專題17 最值問題中的將軍飲馬模型(解析版)

專題17最值問題中的將軍飲馬模型【模型展示】特點傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yìn)馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。實際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.結(jié)論AC+BC最短【模型證明】解決方案(1)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？連接AB,與直線l相交于一點C.AC+BC最短（兩點之間線段最短）(2)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．所作的AC+BC最短嗎？請說明理由？【證明】如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．【題型演練】一、單選題1．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（

）A．4 B．4.5 C．5.5 D．5【答案】D【分析】連接BE，交AC于點N'，連接DN'，N'即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱，連接BE，交AC于點N'，連接DN'，∴DN'=BN'，DN'+EN'=BN'+EN'BD，則BE的長即為DP+PE的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CE=CD-DE=4-1=3，在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2=25，∵BE＞0，∴BE=5，即DP+PE的最小值為5，故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵．2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的對稱性可知點B與D關(guān)于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關(guān)于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對稱點，由軸對稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關(guān)鍵．3．如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作PM⊥AD于M，作點D關(guān)于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．由PM垂直平分線段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．【詳解】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點D關(guān)于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．∵四邊形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，∵S△PAB=S△PCD，∴×4×x=××4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4，在Rt△ECD中，EC==4，∵PM垂直平分線段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，∴PD+PC的最小值為4．故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．4．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（

）A． B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，此時EM＋CM的值最小，求出BE即可．【詳解】解：連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴B點與C點關(guān)于AD對稱，∴BM＝CM，∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4，在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，∴FC＝2，EF＝2，在Rt△BEF中，BF＝4，∴BE＝2，故選：C．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短即可解決問題．【詳解】解：∵點A，B在直線l的同側(cè)，∴作B點關(guān)于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小故選：C．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側(cè)時，在直線上找一點到兩點距離最短的方法是解題的關(guān)鍵．6．如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，由菱形的性質(zhì)可知C和A關(guān)于BD對稱，AP=CP，由條件易證△ABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AM⊥BC，再根據(jù)勾股定理可求AM的值，即可求解．【詳解】解：連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A關(guān)于BD對稱，∴AP=PC，∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=2，∵M是BC的中點，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM=，∴PM+PC=AM=．故選B．【點睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是準確找到P的位置．7．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）A． B．2 C．2 D．3【答案】A【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝，∵點D為BC中點，∴BD＝CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為．故選：A．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．8．如圖，凸四邊形中，，若點M、N分別為邊上的動點，則的周長最小值為（

