考點09二分法與求方程近似解（5種題型與基礎(chǔ)、易錯）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃（新高考地區(qū)專用）（解析版）

考點09二分法與求方程近似解(5種題型與基礎(chǔ)、易錯專練)

Q—、2022真題搶先刷，考向提前知

選擇題(共1小題)

，3

1.(2020?天津)已知函數(shù)f(x)={X'X/U,若函數(shù)g(x)=/(x)-|扇-2石(*6R)恰有4個零點，

-x,x0.

則攵的取值范圍是()

A.(-8,-A)U(2&，+8)B.(-8,-A)U(0,2近)

C.(…，0)u(0,2&)D.(-8,0)u(2&，+8)

【分析】問題轉(zhuǎn)化為/(x)=|阮2-2x|有四個根，=>y=f(%)與(x)=|扇-2x|有四個交點，再分三

種情況當(dāng)％=0時，當(dāng)％<0時，當(dāng)％>0時，討論兩個函數(shù)是否能有4個交點，進(jìn)而得出左的取值范圍.

【解答】解：若函數(shù)g(x)=f(x)-\kj?-2x\(依R)恰有4個零點，

則/(x)=|^有四個根，

即y=/(x)與y=/?(x)=|fc?-2衛(wèi)有四個交點，

當(dāng)攵=0時，y=f(x)與y=|-2葉=2|川圖象如下：

兩圖象只有兩個交點，不符合題意，

當(dāng)上V0時，y=|/2-2%|與x軸交于兩點幻=0,X2=—(%2<xi)

圖象如圖所示,

kk

所以兩圖象有4個交點，符合題意，

當(dāng)攵＞0時，

y=|履2-2x|與x軸交于兩點xi=0,X2=—（x2＞xi）

在［0,2）內(nèi)兩函數(shù)圖象有兩個交點，所以若有四個交點，

k

只需＞=丁與丫=去2-2x在（2,4-00）還有兩個交點，即可，

k

即二=去2-21在（2,+8）還有兩個根，

k

即左=1+2在（2,4-co）還有兩個根，

xk

函數(shù)y=X+222j，，（當(dāng)且僅當(dāng)x=2，即時，取等號）,

XX

所以0＜2＜&,且女＞2點’

k

所以攵＞2近,

故選：D.

【點評】本題考查函數(shù)的零點，參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵利用分類討論思想，分析函數(shù)的交點，屬于中檔

題.

二.填空題(共2小題)

2.(2020?上海)設(shè)“ER,若存在定義域為R的函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件：

(1)對任意的xoeR,f(xo)的值為xo或Xi?；

(2)關(guān)于x的方程/(x)無實數(shù)解，

則a的取值范圍是(-8,o)u(0,1)u(1,+8).

【分析】根據(jù)條件(1)可知xo=O或1,進(jìn)而結(jié)合條件(2)可得a的范圍

【解答】解：根據(jù)條件(1)可得/(0)=0或7(1)=1,

又因為關(guān)于x的方程f(x)=“無實數(shù)解，所以“W0或1,

故“6(-?>,0)U(0,I)U(1,+8),

故答案為：(-8,o)u(o,1)U(1,+8).

【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2022?天津)設(shè)aCR,對任意實數(shù)x,記/(x)—min[\x\-2,x2-ax+3a-5}.若/(x)至少有3個零點，

則實數(shù)a的取值范圍為“0,+8).

【分析】設(shè)g(x)—x1-ar+3a-5,h(x)=|x|-2,分析可知函數(shù)g(x)至少有一個零點，可得出A2

0,求出”的取值范圍，然后對實數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式,

綜合可求得實數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：設(shè)g(x)=J?-ax+3a-5,h(x)=\x\-2,由|x|-2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則函數(shù)g(x)至少有一個零點，

貝l」A=q2-4(3a-5)20,

解得“W2或“》10.

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則m<-2,

A<.

所以，｛22，解得花0；

g(-2)=5a-l>0

③當(dāng)a=10時，g(x)=?-10x+25,作出函數(shù)g(x)、h(x)的圖象如圖所示:

④當(dāng)a>10時，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為期、刈(X3VX4),

要使得函數(shù)/(x)至少有3個零點，則X3》2,

可得12，解得a>4,此時a>10.

g(2)=a-l>0

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是[10,+8).

故答案為：[10,+°°).

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中難題.

