2024年新高考數(shù)學一輪復習知識梳理與題型歸納第47講直線與圓圓與圓的位置關系學生版

第47講直線與圓、圓與圓的位置關系思維導圖知識梳理1．直線與圓的位置關系(半徑為r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0幾何觀點deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r2．圓與圓的位置關系(兩圓半徑為r1，r2，d＝|O1O2|)相離外切相交內切內含圖形量的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[常用結論]1．圓的切線方程常用結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓系方程(1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是參數(shù)；(2)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(該圓系不含圓C2，解題時，注意檢驗圓C2是否滿足題意，以防漏解)．題型歸納題型1直線與圓的位置關系的判斷【例1-1】直線kx﹣y+1＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+1＝0的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【例1-2】若無論實數(shù)a取何值時，直線ax+y+a+1＝0與圓x2+y2﹣2x﹣2y+b＝0都相交，則實數(shù)b的取值范圍．（）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣6） D．（﹣6，+∞）【例1-3】已知圓O：x2+y2＝1上恰有兩個點到直線l：y＝kx+1的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）A．[0，）∪（，） B．[0，）∪（，π） C．（，）∪（，） D．（，）∪（，π）【跟蹤訓練1-1】方程（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0（a∈R）所表示的直線與圓（x+1）2+y2＝25的位置關系是（）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【跟蹤訓練1-2】若直線l：y+1＝k（x+）與圓C：x2+y2＝1有公共點，則實數(shù)k的最大值為（）A． B．1 C． D．【跟蹤訓練1-3】若直線y＝kx+1與圓（x﹣2）2+y2＝4相交，且兩個交點位于坐標平面的同一象限，則k的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣，） C．（0，） D．（﹣，）【名師指導】判斷直線與圓的位置關系的一般方法幾何法圓心到直線的距離與圓半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關系．這種方法的特點是計算量較小代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉化為一元二次方程，該方程解的情況即對應直線與圓的位置關系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關系題型2圓的弦長問題【例2-1】直線y＝x+1被圓x2+y2＝4截得的弦長為（）A． B．2 C． D．【例2-2】設直線y＝x+2a與圓C：x2+y2﹣2ay﹣2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為（）A．4π B．6π C．8π D．π【跟蹤訓練1-1】已知圓x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直線x+y﹣2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是（）A．﹣8 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4【跟蹤訓練1-2】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0，則直線l被圓C截得的弦長的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【名師指導】有關弦長問題的2種求法幾何法直線被圓截得的半弦長eq\f(l,2)，弦心距d和圓的半徑r構成直角三角形，即r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＋d2代數(shù)法聯(lián)立直線方程和圓的方程，消元轉化為關于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關系即可求得弦長|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2)題型3圓的切線問題【例3-1】已知點P（1，﹣2），點M（3，1），圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．①求過點P的圓C的切線方程；②求過點M的圓C的切線方程．【跟蹤訓練3-1】過點P（2，﹣1）的直線與圓C：（x+1）2+（y﹣1）2＝5相切，則切線長為（）A． B． C． D．【跟蹤訓練3-2】過原點O作圓C：x2+y2+4x+4y+5＝0的兩條切線，設切點分別為A，B，則直線AB的方程為（）A．2x+2y﹣5＝0 B．4x+4y﹣5＝0 C．2x+2y+5＝0 D．4x+4y+5＝0【跟蹤訓練3-3】已知圓C經過M（3，0），N（2，1）兩點，且圓心在直線l：2x+y﹣4＝0上．（1）求圓C的方程；（2）從y軸上一個動點P向圓C作切線，求切線長的最小值及對應切線方程．【名師指導】1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程為y＝y(tǒng)0；若k＝0，則結合圖形可直接寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的2種方法幾何法當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程代數(shù)法當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出題型4圓與圓的位置關系【例4-1】若圓C1：x2+y2＝4與圓C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，則實數(shù)m＝（）A．﹣24 B．﹣16 C．24 D．16【例4-2】已知圓的圓心到直線x﹣y﹣2＝0的距離為，則圓C1與圓的位置關系是（）A．相交 B．內切 C．外切 D．相離【跟蹤訓練4-1】已知圓C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0和圓C2：（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，則圓C1與圓C2的位置關系為（）A．外切 B．內切 C．相交 D．相離【跟蹤訓練4-2】已知圓C1：x2+y2+2ax﹣9+a2＝0和圓C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