幾何畫板不平凡數(shù)學(xué)教學(xué)顯身手-以橢圓中應(yīng)用幾何畫板教學(xué)為例

個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)/個(gè)人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)幾何畫板不平凡數(shù)學(xué)教學(xué)顯身手——以橢圓中應(yīng)用幾何畫板教學(xué)為例-中學(xué)數(shù)學(xué)論文幾何畫板不平凡數(shù)學(xué)教學(xué)顯身手——以橢圓中應(yīng)用幾何畫板教學(xué)為例

浙江義烏大成中學(xué)許靜香

現(xiàn)代信息技術(shù)地發(fā)展，正在改變著整個(gè)世界，數(shù)學(xué)教育也不例外.新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“盡可能使用科學(xué)計(jì)算器、各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)地結(jié)合，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用計(jì)算機(jī)、計(jì)算器等進(jìn)行探索和發(fā)現(xiàn).”幾何畫板是一款功能強(qiáng)大地?cái)?shù)學(xué)圖形應(yīng)用軟件，它可以化抽象為形象，化枯燥為有趣，化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，把難以用傳統(tǒng)教學(xué)方式表述地?cái)?shù)學(xué)問(wèn)題形象化、生動(dòng)化.因此，將幾何畫板應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，能進(jìn)一步活躍課堂氛圍，拓寬教學(xué)思路，提升教學(xué)效率，具有非常積極地現(xiàn)實(shí)意義.下面筆者將以橢圓教學(xué)為例談?wù)剮缀萎嫲逶诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中地“不凡”表現(xiàn).

一、通過(guò)幾何畫板情境創(chuàng)設(shè)激情趣

本人在執(zhí)教高中數(shù)學(xué)選修2-1《橢圓》一課時(shí)，是從研究我國(guó)人造地球衛(wèi)星、運(yùn)載火箭、載人飛船開始地.“神州十號(hào)”載人飛船已于2013年6月11日順利升空，并于6月13日與天宮一號(hào)成功進(jìn)行對(duì)接.通過(guò)師生簡(jiǎn)單對(duì)話后，用幾何畫板展示“神州十號(hào)”運(yùn)行軌道圖片，軌道用彩色圖片呈現(xiàn)，并拖動(dòng)點(diǎn)模擬繞行.這樣，在課一開始，就給學(xué)生獻(xiàn)上”一盤視覺盛宴，”沖擊學(xué)生感官，激起學(xué)生學(xué)習(xí)地興奮點(diǎn).利用幾何畫板來(lái)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，可以既關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)、激發(fā)學(xué)生地民族自豪感，又增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)地好奇心，提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)地興趣和積極性.

二、通過(guò)幾何畫板概念講解增“形象”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維地細(xì)胞，是進(jìn)行判斷和推理地基礎(chǔ)，是“數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)之根”.然而概念又往往具有高度地概括性和抽象性，這也給課堂教學(xué)活動(dòng)增加了難度.新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，概念地教學(xué)，要讓學(xué)生充分經(jīng)歷、體驗(yàn)知識(shí)地發(fā)生發(fā)展過(guò)程.合理利用幾何畫板，可以借助情境中具體化、生活化地事物加深對(duì)抽象概念地理解，化抽象為形象，提高概念教學(xué)地有效性.筆者曾經(jīng)多次上過(guò)、聽過(guò)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課，下面是有幸聽到地一次優(yōu)質(zhì)課評(píng)比中關(guān)于概念教學(xué)部分地實(shí)錄.

環(huán)節(jié)1：老師通過(guò)幾何畫板，動(dòng)態(tài)展示橢圓地形成過(guò)程，讓學(xué)生觀察并感受：橢圓是點(diǎn)按一定“規(guī)律”運(yùn)動(dòng)地軌跡.如圖，線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)B.現(xiàn)分別以F1，F(xiàn)2為圓心，|AB|與|BC|為半徑作圓，觀察兩圓交點(diǎn)M，N地軌跡.然后向同學(xué)提問(wèn)：在運(yùn)動(dòng)中，哪些是不變量，哪些是變化量？能不能把不變量用數(shù)學(xué)關(guān)系式表達(dá)出來(lái)？點(diǎn)M，N是以怎樣地規(guī)律進(jìn)行運(yùn)動(dòng)地？應(yīng)用這一規(guī)律能不能畫出一個(gè)橢圓？

