2019年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學試卷（解析版）

2019年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學試卷

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.（3分）（2019?齊齊哈爾）3的相反數是（）

A.-3B.A/3C.3D.±3

【考點】14：相反數；22：算術平方根；28：實數的性質.

【專題】511：實數.

【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案.

【解答】解：3的相反數是-3,

故選：A.

【點評】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數.

2.（3分）（2019?齊齊哈爾）下面四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

【考點】P3：軸對稱圖形；R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：4不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

2、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

。、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確.

故選：D.

【點評】此題主要考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩

部分重合.

3.（3分）（2019?齊齊哈爾）下列計算不正確的是（）

A.土J^=±3B.2ab+3ba=5ab

C.（A/2-1）°=1D.（3/）2=6花4

【考點】21：平方根；35：合并同類項；47：幕的乘方與積的乘方；6E：零指數塞.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用同底數幕的乘除運算法則以及完全平方公式、合并同類項法則分別化

簡得出答案.

【解答】解：A、±?=±3,正確，故此選項錯誤；

B、2ab+3ba=5ab,正確，故此選項錯誤；

C、（V2-1）°=1,正確，故此選項錯誤；

D、（3-）2=9<7%4,錯誤，故此選項正確；

故選：D.

【點評】此題主要考查了同底數幕的乘除運算以及完全平方公式、合并同類項，正確掌

握相關運算法則是解題關鍵.

4.（3分）（2019?齊齊哈爾）小明和小強同學分別統計了自己最近10次“一分鐘跳繩”的

成績，下列統計量中能用來比較兩人成績穩(wěn)定程度的是（）

A.平均數B.中位數C.方差D.眾數

【考點】WA：統計量的選擇.

【專題】542：統計的應用.

【分析】根據方差的意義：體現數據的穩(wěn)定性，集中程度，波動性大??；方差越小，數

據越穩(wěn)定.要比較兩位同學在五次數學測驗中誰的成績比較穩(wěn)定，應選用的統計量是方

差.

【解答】解：能用來比較兩人成績穩(wěn)定程度的是方差，

故選：C.

【點評】此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義.反

映數據集中程度的統計量有平均數、中位數、眾數方差等，各有局限性，因此要對統計

量進行合理的選擇和恰當的運用.

5.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，直線將一塊含30°角（/8AC=30°）的直角

三角尺按圖中方式放置，其中A和C兩點分別落在直線a和6上.若Nl=20°,則/2

的度數為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【考點】JA：平行線的性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線.

【分析】直接利用平行線的性質結合三角形內角和定理得出答案.

【解答】解：：直線a〃4

：.Z1+ZBCA+Z2+ZBAC=1SO°,

VZBAC=30",NBCA=90°,Nl=20°,

，N2=40°.

故選：C.

【點評】此題主要考查了平行線的性質，正確掌握平行線的性質是解題關鍵.

6.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖是由幾個相同大小的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖

和俯視圖視圖，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數至少為（）

【考點】U3：由三視圖判斷幾何體.

【專題】55F：投影與視圖.

【分析】主視圖、俯視圖是分別從物體正面、上面看，所得到的圖形.

【解答】解：綜合主視圖和俯視圖，底層最少有4個小立方體，第二層最少有2個小立

方體，因此搭成這個幾何體的小正方體的個數最少是6個.

故選：B.

【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，根據題目中要求的以最少的小正方體搭建

這個幾何體，可以想象出左視圖的樣子，然后根據“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左

視圖拆違章”很容易就知道小正方體的個數.

7.（3分）（2019?齊齊哈爾）“六一”兒童節(jié)前夕，某部隊戰(zhàn)士到福利院慰問兒童.戰(zhàn)士們

從營地出發(fā)，勻速步行前往文具店選購禮物，停留一段時間后，繼續(xù)按原速步行到達福

利院（營地、文具店、福利院三地依次在同一直線上）.到達后因接到緊急任務，立即按

原路勻速跑步返回營地（贈送禮物的時間忽略不計），下列圖象能大致反映戰(zhàn)士們離營地

的距離S與時間t之間函數關系的是（）

【考點】E6：函數的圖象.

【專題】53：函數及其圖象.

