△ABC,剪下放在aABC上，觀察這兩個三角形是

否全等.

二、交流對話，探求新知

根據(jù)前面的操作，鼓勵學生用自己的語言來總結規(guī)律：

兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.（SAS）

補充強調：角必須是兩條相等的對應邊的夾角，邊必須是夾相等角的兩對邊.

三、應用新知，體驗成功

出示例2,如圖，有一池塘，要測池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達A和IB的點C,

連接AC并延長到D,使CD=CA,連接BC并延長到E,使CE=CB.連接DE,那么量出DE的長就是A、B的

距離，為什么？

讓學生充分思考后，書寫推理過程，并說明每一步的依據(jù).

（若學生不能順利得到證明思路，教師也可作如下分析：

要想證AB=DE,

只需證△ABC名ADEC

△ABC與ADEC全等的條件現(xiàn)有……還需要……）

明確證明分別屬于兩個三角形的線段相等或者角相等的問題，常常通過證明這兩個三角形全等來解

決.

補充例題：

1、已知：如圖AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE

E

cD

求證：AABD畛Z\ACE

證明：；NBAC=NDAE(已知)

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD

ZBAD=ZCAE

在AABD與4ACE

AB=AC（已知）

ZBAD=ZCAE（已證）

AD=AE（已知）

A△ABDACE（SAS）

思考：

求證：l.BD=CE

2.ZB=ZC

3.ZADB=ZAEC

變式1：已知:如圖，AB±AC,AD±AE,AB=AC,AD=AE.

DAC^AEAB

1.BE=DC

2.ZB=ZC

3.ZD=ZE

4.BEXCD

四、再次探究，釋解疑惑

出示探究4,我們知道，兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.由“兩邊及其中一邊的對角對應

相等”的條件能判定兩個三角形全等嗎?為什么？

讓學生模仿前面的探究方法，得出結論：兩邊及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.

教師演示：方法(-)教科書98頁圖13.2-7.

方法(二)通過畫圖，讓學生更直觀地獲得結論.

五、鞏固練習

教科書第99頁，練習⑴⑵.

六、小結提高

1.判定三角形全等的方法；

2.證明線段、角相等常見的方法有哪些?讓學生自由表述，其他學生補充，讓學生自己將知識系統(tǒng)化,

以自己的方式進行建構.

七、布置作業(yè)

1.必做題：教科書第104頁，習題13.2第3、4題.

2.選做題：教科書第105頁第10題.

3.備選題：

(D小明做了一個如圖所示的風箏，測得DE=DF,EH=FH,你能發(fā)現(xiàn)哪些結淪?并說明理由.

(2)如圖，Nl=/2,AB=AD,AE=AC,求證BC=DE.

課題：12.2三角形全等的條件⑶

教學目標

①探索并掌握兩個三角形全等的條件：“ASA”“AAS”，并能應用它們判別兩個三角形是否全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方

法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維.

③敢于面對教學活動中的困難，能通過合作交流解決遇到的困難.

教學重點

理解，掌握三角形全等的條件：“ASA”“AAS”.

教學難點

探究出“ASA”“AAS”以及它們的應用.

教學過程（師生活動）

創(chuàng)設情境

復習：

師：我們已經(jīng)知道，三角形全等的判定條件有哪些？

生：“SSS”“SAS”

師：那除了這兩個條件，滿足另一些條件的兩個三角形是否,

也可能全等呢?今天我們就來探究三角形全等的另一些條件。

探究新知：

一張教學用的三角形硬紙板不小心/

被撕壞了，如圖，你能制作一張與原來/

同樣大小的新教具？能恢復原來三角形

的原貌嗎？7

1.師：我們先來探究第一種情況.（課件出示“探究5……”）

⑴探究5

先任意畫出一個△ABC,再畫一個△A'B'C',使A'B'=AB,NA'=/A,NB'=/B（即使兩角和它們的

夾邊對應相等）.把畫好的△A'B'C'剪下，放到aABC上，它們全等嗎？

師：怎樣畫出△A'B'C'?先自己獨立思考，動手畫一畫。

在畫的過程中若遇到不能解決的問題.可小組合作交流解決.

生：獨立探究，試著畫△A'B'C',（有問題的，可以小組內交流解決……）……

⑵全班討論交流

師：畫好之后，我們看這兒有一種畫法：（課件出示畫法，出現(xiàn)一步，畫一步）

你是這樣畫的嗎？

師：把畫好的△A'B'C'剪下，放到aABC上，看看它們是否全等.

