第07講正多邊形（4類題型）

第07講正多邊形（4類題型）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正多邊形的相關(guān)概念；2.正多邊形與圓；了解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。能運用正多邊形的知識解決圓的有關(guān)計算問題。知識點01：正多邊形與圓（一）正多邊形及有關(guān)概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。（二）正多邊形的有關(guān)計算（1）正邊形的每個內(nèi)角都等于（2）正邊形的每個中心角都等于（3）正邊形的其他計算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長面積【即學(xué)即練1】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，拼成一個四邊形，若拼成的四邊形的面積為S，則紙片的剩余部分的面積為（

）A． B． C． D．S【答案】C【分析】如圖所示可將正六邊形分為6個全等的三角形，拼成的四邊形由兩個三角形組成，剩余部分由4個三角形組成，故此可求得剩余部分的面積．【詳解】解：如圖所示：將正六邊形可分為6個全等的三角形，∵拼成的四邊形的面積為S，∴每一個三角形的面積為，∵剩余部分可分割為4個三角形，∴剩余部分的面積為．故選C．【點睛】本題考查的是正多邊形與圓的含義，熟練的把正六邊形分割為6個全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點是上的一點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圓內(nèi)接正多邊形中心角及同弧所多對的圓周角是圓心角一半定理即可．【詳解】如圖，連接，，∵六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，∴，∴，故選：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形和圓周角定理，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形中心角計算和圓周角定理角度計算．題型01求正多邊形的中心角1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）正八邊形的中心角等于（