三.解答題(共2小題)

4.(2022?上海)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,現(xiàn)有兩種對/(x)變換的操作：(p變換：f(x)-f(x-f)；

3變換：\f(x+t)-f(x)I，其中r為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)f(x)=2，，r=l,g(x)為f(x)做①變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)/(x)=f,h(x)為/(x)做3變換后的結(jié)果，解不等式：/(x)(x)；

(3)設(shè)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，/(x)先做<p變換后得到u(x),u(x)再做3變換后得到

/?i(x)；f(%)先做3變換后得到v(x),v(x)再做<p變換后得到hl(x).若h\(x)—hi(x)恒成立，

證明：函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增.

【分析】(1)推導(dǎo)出g(X)=/(尤)(x-1)=2*-2廠1=2廠1=2,由此能求出x.

(2)推導(dǎo)出％2冽(x+r)2-3=|2n+尸],當(dāng)xW-主時，f(x)2/i(x)恒成立；當(dāng)x>-主時，2a+戶小

22

了,由此能求出f(X)2/7(X)的解集.

(3)先求出u(x)—f(x)-/(x-r),從而h\(x)—\f(x+r)-f(x)-[f(x)-/(%-/)]|,先求出

v(x)=\f(x+z)-f(x)I，從而hi(x)=\f(x+Z)-f(x)I-\f(x)-f(x-t)I，由〃1(x)=hi(x),

得(x+f)-f(x)-[f(x)-/(JC-/)J|=|/(x+t)-f(JC)I-\f(x)-f(X-/)I，再由f(x)在(-8,

0)上單調(diào)遞增，能證明函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.

【解答】解：(I)V/(x)=2X,t=\,g(x)為『(x)做中變換后的結(jié)果，g(x)=2,

：.g(x)=f(x)=2工-2廠1=2廠1=2,

解得x=2.

(2)'.'f(x)=2,h(x)為f(x)做3變換后的結(jié)果，f(x)，/7(x),

冽(x+f)2-/|=|2fx+P|,

當(dāng)xW-主時，f(x)》/?(x)恒成立；

2

當(dāng)x>-主時，2fx+產(chǎn)</,

2

解得x2(1+J5)i,或xW(1-a)3

綜上，不等式：f(x)(x)的解集為(-8,(1-72)r]U[(1+V2)t,+8).

(3)證明：/(X)先做(P變換后得到〃(x),U(X)再做3變換后得到加(X),

Aw(x)=f(x)-f(x-r),h\(x)=[/*(x+r)-f(x)-\f(尤)-f(x-/)

/(x)先做3變換后得到v(x),V(x)再做<p變換后得到hl(x),

v(x)=|/(x+r)-f(x)I，hi(x)=|/'(1+，)-/(x)I-\f(x)-/(x-r)

V//i(x)=h2(x),/G)在(-8,o)上單調(diào)遞增，

/.[/(x+f)-f(x)-1/(x)-/(x-/)]|=|/(x+r)-/(x)I-\f(x)-f(x7)I，

'f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)

.If(x+t)-f(x)>0對，>0恒成立，

f(x)>f(x-t)

??.函數(shù)/G)在R上單調(diào)遞增.

【點評】本題考查方程、不等式的解的求法，考查函數(shù)是增函數(shù)的證明，考查函數(shù)變換的性質(zhì)、抽象函

數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

5.(2022?乙卷)已知函數(shù)/(x)=ln(1+x)+axex.

(1)當(dāng)。=1時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

【分析】(1)將。=1代入，對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，求出/(0)及/(0),由點斜式得答案；

(2)對函數(shù)/(x)求導(dǎo)，分及。<0討論，當(dāng)。20時容易判斷不合題意，當(dāng)〃<0時，設(shè)g(x)=

(1-x2),利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷得到函數(shù)/(x)的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理即

可得解.

