第03講 二次函數(shù)（含解析）-【提高班精講課】2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)重點專題18講（滬教版2020必修第一冊上海專用）

第3講二次函數(shù)的區(qū)間最值第3講二次函數(shù)的區(qū)間最值知識梳理與應(yīng)用主要考察：二次函數(shù)的區(qū)間最值一元二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域（以為例）：設(shè)，1．當(dāng)時，的值域為；2.當(dāng)時,，；此時根據(jù)二次函數(shù)的軸對稱性，兩個區(qū)間端點，距離對稱軸較遠的那一個端點函數(shù)值更大，即： （1）當(dāng)時，； （2）當(dāng)時，；3.當(dāng)時，的值域為.基本思路：判斷二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系；判斷二次函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；確定二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值；基礎(chǔ)類型：不含參二次函數(shù)的區(qū)間最值【例1】（2021·上海市延安中學(xué)高一期末）★★☆☆☆函數(shù)在區(qū)間上的值域為____________.【答案】【詳解】函數(shù)的對稱軸為，所以可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以函數(shù)最小值為，又因為時，；時，，所以函數(shù)最大值為，所以值域為.故答案為：.【練習(xí)】（2020·上海高一專題練習(xí)）★★☆☆☆求函數(shù)的值域______________．【答案】【詳解】由題意，知：且，∴，所以函數(shù)值域為.進階類型一：含參情況下二次函數(shù)的的區(qū)間最值當(dāng)含有參數(shù)的時候，二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系無法確定，此時需要分類討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系：（1）軸動區(qū)間定【例2】（2017·上海市七寶中學(xué)高一期中）★★★☆☆設(shè)二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為，集合.（1）若，且，求；（2）若，且，記，求的最小值.【答案】（1）；（2）【詳解】（1），，，有兩根為1，2．由韋達定理得（2）若，方程有兩相等實根，根據(jù)韋達定理得到，，所以，，，，其對稱軸方程為，則（）又（）在區(qū)間，上為單調(diào)遞增的，當(dāng)時，（）（2）軸定區(qū)間動【例3】（2017·上海曹楊二中）★★★☆☆設(shè)，函數(shù)的最小值為.（1）求的解析式（2）畫出函數(shù)的大致圖形（3）求函數(shù)的最值【答案】（1）；（2）作圖見詳解；（3）最小值為，無最大值【詳解】（1）由于函數(shù)對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值為；當(dāng)，即時，故函數(shù)的最小值；當(dāng)，即時，函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值為；綜上所述，，（2）作出的圖像，如圖所示：（3）由（2）的圖像，函數(shù)的最小值為，無最大值.綜上所述，函數(shù)的最小值為，無最大值.（3）已知區(qū)間最值求參數(shù)【例4】（2016·上海華師大二附中高一期中）★★★★☆已知函數(shù)；（1）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在整數(shù)，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為，若存在，求出，的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在整數(shù)，，，或，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為【詳解】解：（1）函數(shù)的對稱軸為，①當(dāng)，即時，，不滿足，②當(dāng)，即時，符合題意.③，即時，.綜上：實數(shù)的取值范圍：.（2）假設(shè)存在整數(shù)，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為，即的解集為.可得，.即的兩個實數(shù)根為，.即可得出.，.，當(dāng)時，不存在，舍去，當(dāng)時，，或，.故存在整數(shù)，，且，或，，使得關(guān)于的不等式的解集恰好為.【練習(xí)】1、（2021·上海市大同中學(xué)高一期末）★★★☆☆已知，，，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時，，其中.①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，.綜上所述，；（2）當(dāng)時，，其中.①當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；②當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，；③當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，.綜上所述，.【練習(xí)】2、（2020·上海市行知中學(xué)高一月考）★★★☆☆已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求的值．【答案】（1）值域為；（2）或或．【詳解】（1）當(dāng)時，，其對稱軸為所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為（2）函數(shù)圖象的對稱軸為當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，解得或（舍）當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增解得當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，解得或（舍）綜上：或或進階類型二：復(fù)合二次形式函數(shù)最值【例5】（2018·上海市羅店中學(xué)高一期末）★★★☆☆已知函數(shù)（1）若，求的值域；（2）當(dāng)時，求的最小值.【答案】（1）（2）【詳解】解：（1）當(dāng)時,則因為,所以,.（2）令,因為,故,函數(shù)可化為,當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,；綜上,.【練習(xí)】（2021·上海高三三模）★★★★☆已知函數(shù).（1）設(shè)是圖像上的兩點，直線斜率存在，求證：；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.【詳解】（1）∵單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，∴在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，而，∴恒成立，結(jié)論得證.（2）由題意，有且，令，則，開口向上且對稱軸為，∴當(dāng)，即時，，即；當(dāng)，即時，，即；

1、（2020·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一月考）★★★★☆已知函數(shù).（1）若時，函數(shù)的最大值也是，求的值.（2）若函數(shù)，求函數(shù)的最小值.（提示，或）（3）若函數(shù)，，求函數(shù)的最大值.【答案】（1）；（2）；（3）時，函數(shù)的最大值為；時，函數(shù)的最大值為.【詳解】（1）在上遞增，的最大值為，