第15講圓錐曲線中的最值及范圍問題（學(xué)生版）

圓錐曲線中的最值及范圍問題（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第22題,12分周長(zhǎng)最值問題求平面軌跡方程由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)2020年新Ⅱ卷，第21題,12分求橢圓中的最值問題根據(jù)橢圓過的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為512分【備考策略】1.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的最值問題及其相關(guān)計(jì)算2.理解、掌握?qǐng)A錐曲線的范圍問題及其相關(guān)計(jì)算【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，小題和大題都會(huì)作為載體命題，同學(xué)們要會(huì)運(yùn)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、弦長(zhǎng)及周長(zhǎng)最值1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．3．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過橢圓E的左焦點(diǎn)作直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方），過點(diǎn)A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點(diǎn)M，求的最大值．1．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓）中，，過點(diǎn)與的直線的斜率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，求的最大值.2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，C的短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與左焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且，點(diǎn)P滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最大值．3．（2023·山東濱州·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)分別為?，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓上，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)?，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).①求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積為定值；②求△周長(zhǎng)的最小值.考點(diǎn)二、面積最值1．（海南·高考真題）已知橢圓C：過點(diǎn)M（2，3）,點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為，（1）求C的方程；（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.2．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)，分別是其左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于P，A兩點(diǎn)，點(diǎn)PPA的斜率不存在時(shí)，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)線段交圓于點(diǎn)B，記，，的面積分別為S1，S2，S，求的最小值.3．（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）已知曲線在軸上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去到分別在該曲線上，且點(diǎn)在軸右側(cè)，點(diǎn)在軸左側(cè)，的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)且滿足，直線交軸于點(diǎn).記的面積分別為(1)求曲線方程；(2)求的取值范圍.1．（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最大值.2．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．3．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)不過圓心且與軸垂直的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交軌跡于點(diǎn).（i）若直線交軸于點(diǎn)，證明：為一個(gè)定點(diǎn)；（ii）若過圓心的直線交軌跡于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，求四邊形面積的最小值.考點(diǎn)三、斜率最值1．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.2．（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在拋物線E：（）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)M作直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，斜率為2的直線與拋物線E交于A，C兩點(diǎn).(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（?。┣笞C：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為H，設(shè)的面積為S，且滿足，求直線的斜率的取值范圍.1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條漸近線的垂線交C于點(diǎn)P，垂足為Q，，，M、N為雙曲線左右頂點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的動(dòng)直線l交雙曲線C右支于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），若直線AM，BN的斜率分別為，．（i）試探究與的比值是否為定值．若是定值，求出這個(gè)定值：若不是定值，請(qǐng)說明理由；（ii）求的取值范圍．考點(diǎn)四、角度及三角函數(shù)最值1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．2．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.1．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（異于，），且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求的最大值．考點(diǎn)五、參數(shù)最值1．（2023·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓長(zhǎng)軸的左，右頂點(diǎn)分別為A，B．（1）若P、Q是橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，求的最小值；（2）已知過點(diǎn)的直線l交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線分別交y軸于點(diǎn)S、T，記（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)直線1的傾斜角為銳角時(shí)，求的取值范圍．1．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是橢圓的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），直線分別與直線相交于兩點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓的方程；(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)六、向量最值1．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是雙曲線與橢圓的公共點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)直線與的傾斜角分別為，，且滿足.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)記（1）中直線恒過定點(diǎn)為，若直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，求的取值范圍.2．（2023·江蘇南京·?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點(diǎn)．P為橢圓C上一點(diǎn)，直線交橢圓C于另一點(diǎn)Q．(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求過P、Q、三點(diǎn)的圓的方程；(3)若，且，求的最大值．1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·校聯(lián)考二模）從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光經(jīng)過拋物線反射后，光線都平行于拋物線的軸，根據(jù)光路的可逆性，平行于拋物線的軸射向拋物線后的反射光線都會(huì)匯聚到拋物線的焦點(diǎn)處，這一性質(zhì)被廣泛應(yīng)用在生產(chǎn)生活中．如圖，已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出的平行于y軸的光線照射到拋物線上的D點(diǎn)，經(jīng)過拋物線兩次反射后，反射光線由G點(diǎn)射出，經(jīng)過點(diǎn)．(1)求拋物線C的方程；(2)已知圓，在拋物線C上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向圓M作兩條切線EA和EB，切點(diǎn)分別為A、B，求的取值范圍．考點(diǎn)七、點(diǎn)到直線距離最值1．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知為拋物線上不同兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，過作于，且點(diǎn).