2019-2023年真題分類匯編（新高考）專題09平面向量、不等式及復(fù)數(shù)(原卷版+解析)

五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題09平面向量、不等式及復(fù)數(shù)考點一基本不等式及其應(yīng)用1．（2019?上海）若，，且，則的最大值為．2．（2020?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．3．（2022?上海）若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．4．【多選】（2020?山東）已知，，且，則A． B． C． D．5．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則．6．【多選】（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則A． B． C． D．考點二平面向量的線性運算7．（2020?海南）在中，是邊上的中點，則A． B． C． D．8．（2019?浙江）已知正方形的邊長為1．當(dāng)每個，2，3，4，5，取遍時，的最小值是，最大值是．9．（2020?上海）已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是．考點三平面向量的基本定理10．（2022?新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則A． B． C． D．考點四平面向量數(shù)量積的運算11．（2023?上海）已知向量，，則．12．（2021?浙江）已知非零向量，，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件13．（2021?上海）如圖正方形的邊長為3，求．14．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．15．（2020?上海）三角形中，是中點，，，，則．16．【多選】（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，，則A． B． C． D．17．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．18．（2020?山東）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是A． B． C． D．19．（2021?上海）在中，為中點，為中點，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立20．（2022?浙江）設(shè)點在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．21．（2021?浙江）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．考點五平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用22．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則A． B． C． D．23．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．24．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則A． B． C．5 D．625．（2020?浙江）已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是．考點六復(fù)數(shù)的基本概念26．（2022?浙江）已知，，為虛數(shù)單位），則A．， B．， C．， D．，27．（2020?浙江）已知，若為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則A．1 B． C．2 D．考點七復(fù)數(shù)的幾何意義28．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限29．（2021?新高考Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在的象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考點八復(fù)數(shù)的運算30．（2023?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C．0 D．131．（2022?新高考Ⅱ）A． B． C． D．32．（2021?浙江）已知，為虛數(shù)單位），則A． B．1 C． D．333．（2020?海南）A． B． C． D．34．（2020?山東）A．1 B． C． D．35．（2023?上海）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．36．（2021?上海）已知，，求．37．（2020?上海）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．38．（2019?上海）已知，且滿足，求．39．（2019?浙江）復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．考點九共軛復(fù)數(shù)40．（2022?新高考Ⅰ）若，則A． B． C．1 D．241．（2021?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C． D．42．（2022?上海）已知（其中為虛數(shù)單位），則．43．（2020?上海）已知復(fù)數(shù)滿足，則的實部為．五年（2019-2023）年高考真題分項匯編專題09平面向量、不等式及復(fù)數(shù)考點一基本不等式及其應(yīng)用1．（2019?上海）若，，且，則的最大值為．【解析】，；故答案為：2．（2020?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【解析】．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤；．顯然當(dāng)，時，不等式不成立，故錯誤．故選：．3．（2022?上海）若實數(shù)、滿足，下列不等式中恒成立的是A． B． C． D．【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，故正確，錯誤，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故錯誤，故選：．4．【多選】（2020?山東）已知，，且，則A． B． C． D．【解析】①已知，，且，所以，則，故正確．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關(guān)系式進行平方，整理得，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故正確．故選：．5．（2021?上海）已知函數(shù)的最小值為5，則．【解析】，所以，經(jīng)檢驗，時等號成立．故答案為：9．6．【多選】（2022?新高考Ⅱ）若，滿足，則A． B． C． D．【解析】方法一：由可得，，令，則，，，故錯，對，，，故對，錯，方法二：對于，，由可得，，即，，，故錯，對，對于，，由得，，，故對；，，，故錯誤．故選：．考點二平面向量的線性運算7．（2020?海南）在中，是邊上的中點，則A． B． C． D．