新人教版高中數(shù)學(xué)教材例題課后習(xí)題必修二71復(fù)數(shù)的概念

7.1復(fù)數(shù)的概念

7.1.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

例1當實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)z=〃?+l+(〃?-l)i是下列數(shù)？

(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù).

分析：因為所以加+1,m一1都是實數(shù).由復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)是實數(shù)、虛數(shù)

和純虛數(shù)的條件可以確定m的取值.

解：(1)當加-1=0,即〃7=1時，復(fù)數(shù)Z是實數(shù).

(2)當加一1W0,即用01時，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

(3)當加+1=0,且〃?一1片0,即，〃=-1時，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

練習(xí)

1.說出下列復(fù)數(shù)的實部和虛部：S向i,巨「瓜0

32

【答案】實部分別為-2,后,日,0,0,0;虛部分別為;,1,0,-百,1,0.

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bwR),則。為實部，6為虛部，解答即可.

【詳解】解：—2+」i,0+i,也6//,0的實部分別為—2,血，也,0,0,0;

322

虛部分別為g,1,0,-石,1,0.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.

2.指出下列各數(shù)中，哪些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).為什么？

2+V7,0.618,-z,0,f,5z+8,3-9伍i(l-拘，夜-".

7

【答案】實數(shù)有2+近。618,0;虛數(shù)有25，+8,3-9氏(1-傷四-向純

虛數(shù)有,。，"(1-百).

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念解答即可.

【詳解】解：對于復(fù)數(shù)z=。+歷(a,beR),若6=0,則z為實數(shù)；若則z為

虛數(shù)；若且。=0,則z為純虛數(shù)；可知

實數(shù)有：2+J7,0.618,0;

虛數(shù)有：/,5/+8,3-9V2/,z(l-V3),V2-"；

7

純虛數(shù)有：，虛數(shù)一6).

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.

3.求滿足下列條件的實數(shù)x,y的值：

(1)(x+y)+。-l)i=(2x+3y)+(2y+l)z；

(2)(x+^-3)+(x-2)z=0

x=4[x=2

【答案】(1)c；(2),.

[y=-2[y=l

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部和實部相等，虛部和虛部相等，得到方程組，

解得；

(2)復(fù)數(shù)為零的充要條件為實部和虛部同時為零，得到方程組，解得；

【詳解】解：(1)v(x+y)+(y-1);=(2x+3y)+(2y+1)/

x+y=2x+3y

y-l=2y+l，

x=4

解得;

U=-2

(2)(x+y—3)+(x—2)i=0

卜+y-3=0

'[x-2=0

[x=2

解得?

5=1

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)為零求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

例2設(shè)復(fù)數(shù)Z]=4+3i,z2=4-3i.

(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)4,Z2對應(yīng)的點和向量：

(2)求復(fù)數(shù)ziZ2的模，并比較它們的模的大小.

解：(1)如圖，復(fù)數(shù)％,Z2對應(yīng)的點分別為Z-Z2,對應(yīng)的向量分別為西，0Z2.

22

(2)|Z||=|4+3i|=V4+3=5.

上|=|4-3i|=押+(-3)2=5.

所以㈤=卜|.

例3設(shè)zeC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為Z,那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

(1)忖=1；

(2)l<|z|<2.

解：⑴由忖=1得，向量反的模等于1,所以滿足條件忖=1的點Z的集合是以原點。

為圓心，以1為半徑的圓.

??Iz<2,

(2)不等式1<目<2可化為不等式z〉]

不等式|z|<2的解集是圓忖=2的內(nèi)部所有的點組成的集合，不等式|z|>1的解集是圓

匕|=1外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿

足條件1<目<2的點Z的集合.容易看出，所求的集合是以原點。為圓心，以1及2為半徑

的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界（圖）.

練習(xí)

4.說出圖中復(fù)平面內(nèi)各點所表示的復(fù)數(shù)（每個小方格的邊長為1）.

【答案】N：4+3i,B:3-3i,C:-3+2i,D:-3-3i,E:5,F:-2,G:5i,H:-5i.

【解析】

【分析】

根據(jù)各點坐標確定對應(yīng)復(fù)數(shù).

【詳解】因為幺(4,3),5(3,-3),C(-3,2),0(-3,-3),頤5,0),尸(—2,0),G(0,5),

”(0,-5).