【分析】根據題意，可以寫出各段過程中，S與f的關系，從而可以解答本題.

【解答】解：由題意可得，

戰(zhàn)士們從營地出發(fā)到文具店這段過程中，S隨r的增加而增大，故選項A錯誤，

戰(zhàn)士們在文具店選購文具的過程中，S隨著t的增加不變，

戰(zhàn)士們從文具店去福利院的過程中，S隨著/的增加而增大，故選項C錯誤，

戰(zhàn)士們從福利院跑回營地的過程中，S隨著/的增大而減小，且在單位時間內距離的變化

比戰(zhàn)士們從營地出發(fā)到文具店這段過程中快，故選項8正確，選項。錯誤，

故選：B.

【點評】本題考查函數圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

8.（3分）（2019?齊齊哈爾）學校計劃購買A和B兩種品牌的足球，已知一個A品牌足球

60元，一個3品牌足球75元.學校準備將1500元錢全部用于購買這兩種足球（兩種足

球都買），該學校的購買方案共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【考點】95：二元一次方程的應用.

【專題】34：方程思想；521：一次方程（組）及應用.

【分析】設購買A品牌足球x個，購買2品牌足球y個，根據總價=單價義數量，即可

得出關于x,y的二元一次方程，結合尤，y均為正整數即可求出結論.

【解答】解：設購買A品牌足球x個，購買B品牌足球y個，

依題意，得：60x+75y=1500,

；.y=20--x.

5

y均為正整數，

x]-5x2-10x-15Xq-20

??<，<，<，<

了1=16[y2=12[y3=8[y4=4

，該學校共有4種購買方案.

故選：B.

【點評】本題考查了二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程.

9.（3分）（2019?齊齊哈爾）在一個不透明的口袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、

黑三種顏色的小球.已知袋中有紅球5個，白球23個，且從袋中隨機摸出一個紅球的概

率是工，則袋中黑球的個數為（）

10

A.27B.23C.22D.18

【考點】X4：概率公式.

【專題】543：概率及其應用.

【分析】袋中黑球的個數為無，利用概率公式得到一—=」-，然后利用比例性質求

5+23+x10

出X即可.

【解答】解：設袋中黑球的個數為X,

1

根據題意得一解得x=22,

5+23+x10

即袋中黑球的個數為22個.

故選：C.

【點評】本題考查了概率公式：隨機事件A的概率尸（A）=事件A可能出現的結果數除

以所有可能出現的結果數.

10.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，拋物線y=o?+bx+c（°。0）與無軸交于點（-3,0）,

其對稱軸為直線x=-工，結合圖象分析下列結論：

2

@abc>0；

②3o+c>0；

③當xVO時，y隨x的增大而增大；

④一元二次方程cx,+bx+a=O的兩根分別為為=-—,X2=—;

32

⑤卜2-4生■<（）；

4a

⑥若m,n（m<n）為方程a（x+3）（x-2）+3=0的兩個根，則m<-3且〃>2,

其中正確的結論有（）

X

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點】AB：根與系數的關系；H4：二次函數圖象與系數的關系；HA：拋物線與x軸

的交點.

【專題】31：數形結合；535：二次函數圖象及其性質.

【分析】利用二次函數圖象與系數的關系，結合圖象依次對各結論進行判斷.

【解答】解：：拋物線y=ax2+bx+c（aWO）與無軸交于點（-3,0）,其對稱軸為直線x

~2

，拋物線y=ax2+bx+c（a#0）與x軸交于點（-3,0）和（2,0）,且

由圖象知：a<0,c>0,b<Q

abc>0

故結論①正確；

:拋物線y=o?+bx+c（aWO）與x軸交于點（-3,0）

9a-3b+c=0

\'a=b

??c~~~6〃

.??3〃+c=-3〃>0

故結論②正確；

,當尤<-L時，y隨尤的增大而增大；當時，y隨尤的增大而減小

22

結論③錯誤；

*.*cj?+bx+a=0,c>0

—x2+—x+1=0

aa

???拋物線》=狽2+法+。（QWO）與x軸交于點（-3,0）和（2,0）

ax,+bx+c=0的兩根是-3和2

aa

x2+—x+l=O§P^I：-6，+x+i=0,解得xi=-L,%2——;

aa32

故結論④正確；

2

:當x=」時，y=4ac-b>o

24a

.?“Fc〈0

4a

故結論⑤正確；

:拋物線〉=辦2+版+。QW0)與x軸交于點(-3,0)和(2,0),

2

?'?y=ax+bx+c=a(x+3)(x-2)

