離散數(shù)學(xué)集合的概念和表示法省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

第三章集合與關(guān)系3-1集合概念和表示法講課人：李朔Email:chn.nj.ls@1第1頁(yè)一、集合概念

集合是不能準(zhǔn)確定義數(shù)學(xué)基本概念,當(dāng)我們討論某一類(lèi)對(duì)象時(shí)，就把這一類(lèi)對(duì)象全體稱(chēng)為集合。這些對(duì)象稱(chēng)為集合中元素。元素也是抽象，無(wú)法準(zhǔn)確定義，能夠認(rèn)為是存在于世界上一切客觀(guān)物體。比如：地球上人。公園里花。

坐標(biāo)平面上點(diǎn)。

2第2頁(yè)一、集合概念

通慣用大寫(xiě)字母表示一個(gè)集合，例A，B，

。用小寫(xiě)字母表示一個(gè)集合元素，例a,b,x,y,

。若元素a屬于集合A，記作a

A,不然記a

A。若一個(gè)集元素個(gè)數(shù)是有限，稱(chēng)有限集，不然稱(chēng)為無(wú)限集。有限集合元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為該集合基數(shù)，集合A基數(shù)記為|A|。3第3頁(yè)一、集合概念

本書(shū)通慣用N表示自然數(shù)集（包含0），Z代表整數(shù)數(shù)集，Q代表有理數(shù)集，R代表實(shí)數(shù)集，C代表復(fù)數(shù)集。集合表示通常有二種方法：1）

列舉法：把集合元素在花括號(hào)內(nèi)列出例A={a,b,c,d}N={0,1,2,

}W={風(fēng)馬牛}Z={3，5，6，9…}（沒(méi)有規(guī)律，所以不能用列舉法）4第4頁(yè)一、集合概念

2）描述法：用謂詞概括該集合元素屬性。B={x

P(x)}表示B由使P(x)為真x組成。例：B={x

x

R

3

x≤6},C={x

x2=1}（={1，-1}）D={y|y是教室中全部聽(tīng)課同學(xué)}集合元素必須是確定。所謂確定，是指任何一個(gè)對(duì)象是不是集合元素是明確、確定，不能模棱兩可。即對(duì)于集合A，任一元素a，要么a屬于A(yíng)，要么a不屬于A(yíng)，二者必居其一。集合元素又是能區(qū)分，能區(qū)分是指集合中元素是互不相同。假如一個(gè)集合中有幾個(gè)元素相同，算做一個(gè)。比如集合

1,2,3,3

和

1,2,3

是同一集合,{a,b},{a,a,b}與{a,a,b,b,b}是相同集合。集合元素又是無(wú)序，即

1,2,3

和

3,1,2

是同一集合。集合元素還能夠允許是一個(gè)集合，如S=

1,2,

3,{a},a

5第5頁(yè)二．集合之間關(guān)系集合之間有二種基本關(guān)系：1）相等：兩個(gè)集A，B稱(chēng)作相等，當(dāng)且僅當(dāng)A，B元素完全相同，記A=B，不然A

B。(P82外延性原理）例{{1,2},4}

{1,2,4}{1,3,5

}={x

x是正奇數(shù)}2）子集（Ｐ83定義3-1.1）：A，B為兩個(gè)集合，若A每個(gè)元素都是B元素，稱(chēng)A為B子集，或A包含在B內(nèi)，或Ｂ包含Ａ，記A

B或B

A。即A

B

x(x

A

x

B)依據(jù)子集定義，可馬上有：對(duì)任意集合A，B，C：1）A

A；（自反性）2）A

B，B

C則A

C；(傳遞性）6第6頁(yè)二．集合之間關(guān)系定理3-1.1

A=B

A

B且B

A證:設(shè)A=B，則

x(x

A

x

B)與

x(x

B

x

A)都為真，故A

B且B

A。反之，若A

B且B

A而A

B，設(shè)某一x

A但x

B（或x

B但x

A）這與A

B（或B

A）矛盾。*本定理結(jié)論是我們以后證實(shí)兩個(gè)集合相等主要判定方法。(互為子集法）定義3-1.2:真子集。A，B為兩個(gè)集合，若A每個(gè)元素都是B元素，但B中最少有一個(gè)元素不屬于A(yíng)，則稱(chēng)A為B真子集，或A包含在B內(nèi)，記A