【解答】解：(1)當(dāng)a—\時，f(x)=ln(1+x)+xe則f，()=——+-x--x,

x1+xexe

：.f(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

???所求切線方程為y=2x；

x2

(2)f，(x)=.J+a(l-x)=e+a(l2x),1

xx

—ee(l+x)

若當(dāng)-1<XV0時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則/(x)<f(0)=0,不合題意；

設(shè)g(x)=爐+。(1-x2),g'(x)="-2O￥,

當(dāng)-1WQ<0時，在(0,+°°)上，g(x)>e°+心0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，無零點，不合題

-?V-

懸；

當(dāng)a<-1時，當(dāng)x>0時，gr(x)>0,則g(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增，g(0)=l+tz<0,g(1)

=e>0,

所以存在唯一的xo€(0,1),使得g(xo)=0,且/(x)在(0,刈)上單調(diào)遞減，在(xo,+8)上單調(diào)

遞增，f(xo)</(0)=0,

先證當(dāng)%>0時，

設(shè)h(x)吟Tnx，貝"h’(x)4'二*，

22x2x

易知當(dāng)0Vx<2時，hf(x)<0,h(x)單減，當(dāng)x>2時，hf(x)>0,h(x)單增，

所以h(x)》h(2)號Tn2=lTn2>0則當(dāng)x>°時，lnx,

所以x>21nx,6，>乂2，〈工

exx

再證lnx'l-L

x

設(shè)m(x)=lnx-l」，則(x)一V=Xf

xxd

易知當(dāng)OVxVl時，(x)<0,m(x)單減，當(dāng)x>l時，m'(x)>0,m(x)單增，

所以加(x)2m(1)=0,即

x

則由aV-1,可得axe-x>2，

x

貝ij當(dāng)x>l+〃2時，f(x)=ln(1+x)+axe-x>ln(1+x)J>。，

x

此時/(x)在(0,+oo)上恰有一個零點，

當(dāng)-IVxVO時，/(X)在(-1,0)上單調(diào)遞增，父(-l)』+2a<0，g，(0)=1>0?

e

故存在唯一的xie(-1,0),使得g'(xi)=0,且g(x)在(-1,xi)上單調(diào)遞減，在(xi,0)上

單調(diào)遞增，

g(X])<g(O)=l+a<0，g(-l)+>0，

故存在唯一的JV26(-1,XI),使得g(X2)=0,

所以f(x)在(-1,X2)上單調(diào)遞增，在(X2,0)上單調(diào)遞減，

x--1時，/(x)--8,/(0)=0,此時/(x)在(-1,0)上恰有一個零點，

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-8,-1).

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點問題，考查分類討論思想及

運算求解能力，屬于難題.

u二、考點清單

函數(shù)的零點

一般地，對于函數(shù)y=/(x)(x€R),我們把方程/(x)=0的實數(shù)根x叫作函數(shù)(x)(xG￡))的零

點.即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為0的自變量的值.函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù).

【解法一一二分法】

①確定區(qū)間［a,b］,驗證/(a)*f(b)<0,給定精確度；②求區(qū)間(a,b)的中點xi；③計算/(xi)；

④若f(xi)=0,則xi就是函數(shù)的零點；⑤若/(a)/(可)<0,貝ij令b=xi(此時零點x(￡(a,xi))；

⑥若/(xi)/(8)<0,則令a=xi.(此時零點(xi,b)⑦判斷是否滿足條件，否則重復(fù)(2)?

(4)

【總結(jié)】

零點其實并沒有多高深，簡單的說，就是某個函數(shù)的零點其實就是這個函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)，另

外如果在(a,b)連續(xù)的函數(shù)滿足/(a"/")<0,則(a,b)至少有一個零點.這個考點屬于了解性的，

知道它的概念就行了.

二.函數(shù)零點的判定定理

1、函數(shù)零點存在性定理：

一般地，如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間以，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有<0,那么

函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是f(x)=0的

根.

特別提醒：

(1)根據(jù)該定理，能確定/(x)在(a,b)內(nèi)有零點，但零點不一定唯一.

(2)并不是所有的零點都可以用該定理來確定，也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在(〃，〃)

上沒有零點，例如，函數(shù)，(x)=/-3》+2有/(0)?_/'(3)>0,但函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上有兩個零

點.

(3)若f(x)在［〃，加上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，f(a).f(b)<0,則/(x)在(a,b)上

有唯一的零點.

2、函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法：

(1)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)

找出零點.

特別提醒：

①“方程的根”與“函數(shù)的零點”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程？-2x+l=0在［(),2］上有兩

個等根，而函數(shù)f(x)=/-2_r+l在［0,2］上只有一個零點；

②函數(shù)的零點是實數(shù)而不是數(shù)軸上的點.

(2)代數(shù)法：求方程/(X)=0的實數(shù)根.

