海南省2023-2024學年高三下學期學業(yè)水平診斷（三）數(shù)學試題

絕密★啟用前海南省2023—2024學年高三學業(yè)水平診斷（三）數(shù)學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)在復平面內對應的點為，則（）A.B.3C.D.52.在中，內角的對邊分別為，若，則（）A.B.C.D.3.某機構統(tǒng)計了1000名演員的學歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學歷的人數(shù)為（）A.11B.13C.22D.264.已知等比數(shù)列的公比為，則（）A.20B.24C.28D.325.已知，且，則（）A.B.C.D.6.當飛機超音速飛行時，聲波會形成一個以飛機前端為頂點，飛機的飛行方向為軸的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機的速度?音速滿足關系式.若一架飛機以2倍音速沿直線飛行，則該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓面積為（）A.B.C.D.7.已知正實數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.8.已知是拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線與交于兩點，與的準線交于點（點在線段上），，則（）A.1B.2C.3D.4二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在平面直角坐標系中，已知點是一個動點，則下列說法正確的是（）A.若，則點的軌跡為橢圓B.若，則點的軌跡為雙曲線C.若，則點的軌跡為一條直線D.若，則點的軌跡為圓10.已知函數(shù)的一個最大值點為，與之相鄰的一個零點為，則（）A.的最小正周期為B.為奇函數(shù)C.在上單調遞增D.在上的值域為11.在正方體中，點滿足，其中，則下列說法正確的是（）A.若在同一球面上，則B.若平面，則C.若點到四點的距離相等，則D.若平面，則三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，若，則__________.13.的展開式中的系數(shù)為__________.14.已知函數(shù)若對任意恒成立，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列的前項和為.（1）求；（2）若，求數(shù)列的前項和. 16.（15分）如圖，已知四棱錐的體積為平面，四邊形為矩形，為棱的中點，且的面積為.（1）求點到平面的距離；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.17.（15分）如果一雙曲線的實軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實軸，則這兩雙曲線互為“共軛雙曲線”.已知雙曲線的共軛雙曲線的離心率為.（1）求的方程；（2）若直線與的右支交于兩點，且以線段為直徑的圓與軸相切，求的值.18.（17分）某學校有甲?乙?丙三名保安，每天由其中一人管理停車場，相鄰兩天管理停車場的人不相同.若某天是甲管理停車場，則下一天有的概率是乙管理停車場；若某天是乙管理停車場，則下一天有的概率是丙管理停車場；若某天是丙管理停車場，則下一天有的概率是甲管理停車場.已知今年第1天管理停車場的是甲.（1）求第4天是甲管理停車場的概率；（2）求第天是甲管理停車場的概率；（3）設今年甲?乙?丙管理停車場的天數(shù)分別為，判斷的大小關系.（給出結論即可，不需要說明理由）19.（17分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.海南省2023—2024學年高三學業(yè)水平診斷（三）數(shù)學·答案一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.答案C命題意圖本題考查復數(shù)的相關概念.解析由題知.2.答案A命題意圖本題考查正弦定理的應用.解析由正弦定理得.3.答案D命題意圖本題考查分層隨機抽樣的概念.解析由題知，樣本中本科學歷占比為，碩士學歷占比為，故抽取的碩士學歷的人數(shù)為.4.答案D命題意圖本題考查等比數(shù)列的基本性質.解析由題意知，所以.5.答案A命題意圖本題考查同角三角函數(shù)的基本關系與三角恒等變換.解析，又，.6.答案B命題意圖本題考查圓錐的結構特征.解析由條件知，則，則該飛機形成的馬赫錐在距離頂點處的截面圓半徑為，截面圓面積為.7.答案D命題意圖本題考查指數(shù)函數(shù)?對數(shù)函數(shù)的圖象與性質.解析在同一平面直角坐標系中作出的圖象，由圖得.8.答案C命題意圖本題考查拋物線與直線的位置關系.解析如圖，分別過點作拋物線準線的垂線，垂足分別為，分別過點作，垂足分別為，設交軸于點，準線與軸交于點.由題知的傾斜角為，則，又.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.答案BCD命題意圖本題考查曲線與方程.解析對于，則點的軌跡為線段，故A錯誤；對于，則點的軌跡是雙曲線，故B正確；對于，設，由，可得，化簡得，表示一條直線，故C正確；對于，由，可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，故正確.10.答案BC命題意圖本題考查三角函數(shù)的性質.解析設最小正周期為，則，故A錯誤.不妨令，則.再由五點法知，此函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確.當時，，由余弦函數(shù)的性質知C正確.當時，，故D錯誤.11.答案ABD命題意圖本題考查空間位置關系的判斷.解析由題意知點在線段上（不包含點）.對于A，若在同一球面上，則此球為正方體的外接球，所以與重合，所以，故A正確；對于，如圖（1），設的中點為，則平面與平面的交線為直線，要使平面，則需，則為的中點，此時，故B正確；對于，點到四點的距離相等，則為正方體外接球的球心，即的中點，此時，故錯誤；對于，如圖（2），設正方形的中心為，連接與交于點，在對角面內，易知是上靠近的三等分點，且，若平面，則，由對稱性易知，則，從而是的靠近的三等分點，此時，故D正確.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案2命題意圖本題考查集合的關系.解析因為，所以，則，且，所以.13.答案-480命題意圖本題考查二項式定理的應用.解析由題知可將看成6個相乘，先從6個因式中選2個因式取，有種不同的取法，再從剩余4個因式中選3個因式取，則的系數(shù)為，最后1個因式取1，所以的系數(shù)為.14.答案命題意圖本題考查函數(shù)性質的綜合應用.解析由題知在區(qū)間上單調遞增，在上單調遞減.注意到，因此若對任意恒成立，則，即對任意恒成立.由于在區(qū)間上單調遞增，且值域為在區(qū)間上單調遞減，且值域為，因此對恒成立時.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.命題意圖本題考查數(shù)列的通項公式與求和.解析（1）當時，，當時，，.（2）由（1）知，，①，②①-②得，，.16.命題意圖本題考查空間中的位置關系以及空間向量的應用.解析（1）因為為的中點，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，又四邊形是矩形，所以，從而.設點到平面的距離為，則，得，因此點到平面的距離為.（2）因為四邊形為矩形，為的中點，所以.因為平面，所以，又，所以平面，所以.即是等腰直角三角形.設，則.由條件知解得如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，則，所以.設是平面的法向量則可取.平面的一個法向量為.，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.命題意圖本題考查雙曲線與直線的位置關系.解析（1）由題可得，因為的離心率為，所以，得，所以的方程為.（2）過的右頂點，不妨設，由的方程可得其漸近線方程為，因為均在的右支上，所以或.由得，所以.，以線段為直徑的圓的圓心橫坐標為，半徑為，由題意知，整理得，解得（負值舍去）.18.命題意圖本題考查全概率公式的應用，以及數(shù)列與概率的綜合問題.解析（1）由題意，前4天管理停車場的順序為“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，所以.（2）設事件表示“第天甲管理停車場”，事件表示“第天乙管理停車場”，事件表示“第天丙管理停車場”，記，則.由題意知，當時，，即，整理得，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，故，即第天是甲管理停車場的概率為.（3）.19.命題意圖本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)性質.解析（1）