）A． B． C．6 D．3【答案】C【分析】由軸對稱知識作出對稱點，連接兩對稱點，由兩點之間線段最短證明最短，多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出的周長最小值為6．【詳解】解：作點關(guān)于、的對稱點分別為點和點，連接交和于點和點，，連接、；再和上分別取一動點和（不同于點和，連接，，和，如圖1所示：，，，，又，，，，時周長最?。贿B接，過點作于的延長線于點，如圖示2所示：在中，，，，，，，又，，，，，，又，，，，在△中，由勾股定理得：．，故選：C．【點睛】本題綜合考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點之間線段最短等相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱最短路線問題，難點是構(gòu)建直角三角形求兩點之間的長度．二、填空題9．在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標準”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標準矩形”，在“標準矩形”中，如圖所示，點在上，且，若為邊上一動點，當?shù)闹荛L最小時，則的值為______．【答案】【分析】先設(shè)出矩形的邊長，將AQ和CQ表示出來，再通過作對稱點確定△AGQ的周長最小時的G點位置后，利用平行線分線段成比例的基本事實的推論建立等式求解即可．【詳解】解：設(shè)DC=，DQ=AD=x，∴∵矩形ABCD，∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，∴，如圖，作Q點關(guān)于BC的對稱點E，連接AE交BC于點M，∴GQ＝GE，CQ=CE=∴AQ+QG+AG=，∴當A、G、E三點共線時，△AGQ的周長最小，此時G點應(yīng)位于圖中的M點處；∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，∴E點位于QC的延長線上，∴CE∥AB，∴，即，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實的推論等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是能正確找到滿足題意的G點位置，同時要牢記平行線分線段成比例的推論，即平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．10．如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．【答案】3【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進行等量轉(zhuǎn)化即可．【詳解】解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．由對稱性可知：，，為等邊三角形的周長===3故答案為：3【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．11．如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．【答案】【分析】當連接BE，交AD于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．【詳解】解：連接BE∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線，∴點C關(guān)于AD的對應(yīng)點為點B，∴BE就是EP+CP的最小值．∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，∴BE是△ABC的中線，∴CE＝AC＝2，∴即EP+CP的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．【答案】10【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，∴BN＝ND，∴DN＋MN＝BN＋MN，連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，由三角形兩邊和大于第三邊，知當點N運動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值為BM的長度，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝＝10，∴DN＋MN的最小值是10．故答案為：10．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．13．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．【答案】8【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM=BM，∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，∴當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，∵AB=AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，，∴，∴AD=6，∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．【答案】80【分析】作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．【詳解】如圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵點A關(guān)于BC、CD的對稱點為A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案為：80．【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對角線BD平移，點A′，B′分別對應(yīng)點A，B給出下列結(jié)論：①順次連接點A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；②點C到它關(guān)于直線AA′的對稱點的距離為50；③A′C﹣B′C的最大值為15；④A′C+B′C的最小值為9．其中正確結(jié)論的序號是______________【答案】③④【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，利用等面積法求出OC即可；③根據(jù)，當線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，即可判斷；④作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①由平移的性質(zhì)可知：，，由矩形的性質(zhì)可知：，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，當點B'與D重合時，四邊形不存在，故①錯誤；②如圖1所示，作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=15，∴，∵，∴，∴EC=4×12=48，故②錯誤；③由三角形三邊關(guān)系可知：，如圖2所示，當線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，，∴最大值為15，故③正確；④如圖2所示，由①可知，，∴，作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，由對稱的性質(zhì)可知：∠AJD=90°，由平行的性質(zhì)可知：∠BDJ=180°-∠AJD=90°，即：∠ADJ+∠ADB=90°，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABD=∠ADJ，∴△ABD∽△JDA，∴，即：，∴DJ=12，∴，又∵，∴，∴，∵∠E=∠BAD=90°，∴，∴，即：，∴，，∴，由勾股定理：，故④正確，故答案為：③④．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．【答案】【分析】根據(jù)題意，過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關(guān)于BC的對稱點K，連接OK，KH，則OM+ON=NH+ON=NH+NK≥HK，當H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對稱性，易知，在中，運用勾股定理求得HK的長即可．【詳解】解：過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關(guān)于BC的對稱點K，連接OK，KH，∵OH∥BC，OH=MN=2，∴四邊形OMNH是平行四邊形，∴OM=NH，∴OM+ON=NH+ON．∵O點關(guān)于BC的對稱點是點K，∴ON=NK，∴OM+ON=NH+ON=NH+NK，∵，∴當H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．∵OH∥BC，O點關(guān)于BC的對稱點是點K，∴．