B。即A

B

x(x

A

x

B)(x)(x

B

x

A)A

B

A

B

A

B比如：ZQ又比如：設(shè)A=

a

，B=

a,b

，C=

a,b,c

則

A

B，B

C，A

C，但A

A7第7頁(yè)三、空集Ｐ84定義3-1.3不含任何元素集合稱(chēng)為空集，記為

，即

={}。

?=

x|P(x)∧

P(x)

其中，P(x)為任意謂詞空集?是不包含任何元素集合，所以，|?|=0。注：

{

}，

{

}。定理3-1.2對(duì)任一個(gè)集合A，

A。證：設(shè)

不是A子集，則必有x

而x

A，這與

定義矛盾。依據(jù)本定理，空集是任意集合子集，即?

A；對(duì)任意集合A，A

A。普通地說(shuō)，任意集合A最少有兩個(gè)子集，一個(gè)是空集?，另一個(gè)是它本身A。(稱(chēng)?與Ａ為Ａ平凡子集）推論

空集是惟一。8第8頁(yè)例：確定以下命題真假：(a)?

?(b)?

?(c)?{?}(d)?{?}(e){a,b}{a,b,c{a,b,c}}(f){a,b}{a,b,c{a,b,c}}(g){a,b}{a,b,c,{a,b}}(h){a,b}{a,b,c,{a,b}}9第9頁(yè)例：求出以下集合全部子集：(a){?,{?}}?,{?},{{?}},{?,{?}}(b){{a,b},{a,a,b},{b,a,b}}?,{{a,b}}10第10頁(yè)四、全集定義3-1.4全集若在特定條件下考慮對(duì)象均屬于E，則稱(chēng)E為全集。全集概念相當(dāng)于論域。如討論宇宙萬(wàn)物集合時(shí)一切客體都屬于全集。而討論一個(gè)班級(jí)，則該班級(jí)全部學(xué)生組成了全集。以一個(gè)集合全部子集為元素，能夠組成另外一個(gè)集合。11第11頁(yè)五、冪集

定義3-1.5給定集合A，由A全部子集為元素組成集合稱(chēng)為A冪集，記P(A)。即P(A)=

S|S

A

比如設(shè)A=

a,b,c

，?是空集，試求P(A)，P(P(?))。

解：P(A)=

?,

a

,

b

,

c

,

a,b

,

a,c

,

b,c

,

a,b,c

P(?)=

?

，P(P(?))=

?,

?

*一個(gè)有限集A，能夠有多少個(gè)不一樣子集？即它冪集基數(shù)12第12頁(yè)五、冪集P85定理3-1.3：假如有限集合A有n個(gè)元素,則其冪集P(n)有2n個(gè)元素。證實(shí)：A全部由k個(gè)元素組成子集為從n個(gè)元素中取k個(gè)元素組合數(shù)。另外，因，故P(A)總數(shù)N可表示為：又因令x=y=1，故P(A)元素個(gè)數(shù)是2n13第13頁(yè)六、子集編碼引進(jìn)一個(gè)編碼，用來(lái)唯一地表示有限集冪集元素。以S={a,b,c}為例：P(S)={Si|i∈J}J={i|i是二進(jìn)制且000≤J≤111}*先元素排列，后各元素與對(duì)應(yīng)位映射。比如：S3=S011={b,c},S6=S110={a,b}等。*普通地P（S）={S0，S1，……S2n-1}即P(S)={i|I是二進(jìn)制數(shù)且