福建省泉州市南安國光第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

福建省泉州市南安國光第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若曲線y=與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，則實數(shù)a=（）A．﹣2 B． C．1 D．2參考答案：C【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)然后求出公共點的斜率，利用向量相等，有公共點解方程即可求出a的值．【解答】解：曲線y=的導(dǎo)數(shù)為：y′=，在P（s，t）處的斜率為：k=．曲線y=alnx的導(dǎo)數(shù)為：y′=，在P（s，t）處的斜率為：k=．曲線y=與曲線y=alnx在它們的公共點P（s，t）處具有公共切線，可得，并且t=，t=alns，即，解得lns=，解得s2=e．可得a=1．故選：C．2.函數(shù)在處連續(xù)，則a的值為（

）.

A.5

B.3

C.2

D.1參考答案：答案：A3.如圖的程序框圖的算法思路源于我國古代著名的“孫子剩余定理”，圖中的表示正整數(shù)N除以正整數(shù)m后的余數(shù)為n，例如.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的i等于（

）A．23

B．38

C．44

D．58參考答案：A本題框圖計算過程要求找出一個數(shù)除以3余數(shù)為2；除以5余數(shù)為3；除以7余數(shù)為2，那么這個數(shù)首先是23，故選A.

4.已知，，若，則實數(shù)的值為(

)A.－2

B.

C.

D.2參考答案：D5.已知集合，，則（

）A．(1,2]

B．(0,1]

C．[－1,1]

D．(0,2]參考答案：B6.在邊長為6的正中，點滿足則等于____________.

參考答案：24略7.設(shè)圓錐曲線的兩個焦點分別為、，若曲線上存在點滿足：：=4：3：2，則曲線的離心率等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.已知f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2π，3π），則ω的取值范圍是（）A．[，]∪[，] B．（，]∪[，]C．[，]∪[，] D．（，]∪[，]參考答案：C【考點】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由題意可得，=≥3π﹣2π=π，求得＜ω≤1，故排除A、D．檢驗當(dāng)ω=時，f（x）=sin（x﹣）滿足條件，故排除B，從而得出結(jié)論．【解答】解：f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）（ω＞，x∈R），若f（x）的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2π，3π），則=≥3π﹣2π=π，ω≤1，即＜ω≤1，故排除A、D．當(dāng)ω=時，f（x）=sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，可得函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸為

x=kπ+，k∈Z．當(dāng)k=1時，對稱軸為x=＜2π，當(dāng)k=2時，對稱軸為x==3π，滿足條件：任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2π，3π），故排除B，故選：C．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性和周期性，屬于中檔題．9.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱為（）A.4 B. C. D.2參考答案：B【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)計算出各棱的長度，進(jìn)而可得最長棱．【詳解】由三視圖可得，該幾何體是如圖所示的四棱錐，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是邊長為2的正三角形，且側(cè)面底面．根據(jù)圖形可得四棱錐中的最長棱為和，結(jié)合所給數(shù)據(jù)可得，所以該四棱錐的最長棱為．故選B．【點睛】在由三視圖還原空間幾何體時，要結(jié)合三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖表示的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線、不可見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以主視圖和俯視圖為主，結(jié)合左視圖進(jìn)行綜合考慮．熱悉常見幾何體的三視圖，能由三視圖得到幾何體的直觀圖是解題關(guān)鍵．考查空間想象能力和計算能力．10.閱讀如圖所示的框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為(

) A．﹣1008 B．﹣1007 C．1007 D．1008參考答案：B考點：循環(huán)結(jié)構(gòu)．專題：圖表型；算法和程序框圖．分析：程序運行的功能是求S=1﹣2+3﹣…（﹣1）n﹣1?n，根據(jù)當(dāng)n=2015時，程序運行終止，得S=1﹣2+3+…﹣2014．解答： 解：由程序框圖知：程序運行的功能是求S=1﹣2+3﹣…+（﹣1）n﹣1?n，∵當(dāng)n=2015時，不滿足條件k＜2015，程序運行終止，∴S=1﹣2+3﹣…﹣2014=﹣1007．故答案為：﹣1007．點評：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，判斷程序運行的功能是解答此類問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某商店經(jīng)營一批進(jìn)價為每件4元的商品，在市場調(diào)查時得到，此商品的銷售單價x與日銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)滿足：，，，

，則當(dāng)銷售單價x定為（取整數(shù)）

元時，日利潤最大．參考答案：712.方程的實數(shù)解的個數(shù)為

參考答案：213.己知函數(shù)，為的等差數(shù)列，則_____________.參考答案：100略14.若存在b∈[1，2]，使得2b（b+a）≥4，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[﹣1，+∞）【考點】指數(shù)函數(shù)的定義、解析式、定義域和值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由b∈[1，2]，知2b∈[2，4]，，由2b（b+a）≥4，能求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：∵b∈[1，2]，∴2b∈[2，4]，∴，∵2b（b+a）≥4，∴a≥≥﹣1．∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，+∞）．故答案為：[﹣1，+∞）．【點評】本題考查實數(shù)a的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意指數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，其中，，

