量子力學(xué)中的力學(xué)量

量子力學(xué)中的力學(xué)量第三章量子力學(xué)中的力學(xué)量§3.1表示力學(xué)量的算符算符：指作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函的運(yùn)算符號(hào)。如。如第2頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天算符的運(yùn)算：1、相等2、相加3、相乘兩算符相乘其次序不能隨便調(diào)換。線性算符（態(tài)疊加原理）定義：若則是線性的。是任意函數(shù)，C1、C2是常數(shù)第3頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天是線性的，是非線性的。厄米算符：是任意函數(shù)。若則是厄米的。性質(zhì)：厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)。第4頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：是厄米算符。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是線性的、厄米的。如果量子力學(xué)中的力學(xué)量F在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則表示這個(gè)力學(xué)量的算符由經(jīng)典表示式中將換為而得出。角動(dòng)量第5頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天如果表示力學(xué)量F，那么當(dāng)體系處于的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量F有確定值，這個(gè)值就是在態(tài)中的本征值。證明：都是厄米的。1、2、第6頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.2動(dòng)量算符和角動(dòng)量算符1、動(dòng)量算符第7頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第8頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天復(fù)習(xí)：1、狀態(tài)用波函數(shù)描寫(xiě)，單值、有限、連續(xù)：幾率幾率幅2、態(tài)疊加原理3、Schr?dinger方程：4、力學(xué)量用線性、厄米的算符表示第9頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天2、角動(dòng)量算符第10頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天球坐標(biāo)：第11頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第13頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.3電子在庫(kù)侖場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)假設(shè)原子核不動(dòng)第14頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天在球極坐標(biāo)下：用分離變量法求解：（1）（2）第15頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天由（1）第16頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）第17頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天（4）標(biāo)準(zhǔn)的締合拉蓋爾方程：第18頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天其解為締合拉蓋爾多項(xiàng)式在（4）式中：徑向量子數(shù)。第19頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第20頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第21頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.4氫原子電子核電子相對(duì)于核的坐標(biāo)：體系的質(zhì)心坐標(biāo)，總質(zhì)量第22頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天為折合質(zhì)量,只與相對(duì)坐標(biāo)有關(guān)第23頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天(1)式為電子相對(duì)于核的運(yùn)動(dòng),相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能量就是電子的能級(jí);(2)式為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，相當(dāng)于能量為自由粒子的運(yùn)動(dòng),方程為定態(tài)薛定諤方程.其定態(tài)波函數(shù)第24頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第25頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天立體角第26頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天能量有確定值有確定值第27頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第28頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.5厄米算符本征函數(shù)的正交性相互正交：厄米算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交。屬于同一本征值的不同的本征函數(shù)不一定正交。………第29頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天證明：厄米算符的性質(zhì)：本征值為實(shí)數(shù)由（2）即正交性。第30頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天歸一化正交歸一系：如果的本征值組成連續(xù)譜，則本征函數(shù)歸一

化為函數(shù)（1）線性諧振子的能量本征函數(shù)第31頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天（2）的本征函數(shù)第32頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天（3）氫原子能量算符的本征函數(shù)第33頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.6算符與力學(xué)量的關(guān)系表示力學(xué)量F如果體系處于的本征態(tài)，這時(shí)測(cè)量力學(xué)量F可得到確定的值，即為的本征值（在態(tài)中）。如果體系處于任意態(tài)，對(duì)于力學(xué)F測(cè)量，則結(jié)果如何？假定：可觀測(cè)的力學(xué)量的線性厄米算符的本征函數(shù)族組成完全系?；蛘呔哂型陚湫?。即體系的狀態(tài)波函數(shù)可用力學(xué)量算符的本征函數(shù)展開(kāi)。第34頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天即注意與無(wú)關(guān)，是以力學(xué)量F為自變量的函數(shù)，與是描寫(xiě)同一狀態(tài)的不同自變量的波函數(shù)。第35頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天具有幾率的意義：表示在態(tài)中測(cè)量力學(xué)量F得到的結(jié)果是的本征值的幾率。