三.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的.但是，他們

的解法其實質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了.我們重

點來探討一下函數(shù)零點的求法(配方法).

例題：求函數(shù)f(x)=/+5/-277-101x-70的零點.

解：,:f(x)-27?-101%-70

=(x-5)#(x+7)>(x+2)*(x+l)

二函數(shù)/(x)=??+5/-27/-101X-70的零點是：5、-7、-2、-1.

通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次

函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可.

【考查趨勢】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

四.二分法的定義與應(yīng)用

二分法即一分為二的方法.設(shè)函數(shù)/(x)在［小力上連續(xù)，且滿足了(“)?/(6)<0,我們假設(shè)/(a)

<0,f(b)>0,那么當(dāng)xi=等時，若/(加)=0,這說用為零點；若不為0,假設(shè)大于0,那么繼續(xù)在

［xi,句區(qū)間取中點驗證它的函數(shù)值為0,一直重復(fù)下去，直到找到滿足要求的點為止.這就是二分法的基本

概念.

【二分法的應(yīng)用】

我們以具體的例子來說說二分法應(yīng)用的一個基本條件：

例題：下列函數(shù)圖象均與x軸有交點，其中能用二分法求函數(shù)零點的是

解：能用二分法求函數(shù)零點的函數(shù)，在零點的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號相反，

有圖象可得，只有③能滿足此條件，

故答案為③.

在這個例題當(dāng)中，所要求的能力其實就是對概念的理解，這也是二分法它慣用的考查形式，通過這個例

題，希望同學(xué)們能清楚二分法的概念和?？碱}型.

【二分法求方程的近似解】

二分法在高中主要屬于了解性的內(nèi)容，拿二分法求近似解思路也比較固定，這里我們主要以例題來做講

解.

例：用二分法求方程lnx=」在［1，2］上的近似解，取中點c=1.5,則下一個有根區(qū)間是11.5,2］.

X

解：令函數(shù)/(x)—Inx--1由于/(1.5)—In(1.5)--1_=▲(/nl.52-2)<—Une2-2)=0,

x1.533

即/(1.5)<0,

而/(2)—ln2--=ln2-Iny/-e=ln-^=—ln—>—lnl=O,即/(2)>0,

2Ve2e2

故函數(shù)/(x)在［1.52］上存在零點，故方程必乂二』在“、2］上有根，

x

故答案為［1.5,2］.

通過這個例題，我們可以發(fā)現(xiàn)二分法的步奏，第一先確定<0的a,b點;第二，尋找區(qū)

間(a,b)的中點，并判斷它的函數(shù)值是否為0；第三，若不為0,轉(zhuǎn)第一步.

五.函數(shù)與方程的綜合運用

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題.方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入

手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過

解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解.有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的

目的.笛卡爾的方程思想是：實際問題一數(shù)學(xué)問題一代數(shù)問題一方程問題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.

田三、題型方法

一.函數(shù)的零點(共4小題)

'1,x>0

1.（2023?烏魯木齊三模）定義符號函數(shù)sgnx=0,x=0,則方程/^^=5犬-6的解是（）

-1,x<0

A.2或-6B.3或-6C.2或3D.2或3或-6

【分析】根據(jù)符號函數(shù)的意義，分段解方程作答.

【解答】解：依題意，當(dāng)x>0時，方程/sg〃x=5x-6為：x2=5x-6,解得x=2或x=3,因此x=2或

x—3,

當(dāng)x=O時，方程/sg/ir=5x-6為：0=5x-6,解得乂四，于是無解，

5

當(dāng)x〈0時，方程Wsg"x=5x-6為：-7=5x-6,解得x=-6或x=l,因此x=-6,

所以方程/sgnx=5x-6的解是x=2或x=3或尤=-6.

故選：D.

【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

x+1,x40

2.（2023?北京模擬）f（x）=40的零點為-1,2.

,x^-4,x>0

【分析】利用方程的根求解函數(shù)的零點即可.

【解答】解：當(dāng)xWO時，x+l=O,解得x=-l；

x>0時，x2-4=0,解得x=2,

函數(shù)的零點為：-1，2.

故答案為：-1,2.

【點評】本題考查函數(shù)的零點的求法，是基礎(chǔ)題.