環(huán)節(jié)2：用以上總結(jié)地規(guī)律，指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作并相互合作，體驗(yàn)畫橢圓地過(guò)程（課前已備細(xì)繩、釘子等.（請(qǐng)兩名同學(xué)在黑板上展示）

環(huán)節(jié)3：師生共同完成橢圓定義.在歸納定義時(shí)，教師根據(jù)回答情況，不斷引導(dǎo)學(xué)生加深理解并完善橢圓地定義，并強(qiáng)調(diào)“和”、“常數(shù)”及“常數(shù)地范圍”等關(guān)鍵詞.同時(shí)，老師通過(guò)幾何畫板演示（見右圖）：當(dāng)兩定點(diǎn)間距離等于線段|AB|長(zhǎng)度時(shí)地軌跡（為一條線段）；當(dāng)兩定點(diǎn)距離大于線段|AB|長(zhǎng)度時(shí)地軌跡（不存在）.由此讓學(xué)生概括提煉出橢圓定義中常數(shù)地范圍.

這里，先由老師用幾何畫板動(dòng)畫演示得到橢圓軌跡，使學(xué)生獲得橢圓概念地初步印象，接著再動(dòng)手實(shí)踐，最后師生共同得到橢圓定義，并借助幾何畫板完善定義.這樣，既給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)實(shí)驗(yàn)地機(jī)會(huì)，更是通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)地展示，把橢圓形成過(guò)程給學(xué)生帶去理性地思考.把幾何畫板和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有機(jī)地結(jié)合，多方面、多角度調(diào)動(dòng)學(xué)生感官，真正讓學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念地形成、深化過(guò)程，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)不是無(wú)本之木.

三、通過(guò)幾何畫板性質(zhì)教學(xué)顯生動(dòng)

圓錐曲線作為解析幾何中地核心內(nèi)容，其性質(zhì)地研究和利用具有很重要地意義.借助幾何畫板，使隱蔽地幾何關(guān)系得到顯示，圓錐曲線地性質(zhì)“昭然若揭”，性質(zhì)教學(xué)顯得格外生動(dòng).

在推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先由幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，再移項(xiàng)化簡(jiǎn)，師生共同得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.在快“到達(dá)”標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，以往只能說(shuō)是為了整齊美觀，然后進(jìn)行適當(dāng)換元.而有了幾何畫板，就可以作如下處理:讓學(xué)生觀察右圖，當(dāng)B是線段AC中點(diǎn)時(shí)，有|MF1|=|MF2|=a，由|OF1|=c，可得a2-c2=|MO|2，令a2-c2=b2，則上式就化成標(biāo)準(zhǔn)方程了.這里，對(duì)“令a2-c2=b2”地?fù)Q元并沒(méi)有做很生硬地處理，而是通過(guò)幾何畫板讓學(xué)生觀察：當(dāng)M為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，特征三角形所體現(xiàn)出來(lái)地幾何關(guān)系，然后再引導(dǎo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)刈儞Q.這樣，a2-c2=b2地引進(jìn)就更具自然性和生動(dòng)性.

又如，在《橢圓地簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》中，離心率是刻畫橢圓扁圓程度地幾何量，學(xué)生普遍反應(yīng)是抽象難懂地.在傳統(tǒng)地教學(xué)中，我們只能進(jìn)行理論地分析：當(dāng)a不變，c越大，則b越小，從而引起圖形地扁平變化.而利用幾何畫板，可以讓這個(gè)變化“唾手可得”.只要輸入不同地a，c值，橢圓立馬就展現(xiàn)眼前.在動(dòng)態(tài)地演變中，可以很清晰、快捷地得出離心率與橢圓扁平程度之間地關(guān)系，加深對(duì)離心率地理解.（見右圖）

四、通過(guò)幾何畫板例題解析“拓”思維

思維是智力地核心.相比對(duì)知識(shí)點(diǎn)地認(rèn)識(shí)與掌握，科學(xué)合理地思維方式更為重要.高中數(shù)學(xué)中地知識(shí)點(diǎn)，在編寫上多是以專題和模塊地形式出現(xiàn)地，但是各章節(jié)之間并不是孤立存在地，相互之間有著緊密地聯(lián)系，并共同構(gòu)筑起高中數(shù)學(xué)地知識(shí)“大廈”.借助幾何畫板，可以幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)點(diǎn)之間地聯(lián)系，并將此聯(lián)系隨著學(xué)生思維地變化逐步展示出來(lái)，在提升學(xué)生綜合知識(shí)能力地同時(shí)，拓展師生地思維能力.下面筆者將教材中相關(guān)例子作一摘錄.

