奇偶性（8大題型）精講（原卷版）

奇偶性重點(diǎn)：1、函數(shù)奇偶性的概念與幾何特征；2、判斷函數(shù)的奇偶性．難點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性結(jié)合問題；2、函數(shù)奇偶性的判定.一、函數(shù)奇偶性的定義1、奇函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2、偶函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．二、奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的推廣在定義域內(nèi)恒滿足的圖象的對(duì)稱軸（中心）直線直線直線點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)三、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法1、定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，再判斷與之一是否相等.【注意】判斷與的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：（1）如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；（2）如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．2、圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱.3、性質(zhì)法：設(shè)，的定義域分別是，，在它們的公共定義域上，一般具有下列結(jié)論：偶偶偶偶偶偶奇不確定奇偶奇偶不確定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定義域的子集4、分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.四、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法，又是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。1、由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)或，利用待定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用區(qū)間的端點(diǎn)值之和為0求參數(shù)。2、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時(shí)，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。3、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟（1）在哪個(gè)區(qū)間上求解析是，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間上；（2）把對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知區(qū)間的解析式得（3）利用函數(shù)的奇偶性把改寫成，從而求出.五、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1、奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反；2、區(qū)間和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（1）若為奇函數(shù)，且在上有最大值，則在上最小值；（2）若為偶函數(shù)，且在上有最大值，則在上最大值；3、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較。注意：由或及函數(shù)的單調(diào)性列出不等式（組）時(shí)，要注意定義域?qū)?shù)的影響。題型一函數(shù)奇偶性的判斷【例1】（2022秋·天津·高一?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是（）A．=B．=C．=+D．=x+【變式11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)【變式12】（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）下列函數(shù)中，不是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【變式13】（2022秋·山東棗莊·高一?？计谥校┰O(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．題型二利用奇偶性求函數(shù)值【例2】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．12B．C．13D．【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則.【變式22】（2022秋·山東棗莊·高一?？计谥校┮阎c分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且，則（）A．2B．C．D．【變式23】（2023秋·吉林長春·高一校考期末）已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則（）A．1B．C．D．3題型三奇函數(shù)+常數(shù)型求值【例3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則（）A．3B．1C．1D．5【變式31】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)其中a，b為常數(shù)，若求.【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，則的最大值與最小值之和為（）A．0B．1C．2D．3【變式33】（2023秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則（）A．B．C．D．題型四利用奇函數(shù)求參數(shù)【例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)，則（A．B．C．0D．1【變式41】（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.【變式42】（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則．【變式43】（2022秋·江西·高三寧岡中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，則.題型五利用奇偶性求解析式【例5】（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為（）A．B．C．D．以上都不對(duì)【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)則．【變式52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的解析式為.【變式53】（2023秋·河南許昌·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A．B．C．D．題型六利用奇偶性與單調(diào)性解不等式【例6】（2023春·云南迪慶·高一統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式61】（2022秋·廣東東莞·高一東莞市東莞中學(xué)?？计谥校┮阎x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是．【變式62】（2022秋·天津·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，若對(duì)于任意不等實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則不等式的解集為（）A．B．C．D．或【變式63】（2023春·河北石家莊·高一?？计谥校┤襞己瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．題型七利用奇偶性與單調(diào)性比大小【例7】（2022秋·海南海口·高一?？谝恢行？计谥校┰O(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（）A．B．C．D．【變式71】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是奇函數(shù)且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒有，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．B．C．D．【變式72】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【變式73】（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）（多選）已知是定義在上的偶函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則下列所給結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．題型八抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性【例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【變式81】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知是定義在上不恒為0的偶函數(shù)，是定義在上不恒為0的奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù)B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù)D．為偶函數(shù)【變式82】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，且對(duì)于任意，都有，則（）A．B．C．為偶函數(shù)D．為奇函數(shù)【變式83】