）度A．36 B．45 C．60 D．72【答案】B【分析】直接用360度除以邊數(shù)即可得到答案．【詳解】解：，∴正八邊形的中心角等于45度，故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，熟知正n邊形的中心角度數(shù)為是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，正六邊形與正方形有重合的中心O，若是正n邊形的一個中心角，則n的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】連接，先求出的度數(shù)，然后利用正多邊形外角和等于，即可求出答案．【詳解】解：連接，如圖：根據(jù)題意，正六邊形和正方形的中心都是點O，∴，，∴；∵是某正n邊形的一個中心角，∴；故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的性質(zhì)，正確求出的度數(shù)．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角為，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有條對角線．【答案】7【分析】利用正多邊形的中心角的定義，即可求出這個多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線可求答案．【詳解】解：，．故這個正多邊形從一個頂點出發(fā)可以作的對角線條數(shù)是7．故答案為：7．【點睛】本題主要考查了正多邊形的中心角的定義、多邊形的對角線，熟練掌握邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線是本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇南京·九年級專題練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接正三角形，是的內(nèi)接正四邊形的一邊，連接，則是的內(nèi)接正邊形的一邊．【答案】十二/12【分析】連接、、，求出，，從而求出，根據(jù)，得出答案即可．【詳解】解：連接、、，如圖所示：∵是的內(nèi)接正三角形，∴，∵是的內(nèi)接正四邊形的一邊，∴，∴，∵，∴是的內(nèi)接正十二邊形的一邊．故答案為：十二．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形和圓的特點，求出．5．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點是正方形，的中心．（1）用直尺和圓規(guī)在正方形內(nèi)部作一點（異于點），使得（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作BC的垂直平分線即可求解；（2）根據(jù)題意證明即可求解．【詳解】如圖所示，點即為所求．連接由得：是正方形中心，在和中，．【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、垂直平分線的作圖及全等三角形的判定與性質(zhì)．題型02已知正多邊形的中心角求邊數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如果一個正多邊形的中心角是，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的邊數(shù)周角中心角，計算即可得解．【詳解】解：這個多邊形的邊數(shù)是，故選：C．【點睛】本題考查的是正多邊形的中心角的有關(guān)計算；熟記正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，邊AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，點C在上，且BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據(jù)中心角的度數(shù)=360°÷邊數(shù)，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數(shù)，可得∠AOC=15°，然后根據(jù)邊數(shù)n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內(nèi)接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、正八邊形、正二十四邊形的性質(zhì)；根據(jù)題意求出中心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）一個正多邊形的中心角是，則過它的一個頂點有條對角線．【答案】5【分析】根據(jù)正多邊形的中心角是，可求得是正幾邊形，然后利用過邊形的一個頂點有對角線計算即可．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為且正多邊形的中心角是，，，過邊形的一個頂點有條對角線，即條，故答案為：．【點睛】本題考查的是多邊形的對角線、正多邊形的中心角．解題的關(guān)鍵是要掌握過多邊形的一個頂點有條對角線、正多邊形的中心角都相等．4．（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一個正多邊形的中心角為，邊長為5，那么這個正多邊形的周長等于．【答案】40【分析】利用正多邊形的中心角求出正多邊形的邊數(shù)，最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出其周長．【詳解】解：一個正多邊形的中心角為，這個正多邊形的邊數(shù)為：，這個正多邊形的周長為：．故答案為：40．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于知道中心角與邊長的關(guān)系．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與三角形的邊分別交于點．設(shè)等邊的面積為S，通過證明可得，則．【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點．若正方形的面積為S，請用含S的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過程）．【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點．若四邊形面積為，請直接寫出正六邊形的面積．【答案】【類比探究】四邊形的面積=．【拓展應(yīng)用】6【分析】類比探究：通過證明可得，則．拓展應(yīng)用：通過證明可得，則．【詳解】解：類比探究：如圖2，∵為正方形的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．拓展應(yīng)用：如圖3，∵為正六邊形EF的中心角，∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，∵繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點∴∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為6．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型03正多邊形與圓1．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，正六邊形的半徑是，由正六邊形的性質(zhì)構(gòu)造證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交點為，由正多邊形的性質(zhì)得，點為正六邊形的中心點是正六邊形的中心，正六邊形的半徑是，，，是等邊三角形，，正六邊形的周長為：，故選：C．【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意構(gòu)造出是等邊三角形是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點（點不與點，重合），則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，根據(jù)正多邊形和圓的知識求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：連接、、，如圖，∵八邊形是正八邊形，∴，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、圓周角定理的應(yīng)用；熟練掌握中心角公式，由圓周角定理求出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）如圖，一個正方形剪去四個角后形成一個邊長為的正八邊形，則這個正方形的邊長為．【答案】【分析】如圖，剪去部分為4個全等的等腰直角三角形，設(shè)直角邊長為x，根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程，求得，進(jìn)而得出正方形邊長．【詳解】解：如圖，剪去部分為4個全等的等腰直角三角形，設(shè)直角邊長為x，則，解得∴正方形的邊長為：；故答案為：．【點睛】本題考查等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理，正多邊形性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正三角形與正五邊形內(nèi)接于，則的度數(shù)為．【答案】24【分析】設(shè)外接圓圓心為O，連接，根據(jù)正五邊形、正三角形和外接圓的性質(zhì)可知：平分，平分，可得，根據(jù)正五邊形和正三角形的性質(zhì)求出，，問題得解．【詳解】解：設(shè)外接圓圓心為O，連接，根據(jù)正五邊形、正三角形和外接圓的性質(zhì)可知：平分，平分，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，∵五邊形是正五邊形，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查正多邊形與外接圓等知識，得出是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點、、、都在上，，．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，再利用圓周角定理得出的度數(shù):（2）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)便可求得結(jié)果．【詳解】（1）∵點、、、都在上，∴，∵，∴，∴的度數(shù)為（2）連接，∵，∴，∴，∵，∴【點睛】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理和圓周角定理等知識，熟練掌握和運用這些定理是解決問題的關(guān)鍵．題型04尺規(guī)作圖—正多邊形1．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，為直徑，作的內(nèi)接正六邊形，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：1．作的中垂線，交圓于兩點；2．作的中垂線，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；乙：1．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；2．以為圓心，長為半徑作弧，交圓于兩點；3．順次連接六個點，六邊形即為所求；對于甲、乙兩人的作法，可判斷（

）A．甲對，乙不對 B．甲不對，乙對C．兩人都不對 D．兩人都對【答案】D【分析】甲的做法可根據(jù)對角線垂直平分可得到菱形，從而可得到多個等邊三角形和各邊和各角相等，乙的做法根據(jù)等邊三角的內(nèi)角是60°，求出其他等邊三角形，從而得出各邊和各角相等【詳解】甲：∵BF是中垂線