所以力：4+3z,B*3-3ifC*~3+27,D*.—3—3i,E:5,F*.—2,G:5i,H:—5i.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.在復(fù)平面內(nèi)，描出表示下列復(fù)數(shù)的點：

(1)2+5i；

(2)-3+2i；

(3)2-4i；

(4)-3-i；

(5)5；

(6)-3i.

【答案】（1）答案見解析

（2）答案見解析（3）答案見解析

（4）答案見解析（5）答案見解析

（6）答案見解析

【解析】

【分析】（1）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點A,在坐標系畫出;

（2）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點8,在坐標系畫出;

（3）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點C,在坐標系畫出;

（4）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點。，在坐標系畫出;

（5）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點E,在坐標系畫出;

（6）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點在坐標系畫出;

【小問1詳解】

對應(yīng)點為A（2,5）,

y

5

4

3

【小問2詳解】

?

2x

對應(yīng)點為8(-3,2),

【小問3詳解】

對應(yīng)點。(2,-4),

y

【小問4詳解】

對應(yīng)點。(-3,-1)

【小問5詳解】

對應(yīng)點七(5,0),

【小問6詳解】

對應(yīng)點廠(。，-3),

3

6.己知復(fù)數(shù)2+，,-2+4—己-旬.

2

（1）在復(fù)平面內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量；

（2）求這些復(fù)數(shù)的模.

【答案】（1）見解析（2）V5;275;2；4；叵.

2

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義確定點坐標，再在復(fù)平面內(nèi)作向量;

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求模.

【詳解】解：（1）如圖所示.

(2)12+z|=y/5；|—2+4z|=2^5；I-2i|=2；I41=4；——4/=~~~~?

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)的模，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

習(xí)題

復(fù)習(xí)鞏固

7.符合下列條件的復(fù)數(shù)一定存在嗎？若存在，請舉出例子若不存在，請說明理由.

（1）實部為-血的虛數(shù)；

（2）虛部為一后的虛數(shù)；

（3）虛部為-0的純虛數(shù).

【答案】（1）存在，例如-返+/；-啦―

（2）存在，例如—

2

（3）存在，只能是

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.

【詳解】（1）存在，例如-+夜-0i.

（2）存在，例如1-

2

（3）存在，只能是-Jli.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)概念是解題關(guān)鍵.

8.實數(shù)加分別為何值時，復(fù)數(shù)2=（加2-5加+6）+（加2-3〃?》是

（1）實數(shù)；

（2）虛數(shù)；

（3）純虛數(shù).

【答案】（1）加=0或〃尸3；（2）/”片0且小。3；（3）m=2.

【解析】

【分析】（1）當復(fù)數(shù)的虛部等于零，復(fù)數(shù)為實數(shù)，由此求得加的值；

（2）當復(fù)數(shù)的虛部不等于零，復(fù)數(shù)為虛數(shù)，由此求得”的值；

（3）當復(fù)數(shù)的實部等于零且虛部不等于零時，列方程組,即由此求得〃?的值.

【詳解】復(fù)數(shù)z=（加2—5加+6）+（加2_3加?.

（1）要使Z為實數(shù)，只需加2—3加=0,解得：加=0或加=3；

（2）要使z為虛數(shù)，只需〃?2一3加10,解得：加工0且加工3；

[m2—5m+6=0

（3）要使z為純虛數(shù)，只需2.八，解得：加=2.

[m

9.求適合下列方程的實數(shù)x與y的值：

（1）（3x+2y）+（5x-y）i=17-2i；

(2)(x+y-3)+(x-4)i=0.

x=I

【答案】（1）〈

「7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義計算.

（2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義計算.

【小問1詳解】

3x+2y=17[x=\

由題意解得r

5x-y=-2U=7

【小問2詳解】

x+y-3=0x=4

由題意解得

x-4=0g-l

10.如果尸是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)。+加（a,6eR）的點，分別指出在下列條件下點P的

位置.

（1）a>0,6>0；（2）a<0,b>0；

（3）a=0,b<0；（4）6<0.

【答案】（1）第一象限；

（2）第二象限；

（3）位于原點或虛軸的負半軸上；

（4）位于實軸下方（不包括實軸）

【解析】

【分析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

【詳解】⑴。＞0力＞0；點P在第一象限；

（2）。＜04＞0；點尸在第二象限；

（3）40；點尸位于原點或虛軸的負半軸上；

（4）6＜0.點P位于實軸下方（不包括實軸）.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)。+應(yīng)（a,beR）對應(yīng)的點為尸（出份.

