【高考理數(shù)】導數(shù)的簡單應用與定積分（解析版）

2020年高考數(shù)學(理)總復習：導數(shù)的簡單應用與定積分

題型一導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的運算

【題型要點解析】

(1)曲線y=/W在點x=網(wǎng)處導數(shù)外府)的幾何意義是曲線y=/W在點F\x0,小動處的

切線的斜率,即k=，(對,由此當,(府)存在時，曲線片蟲)在點F\XQ,/(置))處的切線方程

為y-=fW}[x-為.

(2)過。點的切線方程的切點坐標的求解步驟：①設出切點坐標；②表示出切線方程；

③已知點。在切線上，代入求得切點坐標的橫坐標，從而求得切點坐標.

⑶①分式函數(shù)的求導，要先觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可化為整式函數(shù)或較為簡單的分式

函數(shù)；②對數(shù)函數(shù)的求導，可先化為和、差的形式；③三角函數(shù)的求導，先利用三角函數(shù)的

公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式；④復合函數(shù)的求導過程就是對復合函數(shù)由外層逐層向里求導.所

謂最里層是指此函數(shù)已經(jīng)可以直接引用基本初等函數(shù)導數(shù)公式進行求導.

1

例1.函數(shù)4M=[Inx+g-6x+a(b>0,awR)的圖象在點(6,46))處的切線的傾斜

角為a,則傾斜角a的取值范圍是()

陪母

唁")

1111

【解析】】依題意得/w=-一+2x-6"(6)=&+生2當且

11

僅當北S。，即結(jié)時取等號,因此有tana>l,gp-<a<-,即傾斜角a的取值范圍

1

是］,卻，選B.

［42；

【答案】B

例2.若實數(shù)a,b,c,d滿足(b+*-3lna)2+(c--+2)2=0,則(a-c)2+(b-喬

的最小值為()

A.#B.2

C.2#D.8

【解析】因為實數(shù)a,b,c,d滿足(b+#-31na)2+(c-d+2)2=0,所以6+存

-3lna=0,設/?=_/,a=x,貝!］有y-3lnx-x2,由c-d+2=0,設d=y,c=x,則有

y=x+2,所以(a-#+(6_赤就是曲線y=3|n解與直線y=x+2之間的最小距離的

33

平方值，對曲線片3lnx-%求導，=--2x與平行y=x+2平行的切線斜率攵=1=--

XX

3

2x,解得x=1或x=-5(舍去)，把x=1代入片3lnx-解，解得y=-1,即切點(1,-

|1+1+2|

1)，則切點到直線y=x+2的距離為/=#=2#,所以2=8,即(a-第+(6-

@2的最小值為8,故選D.

【答案】D

題組訓練一導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的運算

1.若直線y=kx+。是曲線片Inx+2的切線，也是曲線片In(x+1)的切線，則b

=()

2

1

A.1

C.1-In2D.1-2ln2

11

【解析】對于函數(shù)片Inx+2,切點為（「，5）/=；,攵=7對于函數(shù)片1|1（*+1）,

切點為（夕,⑦，y=777,

X十-L

11q-s(Inr+2)-In(p+1)

斜率k---

rP+1p-rr-p

7=2

111

解彳導：jr=2，P=-Q,s=lnr+2=In5+2=2-In2,

、s=q+2

1

代入P=2x+6,2-In2=2x（5）+/?,得：Z?=1-In2.

【答案】C

2.在直角坐標系xQ/中，設戶是雙曲線C:刈=1（心0）上任意一點，/是曲線C在點

。處的切線，目/交坐標軸于46兩點，則以下結(jié)論正確的是（）

A.△046的面積為定值2

B.△的面積有最小值為3

C.4的面積有最大值為4

D.△0/6的面積的取值范圍是[3,4]

3

【解析】設"是雙曲線"=1上任意一點，其坐標為外加,為)，經(jīng)過。點的切線方

11

程為片kx+6.雙曲線化為片一形式，p對x的導數(shù)為/=,

X

111xo-yb+1

在。點處導數(shù)為-三，切線方程為3-%)=-三―加)，令x=0)=%+—=----------

於AoXQXQ

2

=~=2y,(其中府?次=1),則切線在"軸截距為2次，令片0,x=2比，則切線在x軸

At)0

1

截距為2府，設切線與兩坐標軸相交于48兩點構(gòu)成的三角形為OABS，OAB=^OA\\OB\

1

=習刈」故切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形面積定值為

22%|=2\x0-y0\=2,2.