∴四邊形OCDE是菱形

∴△OCD,△OED都是等邊三角形，同理可得△OAB,△OAF也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形乙：∵AB=AO=BO=AF=OF∴△OAB,△OAF都是等邊三角形，同理可得△OCD,△OED也是等邊三角形

∴∠BOC=∠EOF=60°∴△OBC,△OEF也是等邊三角形∴內(nèi)接六邊形各邊相等，各角相等都是120°∴圓內(nèi)接六邊形ABCDEF是正六邊形故選D【點睛】本題關(guān)鍵是想辦法求出多個等邊三角形，從而得到六條邊，六個角也相等2．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，已知，求作：內(nèi)接正六邊形，以下是甲、乙兩同學(xué)的作業(yè)：甲：①先作直徑；②作的垂直平分線交于點、；③作的垂直平分線交于點、；④依次連接，六邊形即為所求（如圖①）．乙：①上任取點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；②以點為圓心，為半徑畫弧交于點；③同上述作圖方法逆時針作出點、、；④依次連接，多邊形即為正六邊形（如圖②）．對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（

）A．兩人都不對 B．甲對，乙不對 C．兩人都對 D．甲不對，乙對【答案】C【分析】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫弧可得．進(jìn)而即可判斷【詳解】由甲同學(xué)的作業(yè)可知，，同理可知，六邊形是正六邊形，即甲同學(xué)的作業(yè)正確．由乙同學(xué)的作業(yè)可知．依次畫弧可得．六邊形為正六邊形，即乙同學(xué)的作業(yè)正確．故選C【點睛】本題考查了正多邊形的尺規(guī)作圖，掌握正多邊形與圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，MF為直徑，OA⊥MF，圓內(nèi)接正五邊形ABCDE的部分尺規(guī)作圖步驟如下：①作出半徑OF的中點H．②以點H為圓心，HA為半徑作圓弧，交直徑MF于點G．③AG長即為正五邊形的邊長、依次作出各等分點B，C，D，E．已知⊙O的半徑R＝2，則AB2＝．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】連接AG，由作圖可知，OA＝2，H為OF中點，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可．【詳解】解：連接AG，由作圖可知，OA＝2，OH＝1，H為OF中點，∴OH=，在Rt△OAH中，由勾股定理∴AH＝，∵AH＝HG＝，∴OG＝GH﹣OH＝﹣1，在Rt△AOG中，由勾股定理得，∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2．故答案為：10﹣2．【點睛】本題考查尺規(guī)作圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧，掌握圓內(nèi)接正五邊形的方法與步驟，線段垂直平分線，勾股定理，作圓弧的方法是解題關(guān)鍵．4．（2022·天津南開·二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，O為格點，⊙經(jīng)過格點A．（1）⊙的周長等于；（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出⊙的內(nèi)接等邊，并簡要說明點B，C的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析【分析】（1）利用勾股定理可得答案；（2）延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【詳解】（1）∵⊙的半徑為：，∴⊙的周長，故答案為：（2）如圖：∵，又∵，∴，∴．∵，

∴，∴．∵，∴．∵，∴．

∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是矩形．∴，∴，∵，∴，

∴，∴．∵，∴，∵過圓心,，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形．故答案為：如圖，延長交網(wǎng)格線于點D，取格點E，F(xiàn)，連接交網(wǎng)格線于點G，作直線交于點B，C，連接，，則即為所求．【點睛】此題考查作圖中的復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題,屬于中考?？碱}型．5．（2022秋·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）作圖題：(1)尺規(guī)作圖：如圖，已知線段．求作線段的垂直平分線l，交于點C；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）(2)已知六邊形是以O(shè)為中心的中心對稱圖形（如圖），畫出六邊形的全部圖形，并寫出作法．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別以、為圓心，以任意長為半徑，兩圓相交于兩點，連接此兩點即可．（2）連接并延長到F，使得，連接BO并延長到E，使得，連接，，即可得出圖形．【詳解】（1）（2）解：連接并延長到F，使得，連接BO并延長到E，使得，連接，，，如圖，六邊形即為所求．【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，也考查了中心對稱圖形的性質(zhì)，熟練掌握一般作圖的步驟是解題的關(guān)鍵．A夯實基礎(chǔ)1．（2023春·河北衡水·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形的周長最大的是圖形（

