高中物理新教材同步必修第三冊 第10章 3　電勢差與電場強度的關系同步講義

3電勢差與電場強度的關系[學習目標]1．知道電勢差與電場強度的關系式，了解其適用條件.2.會用關系式U＝Ed處理勻強電場問題.3.知道電場強度的另一種求法，理解電場強度的另一個單位“伏(特)每米”的意義．一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系1．在勻強電場中，兩點間的電勢差等于電場強度與這兩點沿電場方向的距離的乘積．2．公式：UAB＝Ed.二、公式E＝eq\f(UAB,d)的意義1．意義：在勻強電場中，電場強度的大小等于兩點間的電勢差與這兩點沿電場強度方向距離之比．2．電場強度的另一種表述：電場強度在數值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢．3．電場強度的另一個單位：由E＝eq\f(UAB,d)可導出電場強度的另一個單位，即伏每米，符號為V/m.1V/m＝1N/C.1．判斷下列說法的正誤．(1)公式U＝Ed適用于所有電場．(×)(2)由U＝Ed可知，勻強電場中兩點間的電勢差與這兩點的距離成正比．(×)(3)勻強電場的場強大小等于沿電場線方向每單位長度上的電勢差大?。?√)(4)在勻強電場中，任意兩點間的電勢差等于場強與這兩點間距離的乘積．(×)(5)電場強度越大的地方，等差等勢面間的距離越小．(√)2.如圖1所示，場強為E＝1.0×102V/m的勻強電場中，有相距d＝2.0×10－2m的A、B兩點，A、B連線與電場方向的夾角為60°，則A、B兩點間的電勢差為________V.圖1答案1.0解析U＝Edcos60°＝1.0×102×2.0×10－2×eq\f(1,2)V＝1.0V.一、勻強電場中電勢差與電場強度的關系導學探究如圖2所示的一個勻強電場，場強大小為E，A、B是沿電場方向上的兩點，其電勢差為UAB，A、B之間的距離為d.現將一個電荷量為q的電荷由A移到B.圖2(1)從力和位移的角度計算靜電力所做的功；通過A、B間的電勢差計算靜電力做的功．(2)比較兩次計算的功的大小，說明電勢差與電場強度有何關系．(3)B、C在同一等勢面上，UAC與電場強度有何關系？答案(1)WAB＝Fd＝qEdWAB＝qUAB(2)兩次做功大小相等UAB＝Ed(3)UAC＝Ed知識深化1．公式E＝eq\f(UAB,d)及UAB＝Ed的適用條件都是勻強電場．2．由E＝eq\f(U,d)可知，電場強度在數值上等于沿電場方向單位距離上降低的電勢．式中d不是兩點間的距離，而是兩點所在的等勢面間的距離，只有當此兩點在勻強電場中的同一條電場線上時，才是兩點間的距離．3．電場中電場強度的方向就是電勢降低最快的方向．如圖3所示，在xOy平面內有一個以O為圓心、半徑R＝0.1m的圓，P為圓周上的一點，O、P兩點連線與x軸正方向的夾角為θ.若空間存在沿y軸負方向的勻強電場，場強大小E＝100V/m，則O、P兩點的電勢差可表示為()圖3A．UOP＝－10sinθ(V)B．UOP＝10sinθ(V)C．UOP＝－10cosθ(V)D．UOP＝10cosθ(V)答案A解析由題圖可知勻強電場的方向是沿y軸負方向的，沿著電場線的方向電勢降低，所以P點的電勢高于O點的電勢，O、P兩點的電勢差UOP為負值，根據電勢差與場強的關系可得UOP＝－Ed＝－E·Rsinθ＝－10sinθ(V)，所以A正確．如圖4所示，P、Q兩金屬板間的電勢差為50V，板間存在勻強電場，方向水平向左，板間的距離d＝10cm，其中Q板接地，兩板間的A點距P板4cm.求：圖4(1)P板及A點的電勢．(2)保持兩板間的電勢差不變，而將Q板向左平移5cm，則A點的電勢將變?yōu)槎嗌伲看鸢?1)－50V－30V(2)－10V解析板間場強方向水平向左，可知Q板電勢最高．Q板接地，則電勢φQ＝0，板間各點電勢均為負值．(1)場強E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V·m－1＝5×102V·m－1Q、A間電勢差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V所以A點電勢φA＝－30V，同理可求得P板電勢φP＝UPQ＝－50V(2)當Q板向左平移5cm時，兩板間距離d″＝(10－5)cm＝5cmQ板與A點間距離變?yōu)閐＝(10－4)cm－5cm＝1cm電場強度E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V·m－1＝1.0×103V·m－1Q、A間電勢差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V所以A點電勢φA＝－10V.1．電勢差的三種求解方法(1)應用定義式UAB＝φA－φB來求解．