解析函數(shù)零點的孤立性及唯一性定理省公開課一等獎全國示范課微課金獎

第四章解析函數(shù)冪級數(shù)表示法第一節(jié)復(fù)級數(shù)基本性質(zhì)第二節(jié)冪級數(shù)第三節(jié)解析函數(shù)泰勒(Taylor)展式第四節(jié)零點孤立性與唯一性原理第1頁第一節(jié)復(fù)級數(shù)基本性質(zhì)１復(fù)數(shù)項級數(shù)定義4.1對于復(fù)數(shù)項無窮級數(shù)

命（部分和）。若

則稱復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂于

不然稱級數(shù)發(fā)散。第2頁定理4.1設(shè)，則復(fù)數(shù)級（4.1）收斂于實數(shù)及分別收斂于充要條件為第3頁例求證級數(shù)在時收斂于，而當(dāng)時發(fā)散。證實：1）用極限定義易證，當(dāng)時，因而由極限性質(zhì)得到第4頁所以按定義4.1得2）當(dāng)時，顯然有，因而故級數(shù)發(fā)散。第5頁3）當(dāng)時，顯然有所以級數(shù)也發(fā)散。第6頁4）當(dāng)，而時，設(shè)，則因為，所以它對任何固定都無極限由此可見，復(fù)數(shù)當(dāng)時無極限，亦即無極限，所以級數(shù)發(fā)散。第7頁例4.1

考查級數(shù)斂散性。解因發(fā)散，收斂，我們?nèi)詳喽ㄔ墧?shù)發(fā)散。故雖第8頁例討論級數(shù)斂散性解：而第9頁收斂，級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散。當(dāng)時，級數(shù)收斂。當(dāng)時，由知，發(fā)散第10頁定理4.2柯西收斂原理（復(fù)數(shù)項級數(shù)）級數(shù)收斂必要與充分條件是：任給能夠找到一個正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N，p=1,2,3,…時第11頁定理4.3復(fù)級數(shù)（4.1）收斂一個充分條件為級數(shù)收斂第12頁定義4.2若級數(shù)收斂，則原級數(shù)稱為絕對收斂；非絕對收斂收斂級數(shù)，稱為條件收斂。第13頁（１）一個絕對收斂復(fù)級數(shù)各項能夠任意重排次序，而不致改變其絕對收斂性，亦不致改變其和。（2）兩個絕對收斂復(fù)級數(shù)可按對角線方法得出乘積級數(shù)。定理4.4第14頁例判斷以下級數(shù)斂散性分析：考查正項級數(shù)斂散性。解（1），則由正項級數(shù)比值判別法知道，原級數(shù)絕對收斂。第15頁（2）因故原級數(shù)發(fā)散第16頁練習(xí)：證實級數(shù)收斂，但不絕對收斂第17頁2.一致收斂復(fù)函數(shù)項級數(shù)定義4.3設(shè)復(fù)變函數(shù)項級數(shù)在點集上存在一個函數(shù)，對于上每一個點，級數(shù)（4.2）均收斂于，