）A．① B．② C．③ D．無法判定【答案】C【分析】根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長，再利用逐步逼近法選擇答案．【詳解】解：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長越來越接近圓周長，故選：C．【點睛】此題主要考查了正多邊形與圓，關(guān)鍵是知道圓內(nèi)接多邊形的周長小于圓周長．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，若的周長是，則正六邊形的邊長是（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【分析】如圖所示，由正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，可知是等邊三角形，由的周長是，可得即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖所示：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，是等邊三角形，∵的周長是，故選：【點睛】本題主要考查了圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，正確運用圓與正六邊形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將正方形和正五邊形的中心重合，按如圖位置放置，連接、，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出以點為中心的正五邊形和正方形的中心角即可．【詳解】解：如圖，連接，點是正五邊形和正方形的中心，，，．故選：A．【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形中心角的計算方法是正確解答的前提．4．（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖是一個正八邊形，則它（）A．只是軸對稱圖形 B．只是中心對稱圖形C．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形 D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形【答案】C【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進(jìn)行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．【詳解】解：正八邊形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選：C．【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵．5．（2023春·廣東云浮·九年級校考期末）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊長為3，則該圓的半徑為．【答案】【分析】證是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決．【詳解】解：如圖，在正六邊形內(nèi)，為中心，，是等邊三角形，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的證明和性質(zhì)的應(yīng)用，圓內(nèi)接正多邊形，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意證明等邊三角形．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖擺放著正五邊形和正，其中點在同一直線上，，則的度數(shù)是．【答案】144°【分析】利用平行線的性質(zhì)求出，可得結(jié)論．【詳解】解：在正五邊形中，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．7．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）刺繡是我國獨特的民間傳統(tǒng)手工藝品之一，至少有二三千年歷史.如圖是用紅色紗線完成的正五角星刺繡作品，則圖中的度數(shù)是度.【答案】126【分析】由正五角星得，,得到，由正五邊形的中心角得,利用四邊形內(nèi)角和為即可得到的度數(shù).【詳解】解：如圖，由正五角星得，,∴，∵,∴，故答案為：126【點睛】此題考查了正多邊形的相關(guān)知識，數(shù)形結(jié)合和正確計算是解題的關(guān)鍵.8．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于．若的周長為，則該正六邊形的邊長是．【答案】6【分析】連接，易證是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得⊙O的半徑．【詳解】解：連接，∵多邊形是正六邊形，的周長為∴，的半徑∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．9．（2023秋·全國·七年級隨堂練習(xí)）如圖，把一個圓分成三個扇形，你能求出這三個扇形的圓心角嗎？【答案】．【分析】根據(jù)扇形所占的百分比即可求出圓心角．【詳解】∵周角是360°，∴，，．【點睛】此題考查了扇形所占的百分比和扇形圓心角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形所占的百分比和扇形圓心角之間的關(guān)系．扇形的圓心角=360°×百分比．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB=cm，求⊙O的半徑．【答案】2cm【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得出點O既是三角形內(nèi)心也是外心，進(jìn)而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用銳角函數(shù)關(guān)系得出BO即可．【詳解】過點O作OD⊥BC于點D，連接BO，∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴點O即是三角形內(nèi)心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD=BC=AB=，∴cos30°===，解得：BO=2，即⊙O的半徑為2cm．【點睛】考查了正多邊形和圓，利用正多邊形內(nèi)外心的特殊關(guān)系得出∠OBD=30°，BD=CD是解題關(guān)鍵．B能力提升1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，某同學(xué)作了一個圓內(nèi)接正十二邊形．若的半徑為1，則這個圓內(nèi)接正十二邊形的面積為（）A．1 B．3 C． D．【答案】B【分析】如圖，過A作于C，得到圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過A作于C，∵圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為，，∴，∴，∴這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，含30度角的直角三角形性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是正八邊形的外接圓，則下列結(jié)論：①；②的度數(shù)為；③．