11.求復(fù)數(shù)4=3+4，及22=；-丁云的模，并比較它們的模的大小.

【答案】團=5,區(qū)|=5，團＞|22

【解析】

【分析】

由復(fù)數(shù)模的定義計算.并比較大小.

【詳解】解：匕|=行不=5,㈤偽2=|,..閡〉㈤.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的運算，掌握模的定義是解題基礎(chǔ).復(fù)數(shù)a+bi（a,6eR）的

模為+bi\=yja2+b2.

綜合運用

12.實數(shù)/取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（卬2-8/+15）+（蘇一5加一14）i的

點.

⑴位于第四象限？

⑵位于第一、三象限？

⑶位于直線y=x上？

29

【答案】（1）—2＜切＜3或5〈加＜7；（2）用＜—2或3＜掰＜5或加＞7；（3）—

3

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由題意得，復(fù)數(shù)位于第四象限，則實部大于0,虛部小于0,

列出方程組即可求解實數(shù)〃?的取值范圍；

(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的表示，列出不等式組，即可求解實數(shù)機的取值范圍;

(3)使得復(fù)數(shù)位于直線V=x上，只需實部與虛部相等即可求解實數(shù)機的值.

試題解析：

8/150.|永3或巾5,

⑴由今

a5?-14<0I-2<?C7.

解得一2<m<3或5cm<7,此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限.

,4kidHirl150.

⑵由或［

a5?r11>0-IIO.

可等價轉(zhuǎn)化為(m2—8m+15)(m2-5tn—14)>0?BP(m—3)(m—5)(m+2)(m—7)>0,

利用“數(shù)軸標根法”可得：m<-2或3<m<5或m>7,此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第一、

三象限.

(3)要使點Z在直線y=x上，需rrP—8m+l5=m2—5m—14,解得m=f.此時，復(fù)

數(shù)z對應(yīng)的點位于直線y=x上.

點睛：復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的

條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即

可.復(fù)數(shù)z=a+對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)(a,beH).復(fù)數(shù)

z=a+bi(a,be&)對應(yīng)平面向量歷.

13.在復(fù)平面內(nèi)，。原點，向量為對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2+i.

(1)如果點4關(guān)于實軸的對稱點為點8,求向量礪對應(yīng)的復(fù)數(shù)；

(2)如果(1)中點8關(guān)于虛軸的對稱點為點C,求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù).

【答案】(1)2-z(2)-1-1

【解析】

【分析】

(1)求出A點坐標，再得出8點坐標后可得對應(yīng)復(fù)數(shù)；

(2)求出。點坐標后可得對應(yīng)復(fù)數(shù).

【詳解】解：由于向量方是以原點為始點，故終點/的坐標為(2,1).

(1)點42,1)關(guān)于實軸的對稱點5的坐標為(2,-1),則向量礪對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2-i.

(2)點5(2,-1)關(guān)于虛軸的對稱點C的坐標為(-2,-1),則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2-九

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,復(fù)數(shù)a+尻QbeR）對應(yīng)的點為P（a,b）.

14.設(shè)：2eC,在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點為Z,那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖

形？

（1）Iz|=3；

（2）2,.\z\<5.

【答案】（1）以原點。為圓心，以3為半徑的圓.

（2）以原點。為圓心，以2及5為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括內(nèi)邊界，但不

包括外邊界

【解析】

【分析】

根據(jù)模的幾何意義說明.

【詳解】解：（1）由|z|=3得，向量反的模等于3,所以滿足條件|z|=3的點Z的集

合是以原點。為圓心，以3為半徑的圓.

[|z|...2

（2）不等式2.|z|<5可化為不等式組「不等式|z|<5的是圓|z|=5的內(nèi)部所

舊<5

有的點組成的集合，不等式|z|...2的解集是圓|z|=2上的點及其外部所有的點組成

的集合，所以，滿足條件2,|z|<5的集合是以原點。為圓心，以2及5為半徑的兩

個圓所夾的圓環(huán)，包括內(nèi)邊界，但不包括外邊界（如圖所示）.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，復(fù)數(shù)z的模忖表示其在復(fù)平面上對應(yīng)點Z到

原點的距離|OZ|.

15.如果復(fù)數(shù)z的實部為正數(shù)，虛部為3,那么在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點應(yīng)位于怎

樣的圖形上？

【答案】位于沒有頂點的射線N=3(x>0)上.