Vm,n(m<n)為方程〃(x+3)(x-2)+3=0的兩個根

.\m,n(m<n)為方程a(x+3)(x-2)=-3的兩個根

Am,n(m<n)為函數y=a(x+3)(x-2)與直線y=-3的兩個交點的橫坐標

結合圖象得：m<-3且〃>2

故結論⑥成立；

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y^a^+bx+c(aWO),

二次項系數4決定拋物線的開口方向和大?。寒敗?gt;0時，拋物線向上開口；當〃vo時,

拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數〃共同決定對稱軸的位置：當〃與人同號

時(即次?>0),對稱軸在y軸左；當〃與異號時(即次?V0),對稱軸在y軸右；常

數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于(0,c);拋物線與工軸交點個數

由△決定：△=B-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點；△=呈-4改=0時，拋物線

與x軸有1個交點；△=川-4噸<0時，拋物線與x軸沒有交點.

二、填空題(共7小題，每小題3分，滿分21分)

11.(3分)(2019?齊齊哈爾)預計到2025年我國高鐵運營里程將達到38000公里.將數據

38000用科學記數法表示為3.8X1()4.

【考點】H：科學記數法一表示較大的數.

【專題】511：實數.

【分析】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為“X10”的形式，其

中l(wèi)W|a|<10,”為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

【解答】解：38000用科學記數法表示應為3.8X1（）4,

故答案為：3.8X104.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為aX10〃的形式，其

中〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及”的值.

12.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，已知在△ABC和△。所中，/B=NE,BF=CE,點

B、F、C、E在同一條直線上，若使△ABC咨ADE尸,則還需添加的一個條件是48=

DE（只填一個即可）.

【考點】KB：全等三角形的判定.

【專題】553：圖形的全等.

【分析】添加由8尸=CE推出BC=EF,由SAS可證△ABCgZkOEF.

【解答】解：添加

?：BF=CE,

：.BC=EF,

'AB=DE

在△ABC和△。斯中，，NB=/E，

BC=EF

:.AABC名ADEF（SAS）；

故答案為：AB=DE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定，關鍵是注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS,答案不唯一.

13.（3分）（2019?齊齊哈爾）將圓心角為216°,半徑為5cwi的扇形圍成一個圓錐的側面,

那么圍成的這個圓錐的高為

【考點】MP：圓錐的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等

于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2m=216兀X5,解

180

得廠=3,然后根據勾股定理計算出圓錐的高.

【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為廠，

根據題意得2政=216兀乂5,解得廠=3,

180

所以圓錐的=Q52.32=4（cm）.

故答案為4.

【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.

14.（3分）（2019?齊齊哈爾）關于尤的分式方程空亙-'=3的解為非負數，則。的取

X-11-X

值范圍為aW4且.

【考點】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式.

【專題】522：分式方程及應用；524：一元一次不等式（組）及應用.

【分析】根據解分式方程的方法和方程汩_-J_=3的解為非負數，可以求得a的取

X-11-X

值范圍.

【解答】解：絲馬-，=3,

X-11-X

方程兩邊同乘以X-1,得

2x-。+1—3（x-1）,

去括號，得

2x-a+l=3x-3,

移項及合并同類項，得

X~~4~4,

:關于x的分式方程紅豆-二一=3的解為非負數，尤-1W0,

X-11-X

.[4-a>0

1（4~a）-1卉0

解得，aW4且

故答案為:°W4且aW3.

【點評】本題考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本題的關鍵是明確解分式方

程的方法.

15.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，矩形ABOC的頂點8、C分別在x軸，y軸上，頂點A

在第二象限，點2的坐標為（-2,0）.將線段OC繞點。逆時針旋轉60°至線段0。，

若反比例函數y=K1WO）的圖象經過A、。兩點，則％值為-竺史.

【考點】G4：反比例函數的性質；G6：反比例函數圖象上點的坐標特征；LB：矩形的性

質；R7：坐標與圖形變化-旋轉.