(2)應用關系式UAB＝eq\f(WAB,q)來求解．(3)應用關系式UAB＝Ed(勻強電場)來求解．2．在應用關系式UAB＝Ed時可簡化為U＝Ed，即只把電勢差大小、場強大小通過公式聯系起來，電勢差的正負、電場強度的方向可根據題意另作判斷．二、利用E＝eq\f(U,d)定性分析非勻強電場UAB＝Ed只適用于勻強電場的定量計算，在非勻強電場中，不能進行定量計算，但可以定性地分析有關問題．(1)在非勻強電場中，公式U＝Ed中的E可理解為距離為d的兩點間的平均電場強度．(2)當電勢差U一定時，場強E越大，則沿場強方向的距離d越小，即場強越大，等差等勢面越密．(3)距離相等的兩點間的電勢差：E越大，U越大；E越小，U越?。鐖D5所示，實線為電場線，虛線為等勢面，φa＝50V，φc＝20V，則a、c連線中點b的電勢φb為()圖5A．等于35V B．大于35VC．小于35V D．等于15V答案C解析從電場線疏密可以看出ab段場強大于bc段場強，由U＝Ed可以判斷Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜eq\f(φa＋φc,2)＝35V，故C正確．三、用等分法確定等勢線和電場線1．在勻強電場中電勢差與電場強度的關系式為U＝Ed，其中d為兩點沿電場方向的距離．由公式U＝Ed可以得到下面兩個結論：結論1：勻強電場中的任一線段AB的中點C的電勢φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如圖6甲所示．圖6結論2：勻強電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如圖乙所示．2．確定電場方向的方法先由等分法確定電勢相等的點，畫出等勢線，然后根據電場線與等勢面垂直畫出電場線，且電場線的方向由電勢高的等勢面指向電勢低的等勢面．如圖7所示，A、B、C、D是勻強電場中的矩形的四個頂點，電場線與矩形所在平面平行，A、B、C三點電勢分別為φA＝8V，φB＝2V，φC＝3V，則D點的電勢為()圖7A．7VB．6VC．10VD．9V答案D解析因為UAB＝UDC，即8V－2V＝φD－3V，故φD＝9V，選項D正確．(2018·云南元江一中高二期中)如圖8所示，A、B、C、D是勻強電場中的四個點，D是BC的中點，A、B、C構成一個直角三角形，AB長為1m，電場線與三角形所在的平面平行，已知φA＝5V、φB＝－5V、φC＝15V，由此可以判斷()圖8A．場強的方向由C指向BB．場強的方向垂直AD連線斜向上C．場強的大小為10V/mD．場強的大小為eq\f(20,3)eq\r(3)V/m答案D解析勻強電場中，φB＝－5V，φC＝15V，則B、C連線的中點D的電勢為φD＝eq\f(φB＋φC,2)＝eq\f(－5＋15,2)V＝5V，故φD＝φA，AD為一條等勢線，根據電場線與等勢線垂直，沿著電場線方向電勢降低，可知場強的方向垂直于AD連線斜向下，A、B錯；場強的大小E＝eq\f(UAB,lABcos30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),2))V/m＝eq\f(20,3)eq\r(3)V/m，C錯，D對.1．(公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解)對公式E＝eq\f(UAB,d)和UAB＝Ed的理解，下列說法正確的是()A．公式UAB＝Ed適用于計算任何電場中A、B兩點間的電勢差B．由UAB＝Ed知，A點和B點間距離越大，則這兩點的電勢差越大C．由E＝eq\f(UAB,d)知，勻強電場中A、B兩點沿電場線方向的距離越大，則電場強度越小D．公式中的d是勻強電場中A、B所在的兩等勢面之間的距離答案D2.(應用UAB＝Ed定性分析非勻強電場)(2018·天津實驗中學段考)如圖9所示的同心圓是電場中的一簇等差等勢線，一個電子只在電場力作用下沿著直線由A→C運動時的速度越來越小，B為線段AC的中點，則下列說法正確的是()圖9A．電子沿AC方向運動時受到的電場力越來越小B．電子沿AC方向運動時具有的電勢能越來越大C．電勢差UAB＝UBCD．電勢φA<φB<φC答案B解析由等勢線分布和電子速度變化可知該電場類似于負點電荷的電場，電勢φA>φB>φC，電子沿AC方向運動時受到的電場力越來越大，選項A、D錯誤；根據電子只在電場力作用下沿著直線由A→C運動時的速度越來越小，可知電子具有的電勢能越來越大，選項B正確；根據U＝Ed，由于電場為非勻強電場，平均電場強度EAB<EBC，可知電勢差UAB<UBC，選項C錯誤．3．