3.（2023?畢節(jié)市模擬）給出下列命題：

①函數(shù)=2*恰有兩個零點；

②若函數(shù)f（x）（a>0）在（°，+8）上的最小值為4,貝!]“=4；

x

③若函數(shù)f（x）滿足/（x）■+/（1-x）=4,貝！Jf+f（2）+…+f（_5_）=18；

101010

④若關(guān)于x的方程2卜1-,"=0有解，則實數(shù)，"的取值范圍是（0,1].

其中正確的是（）

A.①③B.②④C.③④D.②③

【分析】根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，逐一分析選項，即可得出答案.

【解答】解：對于①：當(dāng)x>0時，/(x)=2*-/有2個零點，2和4,

作出y=f和y=2'的圖像，當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)=2'-/有1個零點,

函數(shù)fG)=28-/有3個零點,

故①錯誤;

對于②：f（x）=x，（a>0>即2\/^=4，則〃=4,故②正確；

x

對于③：f（J+f（2）+…+f（_L）=18①，f（_L）+f（*）+..?+f（J=18②,

io'iohoy'io，'io，io，

V/（x）tf（l-x）=4,

Y*看*）=4,f啥）+f端）=4,…，f吟）+f（*=4,

???①+②=4X9=36,

Af(―)+f(—)+???+￡(―)=18>故③正確；

10710710

對于④：若關(guān)于x的方程亦1-機(jī)=0有解，貝！]，〃=2叫

V|x|^O,故④錯誤,

故選：D.

【點評】本題考查命題的真假判斷和函數(shù)的基本性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力,

屬于中檔題.

4.(2023?漢中模擬)設(shè)幻，X2分別是函數(shù)/CO=x-“F和g(x)=xlog?x-1的零點(其中”>1),則

X1+4A2的取值范圍是()

A.[4,+8)B.(4,+8)C.15,+8)D.(5,+<?)

【分析】函數(shù)的零點即方程的解，將其轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，又由函數(shù)圖象特點，得到交點的對稱問題，

從而求解

【解答】解：由設(shè)XI,X2分別是函數(shù)/(x)—X-和g(x)=xk>g“x-1的零點(其中4>1),

可知XI是方程aX=L的解；X2是方程工=iogX的解；

xxa

則XI,XI分別為函數(shù)y」的圖象與函數(shù)y=y=0r和函數(shù)y=1ogd的圖象交點的橫坐標(biāo);

設(shè)交點分別為A(xi,—),B(%2,—)

X1x2

由a>1,知0Vxi<l；X2>1;

又因為和)，=log”以及y」的圖象均關(guān)于直線)，=x對稱，

所以兩交點一定關(guān)于y=x對稱，

由于點A(xi,」_),關(guān)于直線y=x的對稱點坐標(biāo)為(」一，xi),

X1X1

有X1X2=1,

而XI

則XI+4X2=XI+%2+3X2》.X[X2+3X2>2+3=5

即XI+4X2€(5,+°°)

故選：D.

【點評】本題考查了函數(shù)的概念與性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù).

二.函數(shù)零點的判定定理(共7小題)

5.(2023?西安模擬)己知="+配什2,若xo是方程/(x)-/(x)=e的一個解，則xo可能存在的

區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【分析】根據(jù)題意，求出g(x)的解析式，分析g(x)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點判定定理分析可得答案.

【解答】解：已知/(x)=ex+lnx+2,則()=xx>0,

xex

設(shè)g(x)—f(x)-f(x)-e,

則g(x)=lnx--+2-e?

x

易得y=g(x)(0，+8)上為增函數(shù)，

又g(2)VO而g(3)>0,則則刈可能存在的區(qū)間是(2,3).

故選：C.

【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算，涉及函數(shù)與方程的關(guān)系，屬于中檔題.

6.(2023?重慶一模)函數(shù)f(x)=/nx+2x-6的零點所在的區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，由/(2)<0,/(3)>0,結(jié)合函數(shù)零點判定定理得答案.

【解答】解：函數(shù)/(x)=/nx+2x-6在(0,+8)上單調(diào)遞增，

V/(2)=/n2-2<0,f(3)="3>0,

函數(shù)/GO=/〃x+2x-6的零點所在的區(qū)間是(2,3).

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)零點判定定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.(2023?海南一模)函數(shù)f(x)△-：Lnx+2的零點所在的大致區(qū)間為()

X

A.(1,e)B.(e,e2)C.",e3)D.(?,e4)

【分析】根據(jù)零點存在性定理，即可得出答案.