基本假定：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄米算符，它們的本征函數(shù)組成完全系，當(dāng)體系處于波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量力學(xué)量F所得的數(shù)值，必定是算符的本征值之一，測(cè)得的幾率是。第36頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天本征值是分立值時(shí)本征值是連續(xù)值時(shí)如不是的本征態(tài)，則在態(tài)測(cè)量F時(shí)所得到的值不是確定的。而是一系列的可能值每個(gè)可能值以確定的幾率出現(xiàn)。只有在的本征態(tài)測(cè)量F，F(xiàn)才有確定的值。這個(gè)值就是態(tài)中的本征值。如：第37頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天力學(xué)量F的平均值：連續(xù)時(shí)，一般第38頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例3-6]第39頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第40頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例2]求一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的基態(tài)粒子的平均動(dòng)量[解]基態(tài)方法一：第41頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天是的本征態(tài)，不是的本征態(tài)。方法二：把按動(dòng)量算符的本征函數(shù)展開(kāi)，求出后求第42頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天一維束縛態(tài)，能級(jí)量分立的基態(tài)：體系能量最低的態(tài)。對(duì)一維無(wú)限深勢(shì)阱第43頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例]一粒子處在一維無(wú)限深勢(shì)阱波函數(shù)求：（1）歸一化常數(shù)A；（2）測(cè)量能量的可能值。第44頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天[解]歸一化的一種方法：由測(cè)量能量的可能值第45頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天此時(shí)不是的本征態(tài)，而是本征態(tài)的疊加態(tài)第46頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天§3.7算符的對(duì)易關(guān)系

兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件一、算符的對(duì)易關(guān)系若則稱與對(duì)易。第47頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天對(duì)于任一波函數(shù)，有由于是任意的波函數(shù)第48頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理有對(duì)易關(guān)系第49頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天第50頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天同理同理可證：第51頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天若將坐標(biāo)換成動(dòng)量，上述對(duì)易關(guān)系仍成立。定理：如果兩個(gè)算符和有一組共同的本征函數(shù)，而且組成完全系，則算符與對(duì)易。證明：設(shè)是任意波函數(shù)，由于組成完全系。第52頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天是任意的波函數(shù)。該定理的逆定理也成立：如果兩個(gè)算符對(duì)易，對(duì)這兩個(gè)算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。（推廣）定理2：如果一組算符有共同的本征函數(shù)，而且這些共同的本征函數(shù)組成完全系，則這些算符中任何一個(gè)和其余的算符對(duì)易。這個(gè)定理的逆定理也成立。算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件：對(duì)易。在一些算符的共同本征函數(shù)所描寫(xiě)的態(tài)中，這些算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值。如氫原子。有共同的本征函數(shù)，相互對(duì)易。在態(tài)中，同時(shí)有確定值，。第53頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天要完全確定體系所處的狀態(tài)，需要一組相互對(duì)易的力學(xué)量，這一組完全確定體系狀態(tài)的力學(xué)量，稱為力學(xué)量的完全集。在完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度的數(shù)目相等。氫原子，自由度，完全確立它的狀態(tài)需要三個(gè)相互對(duì)易的力學(xué)量，或三個(gè)量子數(shù)。若不對(duì)易，一般地講，它們不能同時(shí)有確定值。設(shè)是一個(gè)算符或數(shù)，如考慮積分利用都是厄米算符則有——不確定關(guān)系第54頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天[例]求諧振子的零點(diǎn)能第55頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天即等號(hào)對(duì)應(yīng)的最小值而第56頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天1、態(tài)用波函數(shù)表示：幾率，單值、連續(xù)、有限。2、力學(xué)量用算符表示在的本征態(tài)力學(xué)量

有確定的值正交歸一且組成完全系在態(tài)測(cè)力學(xué)量F有一些可能值，幾率為則有組成完全系的共同本征態(tài)。第57頁(yè),共61頁(yè)，2024年2月25日，星期天在這個(gè)共同的本征態(tài)中，同時(shí)有確定值。

若則3、態(tài)疊加