(等分法確定電場強度)(多選)如圖10所示，A、B、C是勻強電場中平行于電場線的某一平面上的三個點，各點的電勢分別為φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G為AC的中點，在下列各示意圖中，能正確表示該電場強度方向的是()圖10答案BC解析根據勻強電場的特點可知，H、F的電勢分別為φH＝4V，φF＝3V，G的電勢φG＝eq\f(5V＋3V,2)＝4V，則φH＝φG，則電場線垂直于GH，又φC＝φF＝3V，可知電場線也與CF垂直，故選B、C.4．(公式UAB＝Ed的應用)平行的帶電金屬板A、B間是勻強電場，如圖11所示，兩板間距離是5cm，兩板間的電壓是60V.圖11(1)兩板間的場強大小是________；(2)電場中有P1和P2兩點，P1點離A板0.5cm，P2點離B板也是0.5cm，P1和P2兩點間的電勢差U12＝________.答案(1)1.2×103V/m(2)48V解析(1)兩板間是勻強電場，由UAB＝Ed可得兩板間的場強大小E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(60V,5×10－2m)＝1.2×103V/m.(2)P1、P2兩點沿場強方向的距離：d′＝4cm.所以U12＝Ed′＝1.2×103×4×10－2V＝48V.考點一公式U＝Ed及E＝eq\f(U,d)的理解1．(2019·咸陽市百靈中學高二上月考)對公式E＝eq\f(U,d)的理解，下列說法正確的是()A．此公式適用于計算勻強電場中A、B兩點間的電勢差B．A點和B點間距離越大，則這兩點的電勢差越大C．公式中的d是指A點和B點之間的距離D．若eq\x\to(AB)＝eq\x\to(AC)，則一定有UAB＝UAC答案A2．(2018·豐城二中月考)關于勻強電場中的電勢差與電場強度的關系的說法正確的是()A．任意兩點間的電勢差等于場強和這兩點間的距離的乘積B．電勢降低的方向必定是場強方向C．沿電場線方向任意相同距離的兩點間的電勢差必相等D．不沿電場線方向任意相同距離的兩點間的電勢差不可能相等答案C解析勻強電場中兩點間的電勢差等于場強跟兩點沿場強方向上的距離的乘積，沿場強方向電勢降落最快，不沿電場線方向的平行直線上相等距離的兩點間的電勢差也是相等的，所以C正確，A、B、D錯誤．考點二公式U＝Ed及E＝eq\f(U,d)的簡單應用3．如圖1所示是勻強電場中的一組等勢面，每兩個相鄰等勢面間的距離都是25cm，由此可確定此電場的電場強度的方向及大小為()圖1A．豎直向下，E＝0.4V/mB．水平向右，E＝0.4V/mC．水平向左，E＝40V/mD．水平向右，E＝40V/m答案D解析電場線與等勢面垂直且沿電場線方向電勢降低，故場強方向水平向右，場強大小E＝eq\f(U,d)＝eq\f(10,0.25)V/m＝40V/m，故D項正確．4.如圖2所示，沿x軸正方向場強為E的勻強電場中，有一動點從A點開始以O為圓心，r＝OA為半徑逆時針轉動一周，O與圓周上的A點的連線OA與x軸正方向(E方向)成θ角(θ<eq\f(π,2))，則此圓周上各點與A點間最大的電勢差為()圖2A．U＝Er B．U＝Er(sinθ＋1)C．U＝Er(cosθ＋1) D．U＝2Er答案C解析由U＝Ed知，與A點間電勢差最大的點應是沿場強方向與A點相距最遠的點，dmax＝r＋rcosθ，所以Umax＝Er(cosθ＋1)，C項正確．5.(多選)如圖3所示，一電場的電場線分布關于y軸(沿豎直方向)對稱，O、M、N是y軸上的三個點，且OM＝MN.P點在y軸右側，MP⊥ON.則下列說法正確的是()圖3A．M點的電勢比P點的電勢高B．將負點電荷由O點移動到P點，電場力做正功C．M、N兩點間的電勢差大于O、M兩點間的電勢差D．M、N兩點間的電勢差小于O、M兩點間的電勢差答案AD解析根據電場線和等勢面的關系，可以判斷出M點的電勢比P點的電勢高，A正確．將負點電荷由O點移到P點，電場力做負功，B錯誤．根據U＝Ed進行定性分析可知UMN＜UOM，C錯誤，D正確．6．(多選)如圖4所示，A、B兩板間電勢差UAB＝600V，A板接地，A、B兩板間距離為12cm，C點離A板4cm，下列說法正確的是()圖4A．E＝2000V/m，φC＝200VB．E＝5000V/m，φC＝－200VC．電子在C點具有的電勢能為－200eVD．電子在C點具有的電勢能為200eV答案BD解析A板接地，則其電勢為零，因為A、B兩板間的電勢差UAB＝600V，則B板電勢為－600V，由此知C點電勢為負值，A、B兩板間場強E＝eq\f(U,d)＝eq\f(600V,12cm)＝50V/cm＝5000V/m，則φC＝－EdAC＝－50V/cm×4cm＝－200V，A錯誤，B正確；電子在C點具有的電勢能為200eV，C錯誤，D正確．7.如圖5所示的勻強電場場強為103N/C，ab、cd平行于電場線，ac、bd垂直于電場線，ab＝cd＝4cm，ac＝bd＝3cm.