函數(shù)逼近基本概念31省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)

第三章函數(shù)迫近與曲線擬合/*ApproximationTheory*/一、對(duì)給定函數(shù)類(lèi)A中給定函數(shù)f(x)，要求在另一類(lèi)簡(jiǎn)單便于計(jì)算函數(shù)類(lèi)B中求一個(gè)函數(shù)P(x)，使得誤差在某種度量意義下最?。贿@里我們給出兩種度量下迫近問(wèn)題。也稱(chēng)作連續(xù)性迫近。①

m很大；②

yi本身是測(cè)量值，不準(zhǔn)確，即yi

f(xi)本章討論兩種情形函數(shù)迫近問(wèn)題：某種度量就是某種衡量標(biāo)準(zhǔn)或某種大小、某種尺度通常選擇多項(xiàng)式類(lèi)、有理函數(shù)類(lèi)不過(guò)二、已知,求一個(gè)簡(jiǎn)單易算近似函數(shù)P(x)

f(x)。這種情形稱(chēng)作離散迫近，這章介紹一個(gè)方法叫做曲線擬合。第1頁(yè)§

3.1函數(shù)迫近基本概念3.1.1函數(shù)迫近與函數(shù)空間數(shù)課時(shí)常把在各種集合中引入一些不一樣確實(shí)定關(guān)系稱(chēng)為賦予集合以某種空間結(jié)構(gòu)；含有某種空間結(jié)構(gòu)集合稱(chēng)為空間。比如2、次數(shù)不超出n實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式集合，按照通常多項(xiàng)式加法及數(shù)與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，也組成實(shí)數(shù)域上線性空間；記作1、全部n維實(shí)向量組成集合，賦予向量加法和向量與數(shù)乘法運(yùn)算，就組成實(shí)數(shù)域上線性空間；記作3、全部定義在上連續(xù)函數(shù)集合，按照函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)乘法運(yùn)算組成數(shù)域上線性空間；記作空間依據(jù)賦予運(yùn)算性質(zhì)分為線性空間和非線性空間。我們只討論線性空間。線性空間又分為有限維和無(wú)限維。所謂有限維線性空間，就是空間中線性無(wú)關(guān)元素個(gè)數(shù)是有限；假如線性空間S是由S

中n個(gè)線性無(wú)關(guān)元素生成，即則稱(chēng)S為n維線性空間；稱(chēng)為S一組基；稱(chēng)為x在上坐標(biāo)；記假如S空間中有沒(méi)有限個(gè)線性無(wú)關(guān)元素則S就是無(wú)限維線性空間。第2頁(yè)n維線性空間基是不為一；但每組基中包含線性無(wú)關(guān)元素個(gè)數(shù)是相同確定一組基后，空間中每個(gè)元素坐標(biāo)是唯一；能夠說(shuō)每個(gè)元素都和n個(gè)有序數(shù)組（即n維向量）相對(duì)應(yīng)，所以我們也稱(chēng)n維線性空間為向量空間，線性空間元素也稱(chēng)為向量。第3頁(yè)3.1.2范數(shù)和賦范線性空間為了對(duì)線性空間中元素進(jìn)行大小比較，需要引進(jìn)范數(shù)；它是向量空間向量長(zhǎng)度直接推廣。定義1

設(shè)S是線性空間，若存在唯一實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足條件：正定性齊次性三角不等式則稱(chēng)為S上范數(shù)，S與一起稱(chēng)作賦范線性空間定義以下三種范數(shù)第4頁(yè)3.1.3內(nèi)積和內(nèi)積空間定義2

設(shè)S是數(shù)域K上線性空間，對(duì)有K中一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記作（u,v),它滿(mǎn)足以下條件：則稱(chēng)為S上內(nèi)積，定義了內(nèi)積線性空間稱(chēng)作稱(chēng)作u與v正交。由向量?jī)?nèi)積定義內(nèi)積空間。假如這是向量相互垂直概念推廣！第5頁(yè)比如能夠證實(shí)它滿(mǎn)足上面四條性質(zhì)。定義內(nèi)積定義3設(shè)是有限或無(wú)限區(qū)間，上非負(fù)函數(shù)有則稱(chēng)為權(quán)函數(shù)。稱(chēng)作加權(quán)內(nèi)積（帶權(quán)內(nèi)積）稱(chēng)作加權(quán)正交第6頁(yè)關(guān)于內(nèi)積有下述性質(zhì)定理2

設(shè)X是內(nèi)積空間，則，有：（Cauchy-Schwarz）不等式定理3

設(shè)X是內(nèi)積空間，對(duì)，矩陣非奇異充要條件是