【專題】534：反比例函數及其應用.

【分析】過點D作DELx軸于點E,由點B的坐標為（-2,0）知OC=AB=-K,由

旋轉性質知。。=0C=-&、ZDOC=600,據此求得OE=OZ）cos30°=-^-k,DE=

24

OZ）sin30°=-叵k,即。（-1%代入解析式解之可得.

444

【解答】解：過點D作無軸于點E,

:點B的坐標為（-2,0）,

'.AB=-—,

2

oc=-K,

2

由旋轉性質知OO=OC=-k、ZCOD=6Q°,

：.ZD0E^3Q°,

；.?！?；=工。。=-4OE=ODcos30。=叵乂（-K）=-次

24224

即。（-1鼠-LB,

44

???反比例函數y=k（kWO）的圖象經過。點，

x

:.k=（-區(qū)k）（-1左）=叵看

4416

解得：左=0（舍）或％=-吆應，

3

故答案為：-空應.

3

【點評】本題主要考查反比例函數圖象上的點，解題的關鍵是表示出點。的坐標.

16.（3分）（2019?齊齊哈爾）等腰△ABC中，BDLAC,垂足為點。，且則等

2

腰aABC底角的度數為15°或45°或75°.

【考點】KH：等腰三角形的性質；KO：含30度角的直角三角形.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】分點A是頂點、點A是底角頂點、AO在△ABC外部和在△ABC內部三種

情況，根據等腰三角形的性質、直角三角形的性質計算.

【解答】解：①如圖1,當點A是頂點時，

：AB=AC,AD1BC,

：.BD=CD,

：AO=J_BC,

2

；.AD=BD=CD,

在中，ZB=ZBAD=^-X（180°-90°）=45°；

②如圖2,當點A是底角頂點，且在AABC外部時,

?：AD=-BC,AC=BC,

2

：.AD=^-AC,

2

：.ZAC￡>=30°,

/.ZBAC=ZABC=1-X30°=15°；

2

③如圖3,當點A是底角頂點，且A。在AABC內部時,

?：AD=^BC,AC=BC,

2

：.AD=^.AC,

2

AZC=30°,

：.ZBAC^ZABC=^-(180°-30°)=75

2

故答案為：15°或45°或75°.

D

【點評】本題考查的是直角三角形的性質、等腰三角形的性質，掌握在直角三角形中，

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵.

17.（3分）（2019?齊齊哈爾）如圖，直線/：y=1x+l分別交無軸、y軸于點A和點4，

3

過點4作481_L/,交x軸于點8i，過點S作BI&LX軸，交直線/于點&2；過點上

作人2歷，/，交無軸于點歷，過點歷作&軸，交直線/于點A?，依此規(guī)律…，若

圖中陰影△4。21的面積為Si，陰影△山⑤比的面積為陰影△出歷出的面積為Sy,

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類；F5：一次函數的性質；F8：一次函數圖象上點的

坐標特征.

【專題】33：函數思想；38：猜想歸納；4A：面積法；533：一次函數及其應用.

【分析】由直線/：y=1+l可求出與x軸交點A的坐標，與y軸交點4的坐標，進

3

而得到OA,04的長，也可求出RtZk0441的各個內角的度數，是一個特殊的直角三角

形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后這個求出Si、S2、S3、叉、……

根據規(guī)律得出Sn.

【解答】解：直線/：y=YXx+l,當x=0時，y=l；當y=0時，x=-如

3

.?.A(-V3，0)A1(0,1)

：.ZOAAi=30°

.?.ZOAiBi=30°,

在RtZ\OAiBi中，03I=1?04I=WL,

33

，Si=；OA[.OBi=g；

Z110

同理可求出：A2B1=—,B1B2=&又返

333

.?-52=1A2Bi-BtB2=7X-|X(fX^-)X(1)2:

68

依次可求出：$3=唱義仔)4；S4=^-X(y)；S5=^-X(y)……

因此：￡=與義得)2n"2

【點評】考查一次函數的圖象和性質、解直角三角形、三角形的面積、以及找規(guī)律歸納

總結結論的能力，由于數據較繁瑣、計算量交點，容易出現錯誤；因此在方法正確的前

提下，認真正確的計算則顯得尤為重要.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18.(10分)(2019?齊齊哈爾)(1)計算：(工)-^712-6tan60°+|2-4代|

3

(2)因式分解：a2+1-2a+4(a-1)

【考點】2C：實數的運算；56：因式分解-分組分解法；6F：負整數指數累；T5：特殊

角的三角函數值.