則稱為級數(shù)（4.2）和函數(shù)，記為第18頁

定義4.4對于級數(shù)（4.2），假如對任意給定，存在正整數(shù)當(dāng)時，對一切都有則稱級數(shù)（4.2）在上一致收斂于第19頁與定理4.2類似地我們有定理4.5級數(shù)在上一致收斂充要條件是：，當(dāng)使時，對任一及都有第20頁定義4.4‘在點集合E上不一致收斂于某個對任何整整數(shù)總有某個使定理4.5’在點集E上不一致收斂某個對任何正整數(shù)N，整數(shù)總有某個及某個正整數(shù)，有第21頁定理（優(yōu)級數(shù)準則）若存在正數(shù)列而且正項級數(shù)收斂，則復(fù)函數(shù)項級數(shù)在集上絕對收斂且一致收斂。使對一切,有第22頁例求級數(shù)和函數(shù)分析：求部分和；分別就取極限解：第23頁所以第24頁例證實級數(shù)時一致收斂當(dāng)當(dāng)時發(fā)散。證實：1）當(dāng)時，因為，而正項級數(shù)收斂，故由優(yōu)級數(shù)準則知所給級數(shù)在時絕對且一致收斂。第25頁2）當(dāng)時，，所以絕對收斂。又因為故發(fā)散，從而所給級數(shù)在時發(fā)散。第26頁3）當(dāng)時，，所以收斂。發(fā)散。后者是因為從而所給級數(shù)在時發(fā)散。第27頁級數(shù)在閉圓上一致收斂。因有收斂優(yōu)級數(shù)第28頁思索題：證實在內(nèi)不一致收斂。第29頁定理4.6設(shè)復(fù)平面點集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡單曲線在E上一致收斂于f(z)，那么f(z)在E上連續(xù)。定理4.7設(shè)在簡單曲線C上{fn(n)}(n=1,2,…)或序列{fn(n)}在C上一致收斂于f(z)或或連續(xù)，而且級數(shù)。設(shè)在集E上{fn(z)}(n=1,2,…)連續(xù)，而且級數(shù)，那么第30頁注解：注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項級數(shù)和序列逐項求導(dǎo)問題時，我們普通考慮解析函數(shù)項級數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來研究和函數(shù)與極限函數(shù)解析性及其導(dǎo)數(shù)。第31頁內(nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列在復(fù)平面C上區(qū)域D內(nèi)解析，假如級數(shù)序列{fn(n)}在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說此級數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。第32頁定理4.8級數(shù)（4.2）在圓內(nèi)閉一致收斂充要條件是：對任意正數(shù)，只要級數(shù)（4.2）在閉圓上一致收斂。第33頁定理4.9設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,級數(shù)在內(nèi)中閉一致收斂于函數(shù)，則在內(nèi)解析,，且在內(nèi)成立證實：，取，使得。在內(nèi)任作一條簡單閉曲線，依據(jù)定理柯西定理推得第34頁因而由莫勒拉定理知在內(nèi)解析,再由任意性即得在內(nèi)解析。在上一致收斂于

其次，設(shè)邊界,由已知條件得在上一致收斂于，從而,依據(jù)定理4.7，我們有即于是定理結(jié)論成立.第35頁例證實級數(shù)在內(nèi)閉一致收斂。證實當(dāng)時，而正項級數(shù)收斂，即原級數(shù)有收斂優(yōu)級數(shù)，故由優(yōu)級數(shù)準則，原級數(shù)第36頁在較小同心閉圓上絕對且一致收斂。由定理4.8原級數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂。第37頁定義形如級數(shù)稱為冪級數(shù),其中是復(fù)變量,是復(fù)常數(shù).尤其地,當(dāng)，級數(shù)就變?yōu)椤?冪級數(shù)冪級數(shù)在復(fù)變函數(shù)論中有著特殊主要意義,它不但是研究解析函數(shù)工具,而且在實際計算中也很主要。第38頁

定理4.10:(阿貝爾第一定理)假如冪級數(shù)(4.3)在z1(

z0)收斂,則它在圓K：|z-z0|<|z1-z0|內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂.第39頁證實設(shè)z是所述圓K內(nèi)任意點，因為所以存在著有限常數(shù)M,使得這么一來，即有收斂，它各項必定有界注意有，故級數(shù)第40頁為收斂等比級數(shù)，因而在圓K內(nèi)收斂其次，對K內(nèi)任一閉圓上一切點來說，有故在上有收斂優(yōu)級數(shù)因而它在上絕對且一致收斂。再由定理4.8，此級數(shù)在圓K內(nèi)絕對球內(nèi)閉一致收斂。第41頁定理4.12:假如以下條件之一成立（1）(達朗貝爾法則)（2）(柯西法則)（3）(柯西-阿達馬公式)則當(dāng)0<l<+