其中所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【詳解】連接，，求出正八邊形的中心角，得到，根據(jù)這條弧的度數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)可得到②正確；由勾股定理求得，可得①正確；由于，可得，于是得到③正確．【解答】解：連接，，如圖所示：∵，∴，∴的度數(shù)為，故②正確；∵，，∴，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∵，∴，故③正確；綜上分析可知，正確的是①②③．故選：D．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握正多邊形的中心角和邊數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形的邊長為2，現(xiàn)將它沿方向平移1個單位，得到正六邊形，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，過作于H，得到四邊形是矩形，解直角三角形得到，，，求得，根據(jù)矩形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，，過作于H，則四邊形是矩形，∵正六邊形的邊長為2，，，，，，∵將它沿方向平移1個單位，，∴陰影部分的面積，故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，矩形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，螺母的一個面的外沿可以看作是正六邊形，這個正六邊形的半徑是，則這個正六邊形的周長是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，正六邊形的半徑是，由正六邊形的性質(zhì)構(gòu)造證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，交點為，由正多邊形的性質(zhì)得，點為正六邊形的中心點是正六邊形的中心，正六邊形的半徑是，，，是等邊三角形，，正六邊形的周長為：，故選：C．【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)；根據(jù)題意構(gòu)造出是等邊三角形是解題關(guān)鍵．5．（2023·廣東廣州·?？家荒＃┦堑膬?nèi)接正六邊形一邊，點是優(yōu)弧上的一點（點不與點，重合）且，與交于點，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】根據(jù)題意可求得，結(jié)合圓周角定理，可求得，結(jié)合平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】∵是的內(nèi)接正六邊形一邊，∴．∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查圓周角定理、正多邊形與圓、平行線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，牢記圓周角定理（一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，若的半徑為1，則的內(nèi)接正八邊形的面積為．【答案】【分析】利用勾股定理求出正方形的邊長，根據(jù)即可．【詳解】解：連接，，，∵四邊形是圓內(nèi)接正四邊形，，是圓的直徑，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形，利用圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)求出正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·吉林長春·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線與正六邊形的邊分別交于點G、H，若，則度．【答案】50【分析】根據(jù)n邊形內(nèi)角和，正多邊形內(nèi)角相等處理．【詳解】解：正六邊形的內(nèi)角，四邊形內(nèi)角和為，∴．故答案為：50．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和公式，正多邊形的性質(zhì)，掌握多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）下列說法中正確的有（填所有正確結(jié)論的序號）．（1）直角三角形只有一條高；（2）邊形共有條對角線；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）如果一個多邊形的各邊都相等，那么它是正多邊形；（5）圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合；【答案】（3）（5）/（5）（3）【分析】根據(jù)圓的集合定義，正多邊形的定義，多邊形的定義等知識一一判斷即可．【詳解】解：（1）直角三角形有三條高，故不符合題意；（2）邊形共有條對角線，故不符合題意；（3）半徑相等的兩個圓是等圓，故符合題意；（4）如果一個多邊形的各邊都相等，各角都相等，那么它是正多邊形，故不符合題意；（5）圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，故符合題意．故答案為：（3）（5）．【點睛】本題考查圓的集合定義，正多邊形的定義，多邊形的定義等知識，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，點，分別是正六邊形的邊，上的點，且，交于點．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到，，由三角形全等的判定定理即可證出；（2）由，得到，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵在正六邊形中，，，在與中，，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了正多邊形的計算及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地利用正六邊形中相等的元素．10．（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)了，多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形觀察每個正多邊形中的變化情況，解答下列問題：(1)將如表的表格補充完整：正多邊形邊數(shù)______的度數(shù)________________________(2)根據(jù)規(guī)律，是否存在一個正邊形，使其中的？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，，，(2)不存在一個正邊形，使其中的，理由見解析【分析】（1）根據(jù)正多邊形的內(nèi)角，內(nèi)角和以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)（1）中的計算方法得出，代入計算即可．【詳解】（1）解：正三角形中的度數(shù)是正三角形的內(nèi)角度數(shù)，即，正方形中的度數(shù)為，即，正五邊形中的度數(shù)為，即，正六邊形中的度數(shù)為，即，正邊形中的度數(shù)為，即，當(dāng)時，即，解得，故答案為：，，，，；（2）由（1）得，正邊形中，當(dāng)時，即，解得不是整數(shù)，所以不存在一個正邊形，使其中的．【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和的計算方法是正確解答的前提，得出是解決問題的關(guān)鍵．C綜合素養(yǎng)1．