數(shù)學(xué)（北師大版選修2-2）課件第1章4數(shù)學(xué)歸納法

第一章推理與證明§4數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1.能理解用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的原理．2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式及數(shù)列問題．3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式整除問題．4.注意總結(jié)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟與技巧方法.1.重點：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的原理及用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟與技巧方法．2.難點：用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟與技巧方法.1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與__________有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明步驟基本步驟：(1)驗證：當(dāng)n取第1個值n0(如n0＝1或2等)時，命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)____________________時命題成立的前提下，推出當(dāng)__________時，命題成立．正整數(shù)nn＝k(k∈N＋，k≥n0)n＝k＋1根據(jù)①②可以斷定命題對一切從n0開始的正整數(shù)n都成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法能保證命題對______________都成立．因為根據(jù)①，驗證了當(dāng)__________時命題成立；根據(jù)②可知，當(dāng)______________時命題成立．由于當(dāng)__________時命題成立，再根據(jù)②可知，當(dāng)___________時命題也成立，這樣遞推下去，就可以知道當(dāng)____________時命題成立，即命題對任意正整數(shù)n都成立．所有的正整數(shù)n＝1n＝1＋1＝2n＝2n＋1＝3n＝4,5，…溫馨提示：數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，是對不完全歸納法的完善．證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”；第二步解決的是延續(xù)性問題，又稱“歸納遞推”．運用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題注意以下幾點：(1)兩個步驟缺一不可；(2)在第一步中，n的初始值不一定從1取起，也不一定只取一個數(shù)(有時需取n＝n0，n0＋1等)，證明應(yīng)視具體情況而定；(3)在第二步中，證明當(dāng)n＝k＋1時，必須使用歸納假設(shè)，否則就會打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，造成推理無效；(4)證明當(dāng)n＝k＋1時命題成立，要明確求證的目標(biāo)形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便使用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng)n＝k＋1時的結(jié)論，這樣就能有效減少論證的盲目性．由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫作歸納法．歸納法又分完全歸納法與不完全歸納法．如果只驗證有限的特殊事例，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為不完全歸納法．不完全歸納法得出的結(jié)論不一定是正確的．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與歸納法如果驗證一切可能的特殊事例，得出一般性的結(jié)論，這種歸納法稱為完全歸納法．完全歸納法得出的結(jié)論是正確的．對于無窮多個事例，常用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，并設(shè)法予以證明，數(shù)學(xué)歸納法就是這種證明常用的方法．

數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N＋)．(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想．【點評】用數(shù)學(xué)歸納法證明，要做到“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉”，因此必須注意以下三點：(1)驗證是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)歸納法的原理表明：第一個步驟是要找一個數(shù)n0，這個n0就是使我們要證明的命題成立的最小自然數(shù)，這個自然數(shù)并不一定都是“1”，因此“找準(zhǔn)起點，奠基要穩(wěn)”是我們正確運用數(shù)學(xué)歸納法要注意的第一個問題．(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)在于遞推，所以從“k”到“k＋1”的過程，必須把歸納假設(shè)作為條件來導(dǎo)出“n＝k＋1”時命題成立，在推導(dǎo)過程中，要把歸納假設(shè)用上一次或幾次．(3)正確尋求遞推關(guān)系①在第一步驗證時，不妨多計算幾項，并正確寫出來，這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的．②探求數(shù)列通項公式要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律，觀察n處在哪個位置．③在書寫f(k＋1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出來，尤其是f(k)中的最后一項．除此之外，多了哪些項，少了哪些項都要分析清楚．1．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，對任意實數(shù)x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的條件下，猜想f(n)(n∈N＋)的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4；f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9；f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n＝1時，f(1)＝12＝1顯然成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時，命題成立，即f(k)＝k2，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，即當(dāng)n＝k＋1時命題也成立，由①②可知，對一切n∈N＋都有f(n)＝n2成立．?dāng)?shù)學(xué)歸納法可以證明與自然數(shù)有關(guān)的恒等式問題，關(guān)鍵是第二步．不妨設(shè)命題為f(n)＝g(n)，第二步歸納遞推相當(dāng)于一個條件等式的證明題．已知：f(k)＝g(k)，求證：f(k＋1)＝g(k＋1)．證明過程通常分三步：(1)找出f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系；(2)把歸納假設(shè)f(k)＝g(k)代入；(3)作恒等變形，化為g(k＋1)．利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

用數(shù)學(xué)歸納法證明：【點評】n＝k時假設(shè)的內(nèi)容與n＝k＋1的目標(biāo)，究竟有多少異同，怎么消除差異，是數(shù)學(xué)歸納法的重要內(nèi)容．“配”“湊”是解決此類問題的有效手段．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)．證明：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當(dāng)n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．證明不等式往往比證明恒等式難度更大，方法也更靈活．高中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過作差比較法、作商比較法，另外也有涉及放縮法．一般而言，利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式，其中往往會用到放縮法．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式f(n)＞g(n)的第二步的基本格式為：假設(shè)n＝k時，f(k)＞g(k)成立，則n＝k＋1時，f(k＋1)＝f(k)＋ak＋1＞g(k)＋ak＋1＞g(k＋1)．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【點評】放縮法是解決此類問題的常用方法．應(yīng)用放縮法要注意：(1)找準(zhǔn)目標(biāo)；(2)嘗試多種放縮方式，一次性放縮成功幾乎是不可能的．用數(shù)學(xué)歸納法證明此類題目的關(guān)鍵是第二步，主要是利用歸納假設(shè)經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論所需要的形式，即向著結(jié)論“湊”．在整數(shù)整除中，主要尋求要證的式子與除數(shù)的關(guān)系，即將式子分解成除數(shù)與其他因數(shù)的乘積的形式；在多項式整除中，考慮如何變形，使結(jié)論能分解成除式與其他因式的乘積的形式，其中會用到“增減項”的技巧．利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

求證：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n為正整數(shù)．[思路點撥]證明本題的關(guān)鍵是當(dāng)n＝k＋1時拼湊出n＝k時的表達(dá)式ak＋1＋(a＋1)2k－1.證明：(1)當(dāng)n＝1時，a1＋1＋(a＋1)2－1＝a2＋a＋1，命題顯然成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時，命題成立，即ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a·[ak＋1＋(a＋1)2k－1]－a·(a＋1)2k－1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設(shè)知，上式中的兩項均能被a2＋a＋1整除，故當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立．由(1)和(2)，可知對一切正整數(shù)n命題都成立．【點評】利用增項、減項、拆項、因式分解等技巧，實現(xiàn)“湊項”的目的，從而建立n＝k的假設(shè)與n＝k＋1的證明目的之間的聯(lián)系，這是解決整除問題的常用方法．4．求證：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．證明：(1)當(dāng)n＝1時，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．(2)假設(shè)n＝k時，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除．則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由歸納假設(shè)知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除．∵3k－1－1是偶數(shù)，∴18(3k－1－1)能被36整除．∴f(k＋1)能被36整除．由(1)和(2)，可知對任何n∈N＋，f(n)能被36整除．【點評】若將本題改為：“已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，是否存在正整數(shù)m，使得對任意n∈N＋，都能使m整除f(n)？如果存在，求出最大的m值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．”則只要由f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360，可猜想能整除f(n)的最大整數(shù)是36，證明過程同本題． (1)平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成n2－n＋2個部分．證明：(1)①當(dāng)n＝1時，1個圓將平面分成2個部分，顯然命題成立．②假設(shè)當(dāng)n＝k時，k個圓將平面分成k2－k＋2個部分．當(dāng)n＝k＋1時，用數(shù)學(xué)歸納法解決幾何問題∵第