∵O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，O點關(guān)于BC的對稱點是點K，∴OK=AB=8．∵OH=2，，∴，∴OM+ON的最小值是．【點睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長，其中熟練畫出OM+ON取最小值時所對應(yīng)的線段，是解題的關(guān)鍵．17．如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當PB＋PM的值最小時，PM的長是________．【答案】【分析】如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．當D、P、M共線時，值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，B、D關(guān)于AC對稱，∴PB+PM=PD+PM當D、P、M共線時，的值最小，∵CM=BC=2∵∠ABC=120°，∴∠DBC=∠ABD=60°∴△DBC是等邊三角形，∵BC=6，∴CM=2，HM=1，DH=，在Rt△DMH中，∵CM∥AD∴∴故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）4．【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．【詳解】證明：（1）在中，，，點是斜邊的中點，，是等邊三角形；（2）如圖，連接，和都是等邊三角形，，，，垂直平分，，同理可得：垂直平分，，，由兩點之間線段最短可知，當點共線時，取得最小值，故的最小值為4．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸的負半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，其中OA＝2，S△ABC＝12，點C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．(1)求直線AB的解析式；(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點E，與直線CB交于點D，過點E作y軸的垂線l2，若點P為y軸上一個動點，Q為直線l2上一個動點，求PD+PQ+DQ的最小值；(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N，使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝2x+4(2)(3)存在以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標為（0，﹣2）或（0，10）【分析】（1）設(shè)OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）將直線AB向下平移6個單位，則直線l1解析式為y＝2x?2，可得E（0，?2），垂線l2的解析式為y＝?2，由B（0，4），C（4，0），得直線BC解析式為y＝?x＋4，從而可求得D（2，2），作D關(guān)于y軸的對稱點D，作D關(guān)于直線y＝?2對稱點D，連接DD交y軸于P，交直線y＝?2于Q，此時PD＋PQ＋DQ的最小，根據(jù)D（?2，2），D（2，?6），得直線DD解析式為y＝?2x?2，從而P（0，?2），Q（0，?2），故此時PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值為4．（3）設(shè)P（p，2p＋4），N（0，q），而A（?2，0），D（2，2），①以AD、MN為對角線，此時AD中點即為MN中點，根據(jù)中點公式得N（0，?2）；②以AM、DN為對角線，同理可得N（0，10）；③以AN、DM為對角線，同理可得N（0，?2）．（1）解：（1）設(shè)OB＝OC＝m，∵OA＝2，∴AC＝m+2，A（﹣2，0），∵S△ABC＝12，∴AC?OB＝12，即m?（m+2）＝12，解得m＝4或m＝﹣6（舍去），∴OB＝OC＝4，∴B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB解析式為y＝2x+4；（2）將直線ABy＝2x+4向下平移6個單位，則直線l1解析式為y＝2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，∴E（0，﹣2），垂線l2的解析式為y＝﹣2，∵B（0，4），C（4，0），設(shè)直線BC解析式為y＝px+q，∴，解得，∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，由得：，∴D（2，2），作D關(guān)于y軸的對稱點D'，作D關(guān)于直線y＝﹣2對稱點D''，連接D'D''交y軸于P，交直線y＝﹣2于Q，此時PD+PQ+DQ的最小，如圖：∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），設(shè)直線D'D''解析式為y＝sx+t，則，解得，∴直線D'D'解析式為y＝﹣2x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），∴此時PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，∴PD+PQ+DQ的最小值為4．（3）存在，理由如下：設(shè)P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），①以AD、MN為對角線，如圖：此時AD中點即為MN中點，∴，解得，∴N（0，﹣2）；②以AM、DN為對角線，如圖：同理可得：，解得，∴N（0，10）；③以AN、DM為對角線，如圖：同理可得，解得，∴N（0，﹣2），綜上所述，以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標為（0，﹣2）或（0，10）．【點睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點坐標特征、線段和的最小值、平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對角線互相平分，列方程組解決問題．20．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當點P運動到什么位置時，PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當取最小值時，求∠QAC的正弦值．【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)當點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；(3)∠QAC的正弦值為【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當點與重合時，,此時最小，設(shè)，則根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進而即可求得的長，即最小值；（3）過點作于點，過點作于點，連接，設(shè)與交于點，根據(jù)已知條件求得，進而轉(zhuǎn)化為，則當點落在上時，點與點重合，此時的值最小，最小值為，進而根據(jù)求解即可．（1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=36°∵DE垂直平分AB∴AD=BD∴∠B=∠BAD=36°∴∠C=∠BAD又∵∠B=∠B∴△DBA∽△ABC∴直線AD是△ABC的自相似分割線．（2）如圖，連接，，垂直平分AB，當點與重合時，,此時最小，，設(shè)，則解得：PA+PC=當點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；（3）如圖，過點作于點，過點作于點，連接，設(shè)與交于點，，由（2）知，平分點落在上時，點與點重合，即此時的值最小，最小值為∠QAC的正弦值為【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．21．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．【答案】(1)見解析(2)4(3)4【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解．(1)解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=8，∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，∴BQ=CQ=4，CE=2，∴AB=CQ，∵PQ=2，∴BP=2，∴BP=CE，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABP≌△QCE（SAS），∴AP=QE；(2)如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴∠CEQ=45°，設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，∴CQ=EC，∴6-x=2，解得x=4，∴BP=4；(3)如圖③，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，∴PF=8，PH=8，∴PF=PH，又∵∠FPH=90°，∴∠F=∠H=45°，∵PF⊥AD，CD⊥QH，∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，∴FT=TM=4，CN=CH=3，∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關(guān)鍵．22．在中，，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．（1）如圖1，當時，則_______°；（2）當時，①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足．P為直線CF上一動點．當?shù)闹底畲髸r，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為_______，并證明．【答案】（1）80；（2）是等邊三角形；（3）．【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得，，利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得，由此求解即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出即可證明是等邊三角形；（3）根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當?shù)闹底畲髸r的P點位置，再證明對稱點與AD兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明，從而可知，再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵點E為線段AC，CD的垂直平分線的