則()圖5A．a、b之間的電勢差為40VB．a、c之間的電勢差為50VC．將q＝－5×10－3C的點電荷沿矩形路徑abdca移動一周，電場力做的功是－0.25JD．將q＝－5×10－3C的點電荷沿abd從a移到d，電場力做的功是0.25J答案A解析由U＝Ed得Uab＝103×0.04V＝40V，A正確；a、c在同一等勢面上，所以Uac＝0，B錯誤；將電荷沿abdca移動一周，位移為0，故電場力做功為0，C錯誤；Wad＝Wab＝qUab＝－5×10－3×40J＝－0.2J，D錯誤．8.如圖6所示，在電場強度E＝2×103V/m的勻強電場中有三點A、M和B，AM＝4cm，MB＝3cm，AB＝5cm，且AM邊平行于電場線，把一電荷量q＝2×10－9C的正電荷從B點移動到M點，再從M點移動到A點，電場力做功為()圖6A．1.6×10－7JB．1.2×10－7JC．－1.6×10－7JD．－1.2×10－7J答案C解析B、M在同一等勢面上，正電荷由B到M電場力不做功．由M到A電場力做功為WMA＝－WAM＝－qUAM＝－q·Ed＝－2×10－9×2×103×4×10－2J＝－1.6×10－7J，即電場力做功為－1.6×10－7J.9.如圖7所示，A、B、C、D是勻強電場中以坐標原點為圓心、半徑為1cm的圓與兩坐標軸的交點，已知A、B、C三點的電勢分別為φA＝12V、φB＝2V、φC＝－2V．由此可得D點的電勢為()圖7A．4V B．8VC．6V D．9V答案B解析在勻強電場中，電勢沿某方向均勻變化，即UDC＝UAB，則φD＝8V，選項B正確．10.勻強電場中的三點A、B、C是一個三角形的三個頂點，AB的長度為1m，D為AB的中點，如圖8所示，已知電場線的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三點的電勢分別為14V、6V和2V．設電場強度大小為E，一電荷量為1×10－6C的正電荷從D點移到C點電場力所做的功為W，則()圖8A．W＝8×10－6J，E＞8V/mB．W＝6×10－6J，E＞6V/mC．W＝8×10－6J，E≤8V/mD．W＝6×10－6J，E≤6V/m答案A解析因電場是勻強電場，D是AB的中點，故D的電勢φD＝eq\f(φA＋φB,2)＝10V，所以W＝q(φD－φC)＝8×10－6J；設E的方向與eq\x\to(AB)的夾角為α，則α≠0，否則等勢面與AB垂直，C點電勢就會高于B點電勢，由E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(φA－φB,\x\to(AB)·cosα)＝eq\f(8,cosα)，因0<α<eq\f(π,2)，則cosα＜1，E＞8V/m，故A正確．11.如圖9所示，在平面直角坐標系中，有一個方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為0，點A處的電勢為6V，點B處的電勢為3V，則電場強度的大小為()圖9A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m答案A解析在勻強電場中，沿某一方向電勢均勻降落或升高，故OA的中點C的電勢φC＝3V(如圖所示)，因此B、C在同一等勢面上．O點到BC的距離d＝eq\x\to(OC)sinα，而sinα＝eq\f(\x\to(OB),\r(\x\to(OB)2＋\x\to(OC)2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)eq\x\to(OC)＝1.5×10－2m．根據E＝eq\f(U,d)得，勻強電場的電場強度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故選項A正確．12.(2018·南京市高一期末)如圖10所示，在豎直平面內存在勻強電場，其電場線如圖中實線所示，方向未知，將帶電荷量為q＝－1.0×10－6C的點電荷由A點沿水平線移至B點，其電勢能增加了3×10－5J，已知A、B兩點間的距離為2cm，兩點連線與電場線成60°角．圖10(1)求A、B兩點間的電勢差UAB；(2)若A點的電勢φA＝－1V，求B點的電勢φB；(3)求電場強度E的大小，并判斷其方向．答案(1)30V(2)－31V(3)3000V/m沿電場線指向左下方解析(1)由題意知，靜電力做負功為WAB＝－3×10－5J由UAB＝eq\f(WAB,q)得：UAB＝30V(2)UAB＝φA－φB故φB＝φA－UAB＝(－1－30)V＝－31V(3)A、B兩點間沿電場線方向的距離為：d＝2×10－2×cos60°m＝1×10－2m.則E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(30,0.01