(1)求直線的方程及拋物線的方程；(2)若直線與直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求到直線的距離最短時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo).1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）雙曲線的左頂點(diǎn)為，焦距為4，過右焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線交于、兩點(diǎn)，且是直角三角形．(1)求雙曲線的方程；(2)、是右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．考點(diǎn)八、點(diǎn)坐標(biāo)及截距最值1．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且，（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F的直線交拋物線與A?B兩點(diǎn)，斜率為2的直線l與直線，x軸依次交于點(diǎn)P，Q，R，N，且，求直線l在x軸上截距的范圍.1．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，E為PQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)E縱坐標(biāo)的最小值．【能力提升】1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考二模）已知是橢圓C：的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在x軸的上方），直線PA，PB分別與直線相交于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)A為橢圓C的上頂點(diǎn)時(shí)，．(1)求橢圓C的方程；(2)若，且，求k的取值范圍．2．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（異于的左、右頂點(diǎn)）的周長(zhǎng)為6，且面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，求內(nèi)切圓面積的最大值．3．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，且，的面積為．(1)求的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與相切與點(diǎn)，垂直，垂足為點(diǎn)，求的最大值．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為M，下頂點(diǎn)為N，，設(shè)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)T的直線分別交橢圓C于點(diǎn)E和點(diǎn)F．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(3)若的面積為的面積的k倍，則當(dāng)t為何值時(shí)，k取得最大值？5．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于點(diǎn)，與圓相切且切點(diǎn)為為中點(diǎn).(1)求圓的半徑的取值范圍；(2)求的取值范圍.6．（2023·江蘇南通·二模）已知橢圓的離心率為，焦距為，過的左焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線與相交于、兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)．求的最大值．7．（2023·山東日照·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線在點(diǎn)處的切線與橢圓相交，過點(diǎn)作的垂線交拋物線于另一點(diǎn)，直線（為直角坐標(biāo)原點(diǎn)）與相交于點(diǎn)，記、，且．（1）求的最小值；（2）求的取值范圍．8．（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.9．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考二模）如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).的最大值是，的最小值是，滿足.(1)求該橢圓的離心率；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，的面積為，的面積為，求的取值范圍.10．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知橢圓：，其右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，，.(1)求證：為定值.(2)若點(diǎn)不在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，試求面積的最小值.11．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的右頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值.12．（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，橢圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上，且橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積為為垂足，求的最大值.13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.【真題感知】1．（山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得線段的長(zhǎng)度為.(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)動(dòng)直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)M.點(diǎn)N是M關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn),⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點(diǎn),DE,DF與⊙N分別相切于點(diǎn)E,F,求EDF的最小值.2．（安徽·高考真題）設(shè)是拋物線的焦點(diǎn)．（Ⅰ）過點(diǎn)作拋物線的切線，求切線方程；（Ⅱ）設(shè)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，延長(zhǎng)分別交拋物線于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．3．（浙江·高考真題）如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，．(1)求橢圓的方程；(2)若直線，P為上的動(dòng)點(diǎn)，使最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．(用m表示)4．（北京·高考真題）.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.5．（四川·高考真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)、構(gòu)成，且直線的斜率之積為4，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求軌跡的方程；(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與軌跡相交于點(diǎn)，且，求的取值范圍．6．（全國(guó)·高考真題）已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.7．（天津·高考真題）已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，.（Ⅰ）求直線的斜率；（Ⅱ）求橢圓的方程；（Ⅲ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.8．（四川·高考真題）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．(1)若P是該橢圓在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)設(shè)過定點(diǎn)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且為銳角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍．9．（全國(guó)·高考真題）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k（k>0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）當(dāng)t=4，時(shí)，求△AMN的面積；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.10．（山東·高考真題）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦距為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過動(dòng)點(diǎn)的直線交軸與點(diǎn)，交于點(diǎn)(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).（?。┰O(shè)直線的斜率分別為，證明為定值；（ⅱ）求直線的斜率的最小值.11．（山東·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)），點(diǎn)在橢圓上，且，直線與軸軸分別交于兩點(diǎn).①設(shè)直線斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；②求面積的最大值.12．（上海·高考真題）已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值.13．（山東·高考真題）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為．記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是過橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線．是上異于橢圓中心的點(diǎn)．（i）若（為坐