【專題】512：整式.

【分析】(1)根據實數運算的法則計算即可；

(2)根據因式分解-分組分解法分解因式即可.

【解答】解：(1)(^)'+V12-6tan60°+|2-4?|=3+2?-6義日+4氏-2=1；

3

(2)a+l-2a+4(a-1)=(fl-1)2+4(a-1)=(a-1)(?-1+4)=(a-1)(a+3).

【點評】本題考查了分解因式-分組分解法，實數的運算，熟記公式和法則是解題的關

鍵.

19.(5分)(2019?齊齊哈爾)解方程：x-+6x=-7

【考點】A6：解一元二次方程-配方法.

【專題】523：一元二次方程及應用.

【分析】方程兩邊都加上9,配成完全平方式，再兩邊開方即可得.

【解答】解：'：x+6x=-7,

.'.^+6x+9—-7+9,即(x+3)2=2,

貝kr+3=土量，

.'.x=-3±

即尤1=-3+V2>尤2=-3-V2-

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

20.(8分)(2019?齊齊哈爾)如圖，以△ABC的邊BC為直徑作。。，點A在。。上，點。

在線段BC的延長線上，AD=AB,/。=30°.

(1)求證：直線是O。的切線；

(2)若直徑BC=4,求圖中陰影部分的面積.

【考點】ME：切線的判定與性質；MO：扇形面積的計算.

【專題】559：圓的有關概念及性質.

【分析】（1）連接。4,則得出/COA=2/B=2NO=60°,可求得/04。=90°,可

得出結論；

（2）可利用△OA。的面積-扇形AOC的面積求得陰影部分的面積.

【解答】（1）證明：連接。A,則NC04=2N3,

'：AD=AB,

.../B=ND=30°,

：.ZCOA=60°,

AZOAD=180°-60°-30°=90°,

：.OA±AD,

即cr?是O。的切線；

(2)解：：BC=4,

：.OA=OC=2,

在中，。4=2,/。=30°,

/.OD=2OA=4,AD=2M，

所以S^OAD=—OA-AD=^-X2X2-J3=2-/3,

22

因為/COA=60°,

所以S扇形COA=60￡；2=&,

3603

所以S陰影=Sa04D-S扇形COA=2A/5-2兀.

【點評】本題主要考查切線的判定及扇形面積的計算，證明切線時，連接過切點的半徑

是解題的關鍵.

21.（10分）（2019?齊齊哈爾）齊齊哈爾市教育局想知道某校學生對扎龍自然保護區(qū)的了解

程度，在該校隨機抽取了部分學生進行問卷，問卷有以下四個選項：A.十分了解；B.T

解較多：C.了解較少：D.不了解（要求：每名被調查的學生必選且只能選擇一項）.現

將調查的結果繪制成兩幅不完整的統計圖.請根據兩幅統計圖中的信息回答下列問題：

(1)本次被抽取的學生共有100名;

(2)請補全條形圖；

(3)扇形圖中的選項“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角的大小為108°；

(4)若該校共有2000名學生，請你根據上述調查結果估計該校對于扎龍自然保護區(qū)“十

分了解”和“了解較多”的學生共有多少名？

【考點】V5：用樣本估計總體；VB：扇形統計圖；VC：條形統計圖.

【專題】541：數據的收集與整理.

【分析】(1)本次被抽取的學生共30+30%=100(名)；

(2)100-20-30-10=40(名)據此補全；

(3)扇形圖中的選項“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角360°X30%=108°；

(4)該校對于扎龍自然保護區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學生：2000X空±%=1200

100

(名).