生：（剪△A'B'C',與AABC作比較……）

師：全等嗎？

生：全等.

師：這個探究結果反映了什么規(guī)律?試著說說你的發(fā)現(xiàn).

生1：我發(fā)現(xiàn)……

生2：...

生3:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.AA'

師：這條件可以簡寫成“角邊角”或“ASA”.至此，A

我們又增加了一種判別三角形全等的方法.特別應/\/N\

E

D

BC

注意，“邊”必須是“兩角的夾邊”.

練習：已知：如圖，AB=A'C,ZA=ZA\ZB=ZC

求證：4ABE畛4A'CD

例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CDA

相交于點0,AB=AC,ZB=ZC,求證：BD=CE/\

D/\E

2.探究6/

師：我們再看看下面的條件：

在AABC和ADEF中，NA=/D,/B=/E,BC=EF,△°BQABC與△DEF

全等嗎?能利用角邊角條件證明你的結論嗎？

師：看已知條什，能否用“角邊角”條件證明.

生獨立思考，探究……再小組合作完成.

師：你是怎么證明的？（讓小組派代表上臺匯報）

小組1：

小組2：……投影儀展示學生證明過程

（根據(jù)學生的不同探究結果，進行不同的引導）

師：從這可以看出，從這些已知條件中能得出兩個三角形全等.這又反映了一個什么規(guī)律？

生1：兩個角和其中一條邊對應相等的兩個三角形全等.

生2：在"ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”,而這里，“邊”可以是“其中一個角的對邊”.

師：非常好，這里的“邊”是“其中一個角的對邊”.那怎樣更完整的表述這一規(guī)律？

生1：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

師：生1很好，這條件我們可以簡寫成“角角邊”或“AAS”，又增加了判定兩個三角形全等的一個條

件.

強調“AAS”中的邊是“其中一個角的對邊”.

多讓幾個學生描述，進一步培養(yǎng)歸納、表達的能力.

例2.教材101頁1題。

師：從這道例題中，我們又得出了證明線段相等的又一方法，先證兩線段所在的三角形全等，這樣，

對應邊也就相等了.

探究7：

（1）三角對應相等的兩個三角形全等嗎？（課件出示題目）

師：想想，怎樣來探究這個問題？

生1：...

生2：….

引導學生通過“畫兩個三角對應相等的三角形”，看是否一定全等，或“用兩個同一形狀但大小不同的三

角板”等等方法來探究說明.

師：這一規(guī)律我們可以怎樣表達？

生1：….

生2：三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.

（2）師：說得非常好.現(xiàn)在我們來小結一下；判定兩個三角形全等我們已有了哪些方法？

生：SSSSASASAAAS

小結提高

師：這節(jié)課通過對兩個三角形全等條件的進一步探究，你有什么收獲？

鞏固練習

教科書第101頁，練習2.

布置作業(yè)

1。必做題：教科書第103頁習題13.2第6、11題

2.如圖，小明不慎將一塊三角形模具打碎為兩塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一

塊與原來一樣的三角形模具呢?如果可以，帶哪塊去合適?為什么？

課題：12.2三角形全等的條件(4)

教學目標

①探索并掌握兩個直角三角形全等的條件：HL,并能應用它判別兩個直角三角形是否全等.

②經(jīng)歷作圖、比較、證明等探究過程，提高分析、作圖、歸納、表達、邏輯推理等能力；并通過對知識方

法的總結，培養(yǎng)反思的習慣，培養(yǎng)理性思維.

③提高應用數(shù)學的意識.

教學重點

理解，掌握三角形全等的條件：HL.

教學過程：

提問：

1、判定兩個三角形全等方法有：,，,。

創(chuàng)設情境：

(顯示圖片)，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個

三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.

(1)你能幫他想個辦法嗎？

方法一：測量斜邊和一個對應的銳角.(AAS)

方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角.(ASA)或(AAS)

⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個直

角三角形是全等的”.你相信他的結論嗎？

下面讓我們一起來驗證這個結論。

新課：

已知線段a、c(a<c)和一個直角a,利用尺規(guī)作一個RtaABC,使NC=Za,CB=a,AB=c.

想一想，怎樣畫呢？

按照下面的步驟做一做：

⑴作NMCN=/a=90°;

⑵在射線CM上截取線段CB=a

⑶以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;

(4)連接AB.