（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，連接的內(nèi)接正十二邊形頂點得到，，若，則陰影部分的面積為（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件得到，求得，，得到，過作于，于，解直角三角形得到，，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，，，，，，過作于，于，，，，，，，，陰影部分的面積為．故選：B．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，梯形的面積的計算，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點重合，軸，交軸于點．將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理求出，，進(jìn)而確定點的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)分別得出旋轉(zhuǎn)1次、2次、3次、4次、5次所對應(yīng)點的坐標(biāo)進(jìn)而得出規(guī)律，由規(guī)律可得答案．【詳解】解：在中，，，，點的坐標(biāo)為，第1次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第四象限，其坐標(biāo)為，，第2次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第三象限，其坐標(biāo)為，第3次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第二象限，其坐標(biāo)為，，第4次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第一象限，其坐標(biāo)為，第5次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第四象限，其坐標(biāo)為，，∴整個旋轉(zhuǎn)過程是4次一個循環(huán)，且，∴第2023次順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點第二象限，其坐標(biāo)為，，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形，旋轉(zhuǎn)以及勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)，得出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是正確解答的前提．3．（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，正六邊形內(nèi)接于半徑為的中，連接，，，沿直線折疊，使得點與點重合，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及圓的對稱性可得出，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，進(jìn)而求出，由圖形中各個部分面積之間的關(guān)系可得，根據(jù)三角形的面積計算公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：如圖，連接，交于點，則，由折疊可知，，在中，，，由題意可知，是等邊三角形，陰影部分面積等于，連接，點為的內(nèi)心，到三邊的距離相等，，，故選：．【點睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．4．（2023春·河北邢臺·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖所示正六邊形的面積為6，點是邊的中點，連接相交于，若四邊形的面積記作，四邊形的面積記作，則的值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)分別求出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：由正六邊形的對稱性可知：∴是全等的等邊三角形∴四邊形是菱形同理，∵∴∵點是邊的中點∴∵∴故選：B【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)．將所求面積與正六邊形的面積建立聯(lián)系是解題關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點在弧上，則的度數(shù)為．【答案】/36度【分析】連接，，構(gòu)造圓心角，利用正五邊形的性質(zhì)求得圓心角的度數(shù)，從而求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，，∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了正多邊形與圓以及圓心角、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)以及圓周角與圓心角的關(guān)系．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在正五邊形中，是的中點，點在線段上運動，連接，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)對稱的定義得出當(dāng)點在同一條直線上時，的周長最小，由正五邊形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義進(jìn)行計算即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)點在同一條直線上時，的周長最小，

，五邊形是正五邊形，，，，是的中點，是正五邊形的一條對稱軸，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對稱的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，延長正五邊形各邊，使得，若，則的度數(shù)為．【答案】/36度【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，可求出正五邊形的每個內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出是等腰三角形，并求出各個內(nèi)角度數(shù)，由全等三角形的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，，又∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，同理可得，即五邊形是正五邊形，在中，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形的圓，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，掌握正五邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提．8．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）某數(shù)學(xué)小組在一個半徑為2的圓形場地上做探究實踐活動．（1）如圖1，小組將圓形場地分為12等份．機(jī)器人從一個點到另外一個點均是直線行走．①機(jī)器人從點走到點的路程為；②機(jī)器人從點到點走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長記為，路線2的長記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機(jī)器人從出發(fā)，沿與