【解答】解：f(x)』-lnx+2在(°，+8)連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，

X

23

f(l)=3>0.f(e)=-^-+1>0,f(e)=A->0,f(e)0,f(e,)0，

P/jq

Deee

函數(shù)f(x)』_inx+2的零點所在的大致區(qū)間為"，e3),

X

故選：C.

【點評】本題考查函數(shù)零點的判定定理，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2023?洪山區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(X)="+(1+a)x-2(a>0且。云1),若函數(shù)/(x)恰有一個零

點，則實數(shù)a的取值范圍為_(1,+8)u}—?

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到/(0)=0,然后分別討論“>1或時，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)

行判斷即可.

【解答】解：(x)=〃+(1+?)x-2(a>0且aWl),

...當(dāng)x=0時，/(0)=a°+(1+a)°-2=1+1-2=0,即。是『(x)的一個零點，

若函數(shù)f(x)恰有一個零點，

則等價為當(dāng)xWO時，/(x)W0,即可.

當(dāng)。>1時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：/(X)在R上單調(diào)遞增，此時只有一個零點，滿足題意；

xx

當(dāng)0<〃<1時，f(x)=alna+(1+a)ln(1+a),則函數(shù)，(x)在R上單調(diào)遞增，

由于limf7(x)f-8,limf'(x)=Q，

故，（x）存在唯一零點，若/（無）只有一個零點x=0,此時也必為極值點,

又此時Hf(x)=limf?(x)=￡O，則只需/(0)=lna+ln(1+a)=0,解得-1.

ma=2

X—+8

綜上所述，則實數(shù)”的取值范圍為（1,+8）U{Y^L}.

故答案為：（1,+co）u.

【點評】本題主要考查函數(shù)零點的判斷，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論思想進(jìn)行求解是解決本題

的關(guān)鍵，是中檔題.

9.（2023?桃城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)f（*）=1+2x+/n在區(qū)間【2,4］上有零點，則dm?+/的最

小值為_盟.ln2._.

—ln2一

【分析】根據(jù)函數(shù)零點性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.

-,

【解答】解：設(shè)a為/（x）在［2,4］上的一個零點，則+2a+-^n=0

所以P（/?,〃）在直線■h^y+2a=0上，

又二:=7(m-o)2+(n-o)2=|0P|,0為坐標(biāo)原點，

|0-X0+2a|

2a

易知|0P|>

令g(x)-/：x(2<x44>則g'(x)=2"x；>o,

VInx—

(lnx)2

所以g(x)在［2,4］上單調(diào)遞增，所以gG).=g(2)->4?

4

所以11n2+門2的最小值為.

-ln2

故答案為：生Z1返.

ln2

【點評】本題考查函數(shù)零點，距離公式等知識點，根據(jù)點到直線距離公式，結(jié)合兩點間距離公式，再構(gòu)

造函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想以及運算求解能力，屬于中檔題.

—,x<1,

m

10.（2023?荔灣區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=g(x)=f(x)-4元-1.若函數(shù)g

,-l<x<0,

m(x+l)

（x）在區(qū)間（-1,1）上有且僅有一個零點，則實數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.{-1}U[1,+8)B.(-co,-1]U[A,一)

c{-ijutf.g)D.1)

x,04x<l

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃（X）=4_*/，則問題轉(zhuǎn)化為人（x）=4如+膽在區(qū)間（-1,1）上有

舟Y-1《＜。

且僅有一個根，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=〃（x）的圖象與直線＞=4加什,”在區(qū)間（-1,1）只有一個交點,

利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，確定邊界狀態(tài)的機(jī)的值，結(jié)合圖象求解即可得到答案.

x,O《x＜l

【解答】解：令h（x）=《

A"

三，0<x<1

m

則f(x)=—h(X))

E一《。m

令g(x)=/(x)-4x-1,即/(x)=奴+1，故》（x）=4x+l，

所以/?(x)—4m>c+m,

作出函數(shù)人（%）的圖象如圖所示,

函數(shù)g（x）的零點個數(shù)即為函數(shù)y=/?（x）的圖象與直線y=4,〃x+,”的交點個數(shù),

直線y=4/nr+,〃過定點0)>

當(dāng)直線y=4mr+機(jī)過點（1,1）時,m——

5

當(dāng)直線y=4〃ur+/n與曲線一1］-1(-l<x<0)相切時,

1

設(shè)切點坐標(biāo)為（x

O'x0+l-1)，

由y-——\，

(x+1)2

故切線的斜率為卜=---------不

（x0+l）2

]

