常微分方程試題及參考答案

常微分方程試題一、填空題(每小題3分，共39分)1.常微分方程中的自變量個(gè)數(shù)是________.2.路程函數(shù)S(t)的加速度是常數(shù)a，則此路程函數(shù)S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g()中g(shù)(u)為u的連續(xù)函數(shù)，作變量變換________，方程可化為變量分離方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲線F(x,P)=0的參數(shù)形式為x=(t),P=ψ(t),t為參數(shù)，則方程參數(shù)形式的通解為_(kāi)_______.5.方程=(x+1)3的通解為_(kāi)_______.6.如果函數(shù)f(x,y)連續(xù)，y=

(x)是方程=f(x,y)的定義于區(qū)間x0≤x≤x0+h上，滿足初始條件

(x0)=y0的解.則y=

(x)是積分方程________定義于x0≤x≤x0+h上的連續(xù)解.7.方程=x2+xy，滿足初始條件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t)

+…+an-1(t)

+an(t)x=0

中ai(t)

i=1,2,…，n是〔a,b〕上的連續(xù)函數(shù)，又x1(t),x2(t),…，xn(t)為方程n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，則其伏朗斯基行列式W(t)應(yīng)具有的性質(zhì)是：________.9.常系數(shù)線性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解為_(kāi)_______.10.設(shè)A(t)是區(qū)間a≤t≤b上的連續(xù)n×n矩陣，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程組x′=A(t)x的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.則方程組的任一解向量x(t)均可表示為：x(t)=________的形式.11.初值問(wèn)題(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化為與之等價(jià)的一階方程組________.12.如果A是3×3的常數(shù)矩陣，-2為A的三重特征值，則方程組x′=Ax的基解矩陣expAt=________.13.方程組

的奇點(diǎn)類型是________.二、計(jì)算題(共45分)1.(6分)解方程

=.2.(6分)解方程

x″(t)+

=0.3.(6分)解方程

(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：

S″(t)-S(t)=t+1

滿足S(0)=1,(0)=2的解.6.(7分)求方程組

的基解矩陣Φ(t).7.(7分)驗(yàn)證方程：

有奇點(diǎn)x1=1,x2=0,并討論相應(yīng)駐定方程的解的穩(wěn)定性.三、證明題(每小題8分，共16分)1.設(shè)f(x,y)及連續(xù)，試證方程

dy-f(x,y)dx=0

為線性方程的充要條件是它有僅依賴于x的積分因子.2.函數(shù)f(x)定義于-∞<x<+∞，且滿足條件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,證明方程

x=f(x)

存在唯一的一個(gè)解.

常微分方程試題參考答案一、填空題(每小題3分，共39分)1.

12.2+c1t+c23.u=4.

c為任意常數(shù)5.y=(x+1)4+c(x+1)26.y=y0+

7.(x)=8.對(duì)任意t9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)11.

x1(1)=1,x2(1)=2,x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+]13.焦點(diǎn)二、計(jì)算題（共45分）1.

解：將方程分離變量為

改寫為

等式兩邊積分得

y-ln|1+y|=ln|x|-

即

y=ln

或

ey=2.

解：令

則得

=0

當(dāng)0時(shí)

-

arccosy=t+c1

y=cos(t+c1)

即

則x=sin(t+c1)+c2

當(dāng)=0時(shí)

y=

即x

3.

解：這里M=y-1-xy,

N=x

令u=xye-x

u關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù)得

與Me-x=ye-x-e-x-xye-x

相比有

則

因此

u=xye-x+e-x

方程的解為

xye-x+e-x=c4.

解：方程改寫為

這是伯努利方程，令

z=y1-2=y-1

代入方程

得

解方程

z=

=

于是有

或

5.

特征方程為

特征根為

對(duì)應(yīng)齊線性方程的通解為s(t)=c1et+c2e-t

f(t)=t+1,

不是特征方程的根

從而方程有特解=（At+B）,代入方程得

-(At+B)=t+1

兩邊比較同次冪系數(shù)得

A=B=-1

故通解為

S(t)=c1et+c2e-t-(t+1)

據(jù)初始條件得

c1=

因此所求解為：S(t)=6.

解：系數(shù)矩陣A=則，而det

特征方程det()=0,有特征根

對(duì)對(duì)對(duì)

因此基解矩陣

7.

