高考數(shù)學(xué)（理）高分計(jì)劃一輪狂刷練第7章立體幾何72a

[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2017·東北五校聯(lián)考)如左圖所示，在三棱錐D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正視圖、俯視圖如右圖所示，則其側(cè)視圖的面積為()A.eq\r(6) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)答案D解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征和正視圖、俯視圖，得該幾何體的側(cè)視圖是一個直角三角形，其中一直角邊為CD，其長度為2，另一直角邊為底面三角形ABC的邊AB上的中線，其長度為eq\r(2)，則其側(cè)視圖的面積為S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，故選D.2．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π答案A解析由三視圖可知該幾何體由長方體和圓柱的一半組成(如圖所示)，其中長方體的長、寬、高分別為4,2,2，圓柱的底面半徑為2，高為4.所以該幾何體的體積V＝4×2×2＋eq\f(1,2)π×22×4＝16＋8π.故選A.3．(2018·合肥質(zhì)檢)一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π答案A解析由三視圖知，該幾何體由一個正方體的eq\f(3,4)部分與一個圓柱的eq\f(1,4)部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.故選A.4．三棱錐P－ABC的四個頂點(diǎn)都在體積為eq\f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為()A．4 B．6C．8 D．10答案C解析依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(500π,3)，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為eq\r(R2－r2)＝3，因此三棱錐P－ABC的高的最大值為5＋3＝8.選C.5．(2017·廣東廣州一模)《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐P－ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱錐P－ABC的四個頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．8π B．12πC．20π D．24π答案C解析如圖，因?yàn)樗膫€面都是直角三角形，所以PC的中點(diǎn)到每一個頂點(diǎn)的距離都相等，即PC的中點(diǎn)為球心O，易得2R＝PC＝eq\r(20)，所以R＝eq\f(\r(20),2)，球O的表面積為4πR2＝20π.選C.6．(2016·山東高考)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2π,3) B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2)π,3)C.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2)π,6) D．1＋eq\f(\r(2)π,6)答案C解析由三視圖可知四棱錐為正四棱錐，底面正方形的邊長為1，四棱錐的高為1，球的直徑為正四棱錐底面正方形的外接圓的直徑，所以球的直徑2R＝eq\r(2)，則R＝eq\f(\r(2),2)，所以半球的體積為eq\f(2,3)πR3＝eq\f(\r(2)π,6)，又正四棱錐的體積為eq\f(1,3)×12×1＝eq\f(1,3)，所以該幾何體的體積為eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2)π,6).故選C.7．(2018·河南鄭州質(zhì)檢)某三棱錐的三視圖如圖所示，且三個三角形均為直角三角形，則xy的最大值為()A．32 B．32eq\r(7)C．64 D．64eq\r(7)答案C解析由三視圖知三棱錐如圖所示，底面ABC是直角三角形，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，BC＝2eq\r(7)，PA2＋y2＝102，(2eq\r(7))2＋PA2＝x2，因此xy＝xeq\r(102－[x2－2\r(7)2])＝xeq\r(128－x2)≤eq\f(x2＋128－x2,2)＝64，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝128－x2，即x＝8時取等號，因此xy的最大值是64.選C.8．(2018·福建質(zhì)檢)空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF⊥AB，EF⊥CD.若AB＝8，CD＝EF＝4，則該球的半徑等于()A.eq\f(65\r(2),16) B.eq\f(65\r(2),8)C.eq\f(\r(65),2) D.eq\r(65)答案C解析如圖，連接BF，AF，DE，CE，因?yàn)锳E＝BE，EF⊥AB，所以AF＝BF.同理可得EC＝ED.又空間四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)都在同一球面上，所以球心O必在EF上，連接OA，OC.設(shè)該球的半徑為R，OE＝x，則R2＝AE2＋OE2＝16＋x2①，R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x)2②，由①②解得R＝eq\f(\r(65),2).故選C.9．(2018·雁塔期末)在六條棱長分別為2,3,3,4,5,5的所有四面體中，最大的體積是()A.eq\f(8\r(2),3) B.eq\f(5\r(11),6)C.eq\f(\r(462),4) D．2eq\r(6)答案A解析由題意可知，由棱長2、3、3、4、5、5構(gòu)成的四面體有如下三種情況：左圖中，由于32＋42＝52，即圖中AD⊥平面BCD，∴V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(32－12)×4＝eq\f(8\r(2),3)；中間圖，由于此情況的底面與上相同，但AC不與底垂直，故高小于4，于是得V2＜V1；右圖中，高小于2，底面積eq\f(1,2)×5×eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2)＝eq\f(5\r(11),4).