【解析】在中，是邊上的中點，則．故選：．8．（2019?浙江）已知正方形的邊長為1．當(dāng)每個，2，3，4，5，取遍時，的最小值是，最大值是．【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，，，，中第一個括號中的，與第二個括號中的，的取值互不影響，只需討論，的取值情況即可，當(dāng)，同號時，不妨取，，則式即為，，，，，，，，時，取得最小值0，當(dāng)（如，，，時，式取得最大值為，當(dāng)，異號時，不妨取，，則式即為，同理可得最小值為0，最大值為．故答案為：0；．9．（2020?上海）已知，，，，，是平面內(nèi)兩兩互不相等的向量，滿足，且，（其中，2，，2，，，則的最大值是．【解析】如圖，設(shè)，，由，且，，分別以，為圓心，以1和2為半徑畫圓，其中任意兩圓的公共點共有6個．故滿足條件的的最大值為6．故答案為：6．考點三平面向量的基本定理10．（2022?新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則A． B． C． D．【解析】如圖，，，即．故選：．考點四平面向量數(shù)量積的運算11．（2023?上海）已知向量，，則．【解析】向量，，．故答案為：4．12．（2021?浙江）已知非零向量，，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)且，則，但與不一定相等，故不能推出，則“”是“”的不充分條件；由，可得，則，即，所以可以推出，故“”是“”的必要條件．綜上所述，“”是“”的必要不充分條件．故選：．13．（2021?上海）如圖正方形的邊長為3，求．【解析】由數(shù)量積的定義，可得，因為，所以．故答案為：9．14．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．【解析】方法1：由得或或，或或，又，，，，，，，，．故答案為：．方法．故答案為：．15．（2020?上海）三角形中，是中點，，，，則．【解析】在中，，，，由余弦定理得，，，且是的中點，．故答案為：．16．【多選】（2021?新高考Ⅰ）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，，則A． B． C． D．【解析】法一、，，，，，，，，，，，，則，，則，故正確；，，，故錯誤；，，，故正確；，，，故錯誤．故選：．法二、如圖建立平面直角坐標(biāo)系，，作出單位圓，并作出角，，，使角的始邊與重合，終邊交圓于點，角的始邊為，終邊交圓于，角的始邊為，交圓于，于是，，，，由向量的模與數(shù)量積可知，、正確；、錯誤．故選：．17．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．【解析】由題意，有，則，設(shè)，則得，，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得：，則，，則．故答案為：．18．（2020?山東）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是A． B． C． D．【解析】畫出圖形如圖，，它的幾何意義是的長度與在向量的投影的乘積，顯然，在處時，取得最大值，，可得，最大值為6，在處取得最小值，，最小值為，是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，所以的取值范圍是．故選：．19．（2021?上海）在中，為中點，為中點，則以下結(jié)論：①存在，使得；②存在，使得；它們的成立情況是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【解析】不妨設(shè)，，，，，①，，若，則，即，滿足條件的存在，例如，滿足上式，所以①成立；②為中點，，與的交點即為重心，因為為的三等分點，為中點，所以與不共線，即②不成立．故選：．20．（2022?浙江）設(shè)點在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是．【解析】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，即的取值范圍是，，故答案為：，．21．（2021?浙江）已知平面向量，，滿足，，，．記平面向量在，方向上的投影分別為，，在方向上的投影為，則的最小值是．【解析】令，因為，故，，，，令，平面向量在，方向上的投影分別為，，設(shè)，則：，從而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故的最小值為．方法二：則表示空間中坐標(biāo)原點到平面上的點的距離的平方，由平面直角坐標(biāo)系中點到直線距離公式推廣得到的空間直角坐標(biāo)系中點到平面距離公式可得：．故答案為：．考點五平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用22．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則A． B． C． D．【解析】，，，，由，得，整理得：，即．故選：．23．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．【解析】，，，，，，．故答案為：．24．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則A． B． C．5 D．6【解析】向量，，，，，，，，，解得實數(shù)．故選：．25．（2020?浙江）已知平面單位向量，滿足．設(shè)，，向量，的夾角為，則的最小值是．【解析】設(shè)、的夾角為，由，為單位向量，滿足，所以，解得；又，，且，的夾角為，所以，，；則，所以時，取得最小值為．故答案為：．考點六復(fù)數(shù)的基本概念26．（2022?浙江）已知，，為虛數(shù)單位），則A．， B．， C．， D．，【解析】，，，，，故選：．27．（2020?浙江）已知，若為虛數(shù)單位）是實數(shù)，則A．1 B． C．2 D．【解析】，若為虛數(shù)單位）是實數(shù)，可得，解得．故選：．考點七復(fù)數(shù)的幾何意義28．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選：．29．（2021?新高考Ⅱ）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點所在的象限為A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，，位于第一象限．故選：．考點八復(fù)數(shù)的運算30．（2023?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C．0 D．1【解析】，則，故．故選：．31．（2022?新高考Ⅱ）A． B． C． D．【解析】．故選：．32．（2021?浙江）已知，為虛數(shù)單位），則A． B．1 C． D．3【解析】因為，即，由復(fù)數(shù)相等的定義可得，，即．故選：．33．（2020?海南）A． B． C． D．【解析】，故選：．34．（2020?山東）A．1 B． C． D．【解析】，故選：．35．（2023?上海）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．【解析】，．故答案為：．36．（2021?上海）已知，，求．【解析】因為，，所以．故答案為：．37．（2020?上海）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則．【解析】由，得．故答案為：．38．（2019?上海