【解答】解：(1)本次被抽取的學生共30?30%=100(名)，

故答案為100；

(2)100-20-30-10=40(名)，

補全條形圖如下：

(3)扇形圖中的選項“C.了解較少”部分所占扇形的圓心角

360°義30%=108

故答案為108；

(4)該校對于扎龍自然保護區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學生:

2:0+4

2000X0=1200(:名)，

100

答：該校對于扎龍自然保護區(qū)“十分了解”和“了解較多”的學生共1200名.

【點評】本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用.讀懂統計圖，從不同的統

計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據;

扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

22.（10分）（2019?齊齊哈爾）甲、乙兩地間的直線公路長為400千米.一輛轎車和一輛貨

車分別沿該公路從甲、乙兩地以各自的速度勻速相向而行，貨車比轎車早出發(fā)1小時，

途中轎車出現了故障，停下維修，貨車仍繼續(xù)行駛.1小時后轎車故障被排除，此時接到

通知，轎車立刻掉頭按原路原速返回甲地（接到通知及掉頭時間不計）.最后兩車同時到

達甲地，已知兩車距各自出發(fā)地的距離y（下米）與轎車所用的時間無（小時）的關系如

圖所示，請結合圖象解答下列問題：

（1）貨車的速度是50千米/小時;轎車的速度是80千米/小時;r值為3.

（2）求轎車距其出發(fā)地的距離y（千米）與所用時間無（小時）之間的函數關系式并寫

出自變量x的取值范圍；

（3）請直接寫出貨車出發(fā)多長時間兩車相距90千米.

八W科

400-------------------------P

時

【考點】FH：一次函數的應用.

【專題】533：一次函數及其應用.

【分析】（1）觀察圖象即可解決問題；

（2）分別求出得A、B、C的坐標，運用待定系數法解得即可；

（3）根據題意列方程解答即可.

【解答】解：（1）車的速度是50千米/小時；轎車的速度是：4004-（7-2）=80千米/

小時；1=240+80=3.

故答案為:50；80；3；

(2)由題意可知：A(3,240),B(4,240),C(7,0),

設直線0A的解析式為y=心尤(所WO),

，y=8Ox(0WxW3),

當3WxW4時，y—240,

設直線BC的解析式為>=切+6(20),

把8(4,240),C(7,0)代入得:

4k?+b=240k=-80

,解得2

7k2+b=0>560

?'?y--80+560,

’80x(04x<3)

240(3<x<4)

.-80x+560(4<x<7)

(3)設貨車出發(fā)x小時后兩車相距90千米，根據題意得：

50x+80(x-1)=400-90或50x+80(x-2)=400+90,

解得尤=3或5.

答：貨車出發(fā)3小時或5小時后兩車相距90千米.

【點評】本題考查一次函數的應用、待定系數法，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法確

定函數的解析式.

23.(12分)(2019?齊齊哈爾)綜合與實踐

折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折

紙的過程還蘊含著豐富的數學知識.

折一折：把邊長為4的正方形紙片ABCD對折，使邊AB與CD重合，展開后得到折痕

EF.如圖①：點、M為CF上一點,將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊，使點C落在

EF上的點N處，展開后連接ON,MN,AN,如圖②

圖①圖②

(一)填一填，做一做:

(1)圖②中，ZCMD=75°

線段NF=4-2

(2)圖②中，試判斷△AND的形狀，并給出證明.

剪一剪、折一折：將圖②中的△AND剪下來，將其沿直線G8折疊，使點A落在點4

處，分別得到圖③、圖④.

(二)填一填

(3)圖③中陰影部分的周長為.

(4)圖③中，若NA，GN=80°,則/A，HD=40°.

(5)圖③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4對;

(6)如圖④點A'落在邊A?上，若耳義=皿，則幽=細旦(用含山，”的代

A'DnAH-/2n—

數式表示).

【考點】SO：相似形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題；553：圖形的全等；554：等腰三角形與直角三角形；556：

矩形菱形正方形；558：平移、旋轉與對稱；55D：圖形的相似.