解：因

故x1=1，x2=0是方程組奇點(diǎn)令X1=x1-1,X2=x2,即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得

化簡(jiǎn)得

*

這里R(X)=,顯然

（當(dāng)時(shí)）方程組*中，線性部分矩陣

det(A-)=

由det(A-)=0

得可見(jiàn)相應(yīng)駐定解漸近穩(wěn)定三、證明題（每小題8分，共16分）1.證明：若dy-f(x,y)dx=0為線性方程則f(x,y)=因此僅有依賴于x的積分因子反之，若僅有依賴于x的積分因子。這里Ｍ＝－f(x,y),N=1由-

方程為

這是線性方程.2.證明：由條件|f(x1)-f(x2)|N|x1-x2|,易知，f(x)為連續(xù)函數(shù)，任取x0作逐步點(diǎn)列

xn+1=f(xn)

n=0,1,考慮級(jí)數(shù)x0+因由歸納法知對(duì)任意k,|xk-xk-1|故級(jí)數(shù)x0+

收斂即序列{xn}收斂，設(shè)

對(duì)xn+1=f(xn),兩邊求極限，注意f(x)連續(xù)，故x*=f(x*)即x*是方程x=f(x)的解又設(shè)是方程x=f(x)的任一解，則因N<1,必有x*=因此解是唯一的常微分方程試題庫(kù)二、計(jì)算題（每題6分）1.解方程：SKIPIF1<0；2.解方程：SKIPIF1<0；3.解方程：；4.解方程：SKIPIF1<0；5.解方程：SKIPIF1<0；6.解方程：SKIPIF1<0；7.解方程：SKIPIF1<0；8.解方程：SKIPIF1<0；9.解方程：SKIPIF1<0；10.解方程：SKIPIF1<0；11.解方程：SKIPIF1<0；12.解方程：SKIPIF1<0；13.解方程：SKIPIF1<0；14.解方程：SKIPIF1<0；15.解方程：SKIPIF1<0；16.解方程：SKIPIF1<0；17.解方程：SKIPIF1<0；18.解方程：SKIPIF1<0；19.解方程：SKIPIF1<0；20.解方程：SKIPIF1<0；選題說(shuō)明：每份試卷選2道題為宜。二、計(jì)算題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：（每題6分）1.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常數(shù)解，（2分）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（2分）2.解方程：SKIPIF1<0解：由一階線性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<03.解方程：解：由一階線性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2分）4.解方程：SKIPIF1<0解：由一階線性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2分）5.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化為：SKIPIF1<0，（2分）即SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解為：SKIPIF1<0.（2分）6.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化為：SKIPIF1<0，（2分）即SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解為：SKIPIF1<0.（2分）7.解方程：SKIPIF1<0解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以原方程為全微分方程，（2分）由SKIPIF1<0，（1分）得:SKIPIF1<0，（2分）故原方程的通解為：SKIPIF1<0.（1分）8.解方程：SKIPIF1<0

解：其特征方程為：SKIPIF1<0，（1分）特征根為SKIPIF1<0為2重根，SKIPIF1<0.（2分）所以其基本解組為：SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解為：SKIPIF1<0.（1分）9.解方程：SKIPIF1<0解：其特征方程為：SKIPIF1<0，（1分）特征根為：SKIPIF1<0為3重根，SKIPIF1<0，為2重根，SKIPIF1<0為2重根.（2分）所以其基本解組為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解為：SKIPIF1<0.（1分）10.解方程：SKIPIF1<0解：其特征方程為：SKIPIF1<0，（1分）特征根為：SKIPIF1<0.（2分）所以其實(shí)基本解組為：SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解為：SKIPIF1<0.（1分）11.解方程：SKIPIF1<0；解：原方程可化為：SKIPIF1<0，（2分）積分得通解為：SKIPIF1<0.（4分）12.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（3分）13.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（3分）14.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常數(shù)解，（1分）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（3分）15.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常數(shù)解，（1分）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（3分）16.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是原方程的常數(shù)解，（1分）當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，原方程可化為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）積分得原方程的通解為：SKIPIF1<0.（3分）17.解方程：SKIPIF1<0解：分析可知SKIPIF1<0是其特解.（2分）對(duì)應(yīng)齊方程的SKIPIF1<0通解為：SKIPIF1<0，