時,冪級數(shù)(4.3)收斂半徑為當(dāng)l=0時,R=+

;當(dāng)l=+

時,R=0.第42頁注意：由數(shù)學(xué)分析知識即知，對冪級數(shù)（4.3）有（2）若存在，則存在，且等于。又從存在顯然包含存在，且等于，反之則不然，即存在，未必存在。所以，由上極限第43頁而得到收斂半徑結(jié)論最強例4.2試求以下各冪級數(shù)收斂半徑解（2）（1）（3）（4）第44頁解因（2）故第45頁解因故（3）第46頁解當(dāng)ｎ是平方數(shù)時，（4）其它情形，所以對應(yīng)有于是數(shù)列聚點是0和1，從而第47頁

冪級數(shù)(4.3)和是在收斂圓盤內(nèi)有定義一個函數(shù),稱之為和函數(shù).能夠證實冪級數(shù)和函數(shù)解析性.定理4.13:設(shè)冪級數(shù)(4.3)收斂半徑為R,則在|z-z0|<R內(nèi),它內(nèi)閉一致收斂,它和函數(shù)（4.5）解析,而且可逐項求導(dǎo).第48頁證實:實際上,對,則在上由定理

收斂半徑為1知級數(shù)在上絕對收斂，從而依據(jù)判別法知

在一致收斂，故在中內(nèi)閉一致收斂,在和函數(shù)解析，且成立，由任意性即知定理成立.但冪級數(shù)在其收斂圓上可能收斂,也可能發(fā)散.如例2級數(shù)第49頁因為在收斂圓上,此級數(shù)普通不趨于0,因而在上級數(shù)處處發(fā)散,但其和函數(shù)卻除處處解析.例3級數(shù)收斂半徑為1在收斂圓上，，而級數(shù)收斂,故此級數(shù)在收斂圓上也處處收斂.第50頁例證實在內(nèi)解析，并求證實因為所給冪級數(shù)收斂半徑，故由定理4.13（1）、（2），在內(nèi)解析，且在內(nèi)其收斂半徑仍為第51頁例求冪級數(shù)收斂半徑、收斂圓及和函數(shù)解：1）因為，所以收斂半徑收斂圓為2）因為于是，以此為公式就有第52頁第53頁3.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反問題：一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表示?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示？）由§4.2冪級數(shù)性質(zhì)知:一個冪級數(shù)和函數(shù)在它收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù)。以下定理給出了必定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示。第54頁定理4.14（泰勒定理）設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，只要圓含于，則在內(nèi)能展成冪級數(shù)其中第55頁證證實關(guān)鍵是利用柯西積分公式及以下熟知公式第56頁Dk分析：代入(1)得第57頁Dkz第58頁---(*)得證！第59頁證實(不講)第60頁(不講)第61頁證實(不講)第62頁結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一，就是它

Taylor級數(shù)。利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù)，這么展開式是否唯一？實際上，設(shè)f(z)用另外方法展開為冪級數(shù):第63頁由此我們就可推出:推論冪級數(shù)是它和函數(shù)在收斂圓內(nèi)泰勒展式.即第64頁定理4.15:函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析

它在z0某一鄰域內(nèi)有冪級數(shù)展式(4.8).

定義4.6:f(z)在U內(nèi)冪級數(shù)展式(4.8)稱為f(z)在

z=z0或在U內(nèi)泰勒展式,

n為泰勒系數(shù),(4.8)右邊級數(shù)為泰勒級數(shù).第65頁注解1、在定理4.14中，f(z)在U內(nèi)冪級數(shù)展式我們稱為它在U內(nèi)泰勒展式。注解2、我們得到一個函數(shù)解析另外一個刻畫。注解3、泰勒展式中系數(shù)與z0相關(guān)。第66頁定理4.16假如冪級數(shù)收斂半徑2．冪級數(shù)和函數(shù)在其收斂圓周上情況，且則在收斂圓周上最少有一奇點。即不可能有這么函數(shù)存在，它在內(nèi)與恒等，而在上處處解析。