⑴AABC就是所求作的三角形嗎？

⑵剪下這個三角形，和其他同學所作的三角形進行比較，它們能重合嗎?

宜角三角形全等的條件

斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”.

想一想

你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般

三角形判定全等的方法:SAS、ASA、NAS、SSS,

還有直角三角形特殊的判定方法一一“HL”.

例如圖，AC16C,8Z)1AD,AC=8r)

求證：BC=AD.

練一練：

1.如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上,

另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗

桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。

2.如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC

與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾

斜角NABC和NDFE的大小有什么關系？

解：NABC+NDFE=90°.理由如下：

在RSABC和RSDEF中，

則

BC=EF,

AC=DF.

二RtAABC^RtADEF(HL).

AZABC=ZDEF

(全等三角形對應角相等).

又NDEF+NDFE=90°,

AZABC+ZDFE=90°.

小結：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流

作業(yè)：104頁7、8。

§12.3角的平分線的性質

§12.3.1角的平分線的性質（一）

教學目標

（-）教學知識點

角平分線的畫法.

（二）能力訓練要求

1.應用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理.

2.會用尺規(guī)作一個已知角的平分線.

（三）情感與價值觀要求

在利用尺規(guī)作圖的過程中，培養(yǎng)學生動手操作能力與探索精神.

教學重點

利用尺規(guī)作已知角的平分線.

教學難點

角的平分線的作圖方法的提煉.

教學方法

講練結合法.

教具準備

多媒體課件（或投影）.

教學過程

I,提出問題，創(chuàng)設情境

問題1：三角形中有哪些重要線段.

問題2：你能作出這些線段嗎？

［生甲］三角形中有三條重要線段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線，三角形的角的平分線.

過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足的連線就是這個三角形的高.

取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對應頂點的連線就是這條邊的中線.

用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度線與這個角的一邊重合，這個角一半所對應的線就是這

個角的角平分線.

［生乙］我不同意你對角平分線的描述，三角形的角平分線是一條線段，而一個己知角的平分線是一條

射線，這兩個概念是有區(qū)別的.

［師］你補充得很好.數(shù)學是一門嚴密性很強的學科，你的這種精神值得我們學習.

如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能幫我設計一個作角的平分線的操作方案嗎？

n.導入新課

［生］我記得在學直角三角形全等的條件時做過這樣一個題：

在NAOB的兩邊0A和0B上分別取OM=ON,MC±OA,NC±OB.MC與NC交于C

點.

求證：ZMOC=ZNOC.

通過證明Rt^MOC絲Rt^NOC,即可證明/M0C=NN0C,所以射線0C就是N

AOB的平分線.

受這個題的啟示，我們能不能這樣做：

在已知NA0B的兩邊上分別截取OM=ON,再分別過M、N作MCLOA,NC±OB,

MC與NC交于C點，連接0C,那么0C就是NA0B的平分線了.

［師］他這個方案可行嗎？

（學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行）

［師］這位同學不僅給了操作方法，而且還講明了操作原理.這種學以致用，聯(lián)想遷移的學習方法值

得大家借鑒.

議一議：下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩

邊放下，沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎？

教師活動：

播放多媒體課件，演示角平分儀器的操作過程，使學生直觀A「解得到射

線AC的方法.

學生活動：

觀看多媒體課件，討論操作原理.

［生1］要說明AC是/DAC的平分線，其實就是證明NCAD=NCAB.

［生2］ZCAD和/CAB分別在4CAD和aCAB中，那么證明這兩個三角形全

等就可以了.

［生3］我們看看條件夠不夠.?El

AB=AD

<BC=DC

AC=AC

所以△ABCg/\ADC(SSS).

所以NCAD=NCAB.

即射線AC就是NDAB的平分線.

［生4］原來用三角形全等，就可以解決角相等.線段相等的一些問題.看來溫故是可以知新的.

老師再提出問題：

通過上述探究，能否總結出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法.自己動手做做看.然后與同伴交流操

作心得.

(分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導，使講評更具有

針對性)

討論結果展示：

作已知角的平分線的方法：

已知：ZAOB.

求作：NAOB的平分線.

作法：

(1)以。為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、0B于M、N.

(2)分別以M、N為圓心，大于‘MN的長為半徑作弧.兩弧在NAOB內部交于點C.