-1-0

1X[j+1

所以-：—,解得Xn」

102

(x0+l)X0

則4m=_---------------=-4，解得/〃=

f產(chǎn)

結(jié)合圖象可知，當(dāng)■或m=-l時，函數(shù)y=/z（x）的圖象與直線只有一個交點,

5

即函數(shù)g（X）在區(qū)間（-1,1）上有且僅有一個零點,

所以實數(shù)小的取值范圍是{-1}U［看，X#>

【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的綜合應(yīng)用，解決函數(shù)零點或方程根的問題，常用的方法有:

（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點）；（2）圖象法（直接畫出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+

圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解）.屬于中檔題.

c、2

II.（2023?杭州模擬）函數(shù)八無）=犬+加+匕在區(qū)間［1,3］上存在零點，則J+y的最小值為一

~2~

【分析】設(shè)零點為f,則有0+6=-￡,由柯西不等式可得e"=⑷+b?l］2w（屋+/）（尸+1）,進(jìn)而得“2+必

巴，利用導(dǎo)數(shù)求出g（?）=gL,正［1,3］的最小值即可.

t2+lt2+l

【解答】解：設(shè)零點為f,則￡+af+b=0,

所以at+b--e1,

由柯西不等式可得0=卬+611W（/+必）（Ai）,

所以J+/N工工

2

t+l

2t

令g⑺=渴一,re[L3],

t2+l

⑺_2e2t(t2-t+l)_2e3

所以g'>0,

1+1)2(t2+l)

所以g（r）在月［1,3］上單調(diào)遞增,

2

所以g（f）min=g（1）=—,

2

2

所以

2

2

所以J+戶的最小值為C_.

2

2

故答案為：e_.

2

【點評】本題考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運用及柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

三.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系（共18小題）

12.（2023?海淀區(qū)校級模擬）己知函數(shù)/（X）=|X2-4X+4,X<2方程，（*）-r=o有兩個實數(shù)解，分

kx-2k,x>2

別為XI和X2,當(dāng)1<，<3時，若存在，使得Xl+X2=4成立，則々的取值范圍為（）

A-F）B.（1,V3）C.（亨，3）D.（?,3）

【分析】作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的對稱性將問題轉(zhuǎn)化為）=履-2%與y=7-4x+4在xe（3,2+遍）

內(nèi)有交點，分離參數(shù)計算即可.

【解答】解：如圖所示，作出函數(shù)y=f（x）與）=（1</<3）的圖象，

易得兩函數(shù)交點位于x=2兩側(cè)，不妨設(shè)xiV2VX2,

若存在才使得Xl+X2=4成立，

即x?一4xi+4=t=kxi-2k,

A1

又y=J?-4x+4關(guān)于x=2對稱，

故-4無］+4=(4一X2)2-4(4-X2)+4=丫2-4x2+4=t=kx2-2k,

X1x2

因為l<r<3,

所以m-4x2+46(1,3),

A2

所以X2€(3,2+加)，

即x|-4x2+4=/=fcc-2k在X2W(3,2+我)有解,

y_—AY八+4

則----1-=X2-26(1,V3).

x2-2

故選：B.

【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，作出圖象是關(guān)鍵，屬于中檔題.

log(x+2)~a,0<x<3.5

13.(2023?龍華區(qū)校級模擬)關(guān)于函數(shù)f(x)={29，其中a,人6R,給出下列

b-x,x〉3.5

四個結(jié)論：

甲：5是該函數(shù)的零點.

乙：4是該函數(shù)的零點.

丙：該函數(shù)的所有零點之積為0.

T：方程/(X)=1有兩個不等的實根.

若上述四個結(jié)論中有且只有一個結(jié)論錯誤，則該錯誤的結(jié)論是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】由已知函數(shù)的單調(diào)性判斷甲、乙中有一個錯誤，假設(shè)甲正確，結(jié)合丙正確求得〃與〃的值，得

到函數(shù)解析式，再說明丁正確，則答案可求.