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】設(shè)z=“+bi(a,beA),由題意。>0,b=3,.?.點(%b)在無頂點的射線

y=3(x>0)上.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)。+位(a,beR)對應(yīng)的點為尸伍力).

拓廣探索

16.已知復(fù)數(shù)z的虛部為6,在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量的模為2,求這個復(fù)數(shù)z.

【答案】z=1+J5/或z=—1+百i.

【解析】

【分析】

可設(shè)復(fù)數(shù)2=。+行，僅€?，由目=2計算.

【詳解】解：由題意可設(shè)復(fù)數(shù)2=。+百(7€火)，因為復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的向量的模為2.

所以/+3=4,解得。=±1,所以復(fù)數(shù)z=l+Vii或Z=—1+V5/.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.解決復(fù)數(shù)問題，常常設(shè)復(fù)數(shù)

z=a+bi(a,b&R),然后代入計算.

17.在復(fù)平面內(nèi)指出與復(fù)數(shù)4=1+2，/2=&+61/3=6-&，，Z4=-2+1對應(yīng)的

點Z1,Z2，Z3，Z4,判斷這4個點是否在同一個圓上，并證明你的結(jié)論.

【答案】4個點在以原點為圓心，V5

【解析】

【分析】

由復(fù)數(shù)幾何意義，得出對應(yīng)點的坐標，對應(yīng)向量的坐標，計算它們的模，由模的幾

何意義可得.

【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)與題中所給四個復(fù)數(shù)對應(yīng)的點依次為

Z?,2),Z2(A/2,V3),Z3(V3,-A/2),Z4(-2,l),

得到對應(yīng)的以原點為始點的向量依次為西，區(qū)，西，垣，則

OZ\=(1,2),應(yīng)2=(后，百)，應(yīng)3=(6，-&),反4=(-2,1),可得

|西|="+22=6

同理可得I運1=逐,|區(qū)1=指,|運1=逐，

所以Z”Z2，Z3，Z4,這4個點在以原點為圓心，為半徑的圓上.

【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由向量模的幾何意義可得結(jié)論.

變式練習(xí)題

18.寫出復(fù)數(shù)4,一兀，2-3i,0,--+-i,V3i-2,6i的實部與虛部，并指出哪

23

些是實數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù).

【答案】答案見解析

【解析】

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的類型直接辨別即可.

【詳解】4,—71,2—3i,0,---+—i,JJi一2,6i的實部分別是4,一兀，2,0,--,

232

—2,0；

4

虛部分別是0,0,—3,0,-,6,6.

4,一兀，0是實數(shù)；2—3i,+Gi-2,6i是虛數(shù)，其中6i是純虛數(shù).

19.當實數(shù)也為何值時，復(fù)數(shù)z=立絲心+佃2一2加-15)i是實數(shù)、純虛數(shù)、虛

數(shù)？

【答案】能=5時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)；加=3或/〃=-2時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；〃?。-3且

加時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù).

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的概念求解即可

【詳解】解：當加2一2加-15=0且m+3。0時，復(fù)數(shù)Z為實數(shù)，解得加=5,所以當

〃?=5時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)；

當〃廣一〃'-6=0且〃?+300,且〃?2一2朗—1500時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，由

加+3

———~-=0>得〃？=3或加=—2,由+3。0,且加2-2m一15Ho得〃2H—3且

m+3

m^5,

所以當〃?=3或機=-2,復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；

當〃2〃?一15。0且加+3。0時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，解得〃件一3且相。5,所以當

3且加。5時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)

綜上，當加=5時，復(fù)數(shù)z為實數(shù)；機=3或機=-2時，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；加。-3且

〃?。5時，復(fù)數(shù)z為虛數(shù)

20,已知"={1,（加2—2加）+（川+加一2）i},P={-l,l,4i},若MUP=P,求實數(shù)〃?

的取值集合.

【答案】{1,2}

【解析】

【分析】先由MUP=P,得到M=

對（評_2加）+"+加_2》進行分類討論：

當小+加―2=0時，解出加，再根據(jù)M=P和集合中元素的互異性進行排除；

當加2+加一2。0,列方程組解出m.

【詳解】因為〃11尸二尸，所以"口尸.

因為A/={1,（陽2-2〃?）+??+加一2）i},P={-l,l,4i},

所以當〃?2+加一2=0時，,解得加=1或加=一2；

若m=l,則有M={1「1},尸={—l,l,4i},符合MqP；

若加=—2,則有M={1,8},P={-l,l54i},