案例1：與圓地綜合

例：如圖，已知一個(gè)圓地圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP1，求線段PP1中點(diǎn)M地軌跡.（圖略，見選修2-1第41頁(yè)）

教科書提出一個(gè)思考題：“從本例你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間地關(guān)系嗎？”這里，先利用中間變量求得M點(diǎn)地軌跡方程，由方程形式確定原來(lái)軌跡就是橢圓.然后通過(guò)幾何畫板拖動(dòng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生感受M點(diǎn)跟著形成橢圓地過(guò)程.幾何畫板，讓師生更便捷、直觀地體驗(yàn)橢圓與圓之間地“血緣”關(guān)系，原來(lái)橢圓就是“壓扁”了地圓.

案例2：與直線地綜合

例：如圖2.2-6，設(shè)點(diǎn)A,B地坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0)，直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們地斜率之積是，求點(diǎn)M地軌跡方程.（圖略，見選修2-1第41頁(yè)）

本例給出了生成橢圓地又一種方法，在保證兩直線斜率之積是常數(shù)，它們地交點(diǎn)居然也能產(chǎn)生橢圓！利用幾何畫板使學(xué)生體會(huì)到橢圓地幾何特征可以有不同地表現(xiàn)形式.

例：已知橢圓，直線l:4x-5y+40=0，橢圓上是否存在一點(diǎn)，它到直線l地距離最??？最小距離是多少？（圖略，見選修2-1第47頁(yè)）

通過(guò)幾何畫板讓直線動(dòng)起來(lái)，動(dòng)態(tài)嘗試、體會(huì)直線與橢圓何時(shí)能取到最近距離.先直觀，然后用坐標(biāo)法加以解決，把幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)結(jié)果解釋幾何問(wèn)題.

案例3：與圓錐曲線“家族”內(nèi)其他成員地綜合

例：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)地距離和它到直線l:x=地距離地比是常數(shù)，求點(diǎn)M地軌跡．（圖略，見選修2-1第47頁(yè)）

本例題使學(xué)生感受橢圓地另外一種定義形式，為后面雙曲線、拋物線地教學(xué)打下伏筆.其中，用幾何畫板設(shè)置不同地F點(diǎn)、不同地直線l、不同地常數(shù)，并動(dòng)態(tài)展示M地不同軌跡，再次感受橢圓地又一種生成方式.

以上幾例，都充分借助幾何畫板，在既有知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)上進(jìn)行嘗試、探索，并觀察、分析和把握相關(guān)圖形地內(nèi)在規(guī)律，繼而增強(qiáng)了知識(shí)間地聯(lián)系、深化了對(duì)知識(shí)點(diǎn)地理解，使知識(shí)內(nèi)化為智能、拓展成能力.

五、通過(guò)幾何畫板課外延伸引思路

“書上得來(lái)總覺淺，絕知此事要躬行”.在新課程地背景下，動(dòng)手實(shí)踐、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，比以往任何時(shí)候都來(lái)得重要.在老師引導(dǎo)下，創(chuàng)建學(xué)習(xí)小組，以小組為單位進(jìn)行動(dòng)手實(shí)踐、合作學(xué)習(xí)、課外學(xué)習(xí)，是一種很好地選擇.信息技術(shù)與網(wǎng)絡(luò)為更好地動(dòng)手實(shí)踐、合作學(xué)習(xí)、資源共享提供了可能.利用幾何畫板，利用教材資源，利用小組合作，讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，并相互討論、交流,合情猜想,再進(jìn)行動(dòng)手驗(yàn)證.這是新課程極為倡導(dǎo)地學(xué)習(xí)方式.以下是橢圓中適合課后研究地部分問(wèn)題摘錄.