則

▲

.參考答案：16.若二項式的展開式中的第5項是常數(shù)項，

則n=___________．參考答案：617.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊的中點，沿AE將△ADE折起，使二面角D﹣AE﹣B為60°，則直線AD與面ABCE所成角的正弦值為．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為，橢圓C截直線y=1所得線段的長度為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）動直線l:y=kx+m(m≠0)交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M.點N是M關(guān)于O的對稱點，⊙N的半徑為|NO|.設(shè)D為AB的中點，DE，DF與⊙N分別相切于點E，F(xiàn)，求EDF的最小值.參考答案：解：（Ⅰ）由橢圓的離心率為，得，又當(dāng)y=1時，，得，所以，.因此橢圓方程為.(II)設(shè),.聯(lián)立方程得，（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立方程得，由

得

（*）且，因此，所以，又，所以整理得：，因為所以令故所以令

當(dāng)從而在上單調(diào)遞增，因此等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，此時所以

由（*）得且，故，設(shè)，則，所以得最小值為.從而的最小值為，此時直線的斜率時.綜上所述：當(dāng)，時，取得最小值為. 19.（2015?鷹潭一模）選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xoy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，曲線C2的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣與曲線C1交于（不包括極點O）三點A、B、C．（I）求證：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）當(dāng)φ=時，B，C兩點在曲線C2上，求m與α的值．參考答案：考點： 簡單曲線的極坐標(biāo)方程；圓的參數(shù)方程．

專題： 直線與圓．分析： （Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為4cosφ，=|OA|，命題得證．（Ⅱ）當(dāng)φ=時，B，C兩點的極坐標(biāo)分別為（2，），（2，﹣）．再把它們化為直角坐標(biāo)，根據(jù)C2是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=﹣（x﹣2），由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．解答： 解：（Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+），|OC|=4cos（φ﹣），…（2分）則|OB|+|OC|=4cos（φ+）+4cos（φ﹣）=2（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4cosφ，=|OA|．…（5分）（Ⅱ）當(dāng)φ=時，B，C兩點的極坐標(biāo)分別為（2，），（2，﹣）．化為直角坐標(biāo)為B（1，），C（3，﹣）．…（7分）C2是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點B，C的直線方程為y=﹣（x﹣2），故直線的斜率為﹣，…（9分）所以m=2，α=．…（10分）點評： 本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，把點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，直線的傾斜角和斜率，屬于基礎(chǔ)題．20.為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校高一、高二兩個年級共336名學(xué)生同時參與了“我運動，我健康，我快樂”的跳繩、踢毽等系列體育健身活動.為了了解學(xué)生的運動狀況，采用分層抽樣的方法從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測試.下表是高二年級的5名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)（單位：個/分鐘）：學(xué)生編號12345跳繩個數(shù)179181168177183踢毽個數(shù)8578797280（1）求高一、高二兩個年級各有多少人？（2）設(shè)某學(xué)生跳繩m個/分鐘，踢毽n個/分鐘.當(dāng)，且時，稱該學(xué)生為“運動達(dá)人”.①從高二年級的學(xué)生中任選一人，試估計該學(xué)生為“運動達(dá)人”的概率；②從高二年級抽出的上述5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3名學(xué)生中為“運動達(dá)人”的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）196人，140人；（2）①；②分布列見解析，【分析】(1)按照比例求解即可；(2)①根據(jù)題意找出高二學(xué)生中的“運動達(dá)人”的個數(shù)，根據(jù)概率公式即可求解；②找出可能的取值，算出相應(yīng)的概率，列出分布列，即可得到的期望.【詳解】（1）設(shè)高一年級有人，高二年級有人.采用分層抽樣，有.所以高一年級有人，高二年級有人.（2）從上表可知，從高二抽取的5名學(xué)生中，編號為1，2，5的學(xué)生是“運動達(dá)人”.故從高二年級的學(xué)生中任選一人，該學(xué)生為“運動達(dá)人”的概率估計為.（3）的所有可能取值為.,,.所以分布列為

故的期望.【點睛】本題主要考查了分層抽樣各層個數(shù)的求法以及求離散型隨機(jī)變量的均值，屬于中檔題.21.（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，側(cè)面是正方形，，是棱的延長線上一點，經(jīng)過點、、的平面交棱于點，．

（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．參考答案：（1）證明見解析；（2）.試題解析：（1）設(shè)四棱柱的棱長為∵，∽，∴

1分由，，得，

2分∵，∴，

3分是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面

4分∵平面，∴平面平面

5分（2）（方法一）過作于，于，連接

6分由平面平面，平面平面，平面

7分∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角

9分在中，，，，，在中，，，，（、

，

12分（方法二）以為原點，、所在直線為軸、軸，平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系

6分，則，