【分析】(1)由折疊的性質得，四邊形是矩形，得出EE=C。，NDEF=90°,

DE=AE=^AD,由折疊的性質得出。N=CD=2Z)E,MN=CM,得出/￡Z)N=60°,得

2

出/CZ)M=/NOM=15°,EN=邛DN=2M，因此NCAffl=75°,NF=EF-EN=4

-273；

(2)證明△AEN絲ZYDEN得出AN=QM即可得出是等邊三角形；

(3)由折疊的性質得出A'G=AG,A'H=AH,得出圖③中陰影部分的周長

的周長=12；

(4)由折疊的性質得出GH,ZAHG^ZA'HG,求出/AG8=50°,

得出/A"G=NA'HG=70°,即可得出結果；

(5)證明△NGMSZ\A'NMS叢DNH,即可得出結論；

(6)=cz,則AN=a相，A'D^an,證明△?!'GH^^HA1D,得出A^_2_=

AyDnA'H

設AG=AG=x,A'H=AH=y,貝！JGN=4-x,DH=4-y,得出三

DHA7Dy4-y

=4-x解得.),,彳導出AG=airrf~4=airrl~airman=2iirHi

an4+anAH4+anairH-an+annri-2n

【解答】解：(1)由折疊的性質得，四邊形CL出方是矩形，

：.EF=CD,ZDEF=90°,DE=AE=^-AD,

2

:將正方形紙片ABC。沿直線。M折疊，使點C落在￡尸上的點N處，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

:.NEDN=60°,

/.ZCDM=ZNDM=15°,EN=§DN=20

：.ZCMD=15°,NF=EF-EN=4-2禽;

故答案為：75°,4-273；

(2)△AN。是等邊三角形，理由如下：

'AE=DE

在4AEN與ADEN中，，ZAEN=ZDEN=90°，

,EN=EN

:AAEN”二DEN(SAS),

：.AN=DN,

■:NEDN=6S,

.,.△AND是等邊三角形;

(3):將圖②中的△ANZ)沿直線GW折疊，使點A落在點A'處，

；.A'G=AG,A'H=AH,

...圖③中陰影部分的周長=的周長=3X4=12；

故答案為：12；

(4),?,將圖②中的△AND沿直線G”折疊，使點A落在點A'處，

AZAGH=ZA'GH,ZAHG=ZAfHG,

VZA'GN=80°,

AZAGH=50°,

ZAHG=ZA'HG=70°，

：.ZA'HD=180°-70°-70°=40°；

故答案為：40；

(5)如圖③，

=60°,

ZNMG=ZA'MN,ZA'NM=ZDNH,

:.ANGMsAA'NMsADNH,

VAAGH^AA7GH

圖③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4對，

故答案為：4；

(6)設盧—電=四=。,則AN=a〃z,AD—an,

A'Dn

；NN=/D=NA=NA'=60°,

AZNA'G+ZA'GN=/NA'G+ZDA'H=120°,

；.NA'GN=/DA'H,

：.AAZGHsD,

.A7G_A7N_GN

"AyHDHh'D’

設A'G=AG=x,A'H=AH=y,則GN=4-x,DH=4-y,

?.?-x--_--a-m-_-4---x-,

y4力an

解得：片理&,

4+an

?AG_airri-4_airH-airH-an_2irrl-n

??——-----------------------——二―；

AH4+anairri-an+anirri-2n

故答案為：生也.

nH-2n

圖③

【點評】本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、折疊變換的性質、

正方形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性

質等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解題的關鍵.

24.（14分）（2019?齊齊哈爾）綜合與探究

如圖，拋物線y=/+6x+c與無軸交于A、8兩點，與y軸交于C點，。4=2,OC=6,

連接AC和BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點。在拋物線的對稱軸上，當△AC￡＞的周長最小時，點。的坐標為（[，-5）.

（3）點E是第四象限內拋物線上的動點，連接CE和BE.求△BCE面積的最大值及此

時點E的坐標；

（4）若點M是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點M使以點A、C、M、N為頂

點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數綜合題.

【專題】153：代數幾何綜合題；2C：存在型；32：分類討論；521：一次方程（組）及

應用；533：一次函數及其應用；535：二次函數圖象及其性質；554：等腰三角形與直角

三角形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉與對稱.

【分析】（1）由。4=2,OC=6得至I]A（-2,0）,C（0,-6）,用待定系數法即求得拋

物線解析式.

（2）由點。在拋物線對稱軸上運動且A、2關于對稱軸對稱可得，AD=BD,所以當點

C、D、B在同一直線上時，△ACD周長最小.求直線BC解析式，把對稱軸的橫坐標代

入即求得點。縱坐標.