∴V3＜eq\f(1,3)×eq\f(5\r(11),4)×2＝eq\f(5\r(11),6)＜eq\f(8\r(2),3).∴最大體積為eq\f(8\r(2),3).故選A.10．(2017·衡水中學(xué)三調(diào))已知正方體ABCD－A′B′C′D′的外接球的體積為eq\f(\r(3)π,2)，將正方體割去部分后，剩余幾何體的三視圖如圖所示，則剩余幾何體的表面積為()A.eq\f(9,2)＋eq\f(\r(3),2) B．3＋eq\r(3)或eq\f(9,2)＋eq\f(\r(3),2)C．2＋eq\r(3) D.eq\f(9,2)＋eq\f(\r(3),2)或2＋eq\r(3)答案B解析設(shè)正方體的棱長為a，依題意得，eq\f(4π,3)×eq\f(3\r(3)a3,8)＝eq\f(\r(3)π,2)，解得a＝1.由三視圖可知，該幾何體的直觀圖有以下兩種可能，圖1對應(yīng)的幾何體的表面積為eq\f(9,2)＋eq\f(\r(3),2)，圖2對應(yīng)的幾何體的表面積為3＋eq\r(3).故選B.二、填空題11．(2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．答案eq\f(9π,2)解析設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).12．(2016·四川高考)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________．答案eq\f(\r(3),3)解析由題意及正視圖可知三棱錐的底面等腰三角形的底長為2eq\r(3)，三棱錐的高為1，則三棱錐的底面積為eq\f(1,2)×eq\r(22－\r(3)2)×2eq\r(3)＝eq\r(3)，∴該三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),3).13．(2017·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．答案eq\f(3,2)解析設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，圓柱O1O2的底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).14．(2018·太原模擬)已知三棱錐A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝eq\r(2)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影恰好為DE的中點(diǎn)，則該三棱錐外接球的表面積為________．答案eq\f(60π,11)解析如圖，作出三棱錐A－BCD的外接球，設(shè)球的半徑為r，球心O到底面BCD的距離為d，DE的中點(diǎn)為F，連接AF，過球心O作AF的垂線OH，垂足為H，連接OA，OD，OE，AE.因?yàn)锽D＝eq\r(2)，CD＝eq\r(2)，BC＝2，所以BD⊥CD，則OE⊥平面BCD，OE∥AF，所以HF＝OE＝d.所以在Rt△BCD中，DE＝1，EF＝eq\f(1,2).又AB＝AC＝BC＝2，所以AE＝eq\r(3)，所以在Rt△AFE中，AF＝eq\f(\r(11),2)，所以r2＝d2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(11),2)－d))2＋eq\f(1,4)，解得r2＝eq\f(15,11)，所以三棱錐A－BCD的外接球的表面積S＝4πr2＝eq\f(60π,11).三、解答題15．(2017·梅州一模)如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.(1)求此多面體的全面積；(2)求此多面體的體積．解(1)在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，∴由余弦定理可得BD＝eq\r(3)，則AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.由已知可得，AG∥EF，AE∥GF，∴四邊形AEFG為平行四邊形，GD＝AD＝1，∴EF＝AG＝eq\r(2).EB＝AB＝2，∴GF＝AE＝2eq\r(2).過G作GH∥DC交CF于H，得FH＝2，∴FC＝3.過G作GM∥DB交BE于M，得GM＝DB＝eq\r(3)，ME＝1，∴GE＝2.cos∠GAE＝eq\f(8＋2－4,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(3,4)，∴sin∠GAE＝eq\f(\r(7),4).S?AEFG＝2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(7),4)＝eq\r(7).該幾何體的全面積S＝eq\r(7)＋2×eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×1×1＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×(1＋3)×2＋eq\f(1,2)×(2＋3)×1＝eq\r(7)＋eq\r(3)＋9.(2)V多面體的體積＝VA－BEGD＋VG－BCD＋VG－BCFE＝eq\f(1,3)SBEGD·AD＋eq\f(1,3)S△BCD·DG＋eq\f(1,3)S四邊形BCFE·BD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)(DG＋BE)·BD·AD＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)BC·CD·sin60°·DG＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)(BE＋CF)·BC·BD＝eq\f(3\r(3),2).16．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位：m)．(1)試畫出它的直觀圖；(2)求它的表面積和體積．解(1)直觀圖如圖所示：(2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的eq\f(3,4)，在直角梯形AA1B1B中