【解答】解：當(dāng)淤［0,3.5］時，f(x)=log2(x+2)-a為增函數(shù)，

當(dāng)x€［3.5,+8)時，f(x)=b-x為減函數(shù)，故5和4只有一個是函數(shù)的零點,

即甲乙中有一個結(jié)論錯誤，一個結(jié)論正確，而丙、丁均正確.

由兩零點之積為0，則必有一個零點為0,則/(0)=log22-q=0,得a=l,

若甲正確，則/(5)=0,即b-5=0,b=5,

log(x+2)_l>04x<3.5

可得f(x)={29,

5-x,x)3.5

由/(x)=1,

，

0<x<3.5、x〉3.5

可得或.

log2(x+2)-l=l5-x=l

解得x=2或x=4,方程/(x)=1有兩個不等實根，故丁正確.

故甲正確，乙錯誤.

故選:B.

【點評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查邏輯思維能力與推理論證

能力，考查運算求解能力，是中檔題.

14.(2023?山西模擬)已知函數(shù)f(x)“T7TTWTMT-3,g(x)=ln(廬i-|x|)，則/(X)

與g(x)圖象的交點個數(shù)是()

A.6B.4C.3D.2

【分析】首先判斷兩個函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合端點值，即可判斷選項.

【解答】解：兩個函數(shù)的定義域為R,

因為f(-x)|-x-lIW|-x+lI-3=4Ix+1IWIx-1I-3=f(x)?所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù),

因為g(-x)=lnUT擊?-|-x|)=ln(4詬-|x|)=g(x>所以函數(shù)g⑴是偶函數(shù)，

2

g(x)=ln(7x+l-x)=ln(~i-——)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在(0,+8)函數(shù)g(x)單調(diào)

Vx2+l+x

遞減，

當(dāng)X>1時，f函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

-11正^所以函數(shù)

當(dāng)0Vx<l時，f(X)=VT^+V7^-3,f'(x)+

2V1-x2\l1+x2Vl-x2

單調(diào)遞減，

/(O)=-1,g(0)=0,f(1)=V2-3.g(l)=ln(V2-l)>lrA>(1)e(-1,0),

e

所以/(0)<g(0),/(1)<g(1),

所以/(x)與g(x)圖象在(0,+8)有1個交點，

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，在(-8,0)上也有1個交點，所以兩個函數(shù)共有2個交點.

故選：D.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，屬于中檔題.

15.(2023?阿勒泰地區(qū)三模)已知f(x)=sin號*4)，若函數(shù)/⑴在區(qū)間(筌，9)上有且只有

3個零點，則e的范圍為（）

A.岑<e<2兀B.2兀<84等C.e<￥D,用<845兀

00000

【分析】將3x」L看作一個整體，，使用整體思想，由正弦函數(shù)y=sinr的零點（即對稱中心的橫坐標(biāo)）

44

求解即可.

【解答】解：（x）=sinC|x4）在區(qū)間（斗，8）上有且只有3個零點，

.人3兀當(dāng)l,2兀aw廠，3兀38兀、

??令ix==t，Sx€（―>8）時，t€（―>丁=）'

?V（x）在區(qū)間得二，9）上有且只有3個零點，即y=sim在區(qū)間（耳二，昔玲）上有且只有3

個零點,

又?.?y=sim的零點（即對稱中心的橫坐標(biāo)）為t=kn,kwZ,

?半7_八口由J.Ck/3兀36兀、HA/-1□-+—■尸/3兀30兀、

??考％=0時，t=0€（-----,---+—）,當(dāng)％=1時，t=兀C（----，-----+—），

444444

>（/J_n-p__--/3兀36兀、*□n-U1/3冗39TC、

當(dāng)上一2n時，工=2兀€當(dāng)2—3時，t=3兀E

當(dāng)k=4時，t=4兀醫(yī)（旦上，自旦4^三），

444

；?3兀<*^-個弓-44兀，解得1?<845兀?

故選：D.

【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

IIn（-x）|<x<C0

16.（2023?煙臺模擬）已知函數(shù)f（x）=x,0<x<l,若f（x）="存在四個不相等的實根xi,

X-1.X>1

必X3,X4（XI〈尢2Vx3Vx4）,則4Xj+X]X?X4的最小值是3

【分析】作函數(shù)/（X）與y=m圖象，結(jié)合圖象可得XLT2=1,X3=xj，再利用基本不等式求最值即可.

'IIn（-x）|,x<0

【解答】解：作函數(shù)f（x）=<X,0<x《l與尸皿