（3）過點E作EG±x軸于點G,交直線BC與點F,設點E橫坐標為t,則能用t表示

EF的長.△8CE面積拆分為所與△（7跖的和，以Eb為公共底計算可得S^BCE=—EF

2

?02,把含f的式子代入計算即得到SMCE關于r的二次函數，配方即求得最大值和r的

值，進而求得點E坐標.

(4)以AC為菱形的邊和菱形的對角線進行分類畫圖，根據菱形鄰邊相等、對邊平行的

性質確定點N在坐標.

【解答】解：(1)'：OA=2,0C=6

：.A(-2,0),C(0,-6)

拋物線y=x+bx+c過點A、C

,,4-2b+c=0解得：產-1

10+0+c=-6Ic=-6

...拋物線解析式為y=x2-x-6

(2),當y=0時，x-x-6=0,解得：xi=-2,尤2=3

：.B(3,0),拋物線對稱軸為直線苫=心也以-

22

點D在直線x=L上，點A、B關于直線x=2■對稱

22

.'.X￡>=—,AD=BD

2

當點3、D、C在同一直線上時，CAACD=AC+AO+CO=AC+BO+CO=AC+BC最小

設直線BC解析式為y=kx-6

?9.3k-6=0,角軍得：k=2

?,?直線3C：y=2x-6

.\yo=2X—-6=-5

2

：.D(1，-5)

2

故答案為：(工，-5)

2

(3)過點E作EGLx軸于點G,交直線8C與點尸

設E(3?-/-6)(0<?<3),貝1］尸(32/-6)

：.EF=2t-6-(?-/-6)=-f+3t

:?SABCE=SABEF+SACEF=LEF?BG+LEF，OG=LEF(BG+OG)=1所?。2=1X3(-

22222

P+3力=-—(?--)2+—

228

.?.當r=W時，△BCE面積最大

2

._/3\23乙—21

.>yE=（―）———6=—-

224

...點E坐標為（工，-2L）時，△BCE面積最大，最大值為生.

248

(4)存在點N,使以點A、C、M.N為頂點的四邊形是菱形.

VA(-2,0),C(0,-6)

,1-AC=V22+62=2V10

①若AC為菱形的邊長，如圖3,

貝|JMN〃AC且，W=AC=2V10

:.NI(-2,2丁五),M(-2,-2^/15)，N3(2,0)

I

②若AC為菱形的對角線，如圖4,貝JAN4〃CM4,AN4=CN4

設N4(-2,n)

_n=^22+(n+6)2

解得：〃=-妝

3

：.N4(-2,一4

3

綜上所述，點N坐標為(-2,2^/10)>(-2,-2A/10),(2,0),(-2,-妝).

3

V

圖1

【點評】本題考查了二次函數的圖象與性質，軸對稱求最短路徑，一次函數的圖象與性

質，一次方程（組）的解法，菱形的性質，勾股定理.第（4）題對菱形頂點存在性的判

斷，以確定的邊AC進行分類，再畫圖討論計算.

考點卡片

1.相反數

（1）相反數的概念：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.

（2）相反數的意義：掌握相反數是成對出現的，不能單獨存在，從數軸上看，除0外，互

為相反數的兩個數，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“+”個數無關，有奇數個“-”號結果為負，有偶數個“-”

號，結果為正.

（4）規(guī)律方法總結：求一個數的相反數的方法就是在這個數的前邊添加“-如。的相反

數是-a,的相反數是-（機+"）,這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，要用

小括號.

2.科學記數法一表示較大的數

（1）科學記數法：把一個大于10的數記成aX10"的形式，其中a是整數數位只有一位的

數，〃是正整數，這種記數法叫做科學記數法.【科學記數法形式：oXIO",其中l(wèi)Wa<10,

〃為正整數

（2）規(guī)律方法總結：

①科學記數法中a的要求和10的指數n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數比原來的整數

位數少1；按此規(guī)律，先數一下原數的整數位數，即可求出10的指數加

②記數法要求是大于10的數可用科學記數法表示，實質上絕對值大于10的負數同樣可用

此法表示，只是前面多一個負號.

3.平方根

（1）定義：如果