案例4：探究與發(fā)現(xiàn)中地一些問(wèn)題

例：教材第42頁(yè)對(duì)“為什么截口曲線是橢圓”地探究與發(fā)現(xiàn)中，特意呈現(xiàn)了兩個(gè)圖形.圖1（略）是一個(gè)圓錐被多種不同傾斜程度地平面所截，圖2（略）是一個(gè)圓柱被一個(gè)與母線斜交地平面所截.

一個(gè)平面地立體圖形展示線面關(guān)系畢竟是靜態(tài)地、有限地，用幾何畫板演示平面截圓錐面地過(guò)程，在感受直觀性地同時(shí)可以引發(fā)思考、指引方向、啟迪思路，為問(wèn)題地解決創(chuàng)造了良好地內(nèi)、外環(huán)境.

案例5：基礎(chǔ)與習(xí)題中地一些問(wèn)題

例：圓O地半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段AP地垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q地軌跡是什么？為什么？（圖略，見選修2-1第49頁(yè)習(xí)題2.2A組）

通過(guò)幾何畫板,拖動(dòng)P點(diǎn)在圓周上繞行，體會(huì)Q點(diǎn)軌跡，在P點(diǎn)繞行一周時(shí)，Q點(diǎn)也形成了一個(gè)封閉曲線，居然是橢圓，從而引發(fā)對(duì)動(dòng)點(diǎn)Q滿足固定條件地思考.

案例6：提升與習(xí)題中地一些問(wèn)題

例：與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心地軌跡方程，并說(shuō)明它是什么樣地曲線？（選修2-1第50頁(yè)習(xí)題2.2B組）

此問(wèn)題中地動(dòng)圓，是圓心變化、半徑也變化，要在多個(gè)量地變化中找到相對(duì)固定地關(guān)系實(shí)在不容易.而幾何畫板地使用，為動(dòng)圓圓心軌跡類型地確定立了大功，從而指引了本題解決地大方向.

從以上地探究與發(fā)現(xiàn)、書后習(xí)題地解決看到，幾何畫板在對(duì)猜想地驗(yàn)證、問(wèn)題解決方案地尋求上立下了“汗馬功勞”！書后習(xí)題中借助幾何畫板后大有好處地例子還有很多，這里摘錄地僅僅是“冰山一角”.幾何畫板能使得教材中很多主體內(nèi)容地教學(xué)更加“得心應(yīng)手”，同樣，幾何畫板地使用也為課后習(xí)題、探究與發(fā)現(xiàn)等課外知識(shí)地延伸與拓展指引了方向、開拓了思路.

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1A版[M].北京:人民教育出版社，2003.

[3]袁龍奇.試析信息技術(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中地作用[J].學(xué)周刊,2014,(01):41.

[4]宋成生.高中數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)整合地探究[J],學(xué)周刊,2013,(07):67.

[5]陶維林.幾何畫板課件制作教程[M].人民教育出版社2005.11.

版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個(gè)人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersonalownership.b5E2RGbCAP用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個(gè)人學(xué)習(xí)、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途，但同時(shí)應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利.除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時(shí)，須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面許可，并支付報(bào)酬.p1EanqFDPwUsersmayusethecontentsorservicesofthisarticleforpersonalstudy,researchorappreciation,andothernon-commercialornon-profitpurposes,butatthesametime,theyshallabidebytheprovisionsofcopyrightlawandotherrelevantlaws,andshallnotinfringeuponthelegitimaterightsofthiswebsiteanditsrelevantobligees.Inaddition,whenanycontentorserviceofthisarticleisusedforotherpurposes,writtenpermissionandremunerationshallbeobtainedfromthepersonconcernedandtherelevantobligee.DXDiTa9E3d轉(zhuǎn)載或引用本文內(nèi)容必須是以新聞性或資料性公共免費(fèi)信息為使用目地地合理、善意引用，不得對(duì)本文內(nèi)容原意進(jìn)行曲解、修改，并自負(fù)版權(quán)等法律責(zé)任.RTCrpUDGiTReproductionorquotationofthe