其中第67頁

第68頁比如收斂半徑為1在圓周上級數(shù)收斂，所以原級數(shù)在圓周是處處絕對收斂，從而在閉圓絕對且一致收斂。當(dāng)z沿實軸從單位圓內(nèi)趨于1時，趨于，所以是有一個奇點。第69頁關(guān)于冪級數(shù)四則運算冪級數(shù)在它收斂圓內(nèi)絕對收斂。所以兩個冪級數(shù)在收斂半徑較小那個圓域內(nèi)，不但能夠作加法、減法還可以作乘法。至于除法，我們將經(jīng)過乘法及待定系數(shù)法萊解決。第70頁由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù)，因而是唯一。---直接法---間接法代公式由展開式唯一性，利用級數(shù)代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)方法：第71頁二．求泰勒展式方法1．求Taylor系數(shù)如求在z=0展開式第72頁2.利用級數(shù)運算如如在展開第73頁3．逐項微分法如：4.逐項積分法如求在展開式。（主支）（其中取K=0分支，即分支）第74頁又普通地，5．級數(shù)代入級數(shù)法如第75頁第76頁總結(jié)：掌握一些主要泰勒展示，并能作為公式來用第77頁第78頁第四節(jié)

零點孤立性與唯一性原理第79頁定義4.7設(shè)在解析區(qū)域一點值為零，則稱為解析函數(shù)零點

第80頁稱為級零點，若第81頁注意：定義4.7中，1）a為解析函數(shù)f(z)零點f(z)在點a解析，且2）a為解析函數(shù)f(z)m階零點（m≥1）整數(shù)f(z)在點a解析，但。這是多項式重根概念推廣。第82頁定理4.17不恒為零解析函以為級零點充要條件為：其中在點鄰域內(nèi)解析，且第83頁證必要性由假設(shè)，只要令即可。充分性是顯著。第84頁例4.15考查函數(shù)在原點性質(zhì)。第85頁為三級零點解：顯然在解析，且由全部第86頁例指出函數(shù)零點級。分析如用定義4.7，因為要求高階導(dǎo)數(shù)，計算較繁，故直接用泰勒展示于定理4.17，就簡單多了。解：第87頁其中在z平面C上解析，且，所以為6級零點第88頁

定理4.18如在內(nèi)解析函數(shù)不恒為零，為其零點，則必有一個鄰域，使得在其中無異于零點。（簡單說來就是：不恒為零解析函數(shù)零點必是孤立。）第89頁推論4.19設(shè)（1）函數(shù)在鄰域內(nèi)解析；（2）在K內(nèi)有一列零點收斂于，則在K內(nèi)必恒為零。第90頁定理4.20（唯一性定理）設(shè)（1）函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)解析；（2）內(nèi)又有一個收斂于點列，在其上和則

和在內(nèi)恒等。相等。第91頁證實：假定定理結(jié)論不成立。即在D內(nèi)，解析函數(shù)F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。顯然設(shè)z0是點列{zk}在D內(nèi)有極限點。因為F(z)在z0連續(xù)，可見唯一零點，與解析函數(shù)零點孤立性矛盾。在普通情形下，可用下述所謂圓鏈法來證實。可是這時找不到z0一個鄰域，在其中z0是F(z)第92頁設(shè)是D內(nèi)任意固定點（如圖）。在D內(nèi)能夠作一折線L連接及以表L與D邊界г間最短距離在L上依次取一串點使相鄰兩點間距離小于定數(shù)。顯然，由推論4.19，在圓內(nèi)。在圓又重復(fù)應(yīng)用推論4.19，即知在內(nèi)。這么繼續(xù)下去，直到最終一個含有圓為止，在該圓內(nèi)第93頁，尤其說來，。因為是D內(nèi)任意點，故證實了在D內(nèi)推論4.21設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)在D內(nèi)某一子區(qū)域（或一小段?。┥舷嗟龋瑒t它們必在區(qū)域D內(nèi)恒等。推理4.22一切在實軸上成立恒等式，在z平面上也成立，只要這個恒等式等號兩邊在z平面上都是解析。第94頁例4.17設(shè)（1）在區(qū)域內(nèi)解析；（2）在內(nèi)，試證：在內(nèi)或

第95頁證若有使因在點連續(xù)，故存在鄰域在內(nèi)