【答案】A

題型二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【題型要點解析】

求解或討論函數(shù)單調(diào)性有關(guān)問題的解題策略

討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況.大多數(shù)情況下，這類問題可以歸

結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論：

(1)在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論.

(2)在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論.

【提醒】討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域的限

制.

例1.已知函數(shù)/(用=必+alnx

(1)當a=-2時,求函數(shù)芥M的單調(diào)區(qū)間；

4

2

（2）若［M=KM+一，在［1,+8）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

X

2

【解】（l），（M=2x--,令，（切>0,得%>1;

X

令/?<0，得0<x<l,所以/W的單調(diào)遞增區(qū)間是Q,+8）,

單調(diào)遞減區(qū)間是（0,1）.

2a2

⑵由題意aM=^+alnx+—,0（M=2x+--松，

若函數(shù)為［1,+8）上的單調(diào)增函數(shù)，則在［1,+8）上恒成立，

22

即<3>--2/在［1,+8）上恒成立，設儀M=--2后

XX

,.9（切在［1,+8）上單調(diào)遞減，二夕（Mmax=儀1）=0,

..a>Q;

若函數(shù)aM為［1,+8）上的單調(diào)減函數(shù)，則a（M40在口，+8）上恒成立,不可能.

二實數(shù)a的取值范圍為［0,+oo）.

題組訓練二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

3g+ax

設函數(shù)制）=——（aGR）.

e%

⑴若/W在x=0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線片/W在點（1,"））處的切

線方程；

⑵若/W在［3,+8）上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

5

(6x+a)ex-(3A2+ax)ex

【解析】⑴對心)求導得f⑻=-----------------

-3層+(6-a)x+a

因為偽在x=0處取得極值，所以/(0)=0,即a=0.

-3A2+6x

當a=0時，/W=----；—，故")=-J(l)=一，從而/W在點(1,XD)

exexee

33

處的切線方程為外&=Jx-1),化簡得3x-ey=0.

-3A2+(6-a)x+a

(2)由(1)知f⑻

令g(M=-3*+(6-a)x+a,

6-a-J用+36

由IM=0,解得Ai=-------------,

6-a+d/+36

X2=6

當時，g(M<0,即，(M<0,故KM為減函數(shù);

當?shù)?lt;,<及時，g(M>0,即，(M>0,

故4M為增函數(shù)；

當%>加時，史)<0,即/?<0,故為減函數(shù).

6-a+、*+369

由/W在[3,+⑼上為減函數(shù),知3——43,解得*-5，故，的取值

范圍為一:，+°0]

題型三利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)問題

6

【題型要點解析】

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的極值的一般思想：①求定義域；②求導數(shù)f⑻;③解方程f⑻

=0,研究極值情況；④確定/(Ab)=0時附左右的符號，定極值.

(2)求函數(shù)y=XM在［a，句上最大值與最小值的步驟：

①求函數(shù)y=在(a,內(nèi)的極值；②將函數(shù)y=AM的極值與端點處的函數(shù)值g,

［◎比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

(3)當極值點和給定的自變量范圍關(guān)系不明確時，需要分類求解，在求最值時，若極值

點的函數(shù)值與區(qū)間端點的函數(shù)值大小不確定時需分類求解.

例1.設函數(shù)G(M=-nx+(1-A)ln(1-A).

⑴求G(M的最小值；

a+1

⑵記G(M的最小值為c,已知函數(shù)4M=2aex+c+-----2(a+l)(a>0),若對于任意

X

的xe(O,+8),恒有^>0成立，求實數(shù)a的取值范圍.

x1

【解】⑴由已知得0<x<l召(M=Inx-In(1-M=In--.令G(M<0得0<xq;

.L—X/

令G(M>0，得鼻<1,所以G(M的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為［川.

從而G(Mmin=G、］=ln-=-In2.

a+la^-ex-(a+1)

(2)由⑴中-In2,得KM=ae+-----2(a+1).所以f(K=-------------.

令g｛瓷=a層e-(a+1),貝?。輌(R=a*2+Me*〉。,所以g(M在(0,+8)上單調(diào)遞增，

7

因為［0)=-(a+1),且當尸+8時，］M>0,

所以存在At)e(O,+⑹，使［向=o,且/(M在(0,3)上單調(diào)遞減，在(府，+網(wǎng)上單

調(diào)遞增.

—一a+1_—

因為［燉)=a^)-exo-(a+1)=0,所以加=a+1,即衣加=——,因為對于任

Au

3+1

意的XE(0,+8),恒有心成立，所以心)min=［府)=裾次+-----2(a+1)>0,所

a+1a+111

以KF-23型。，毀+￡2“,即2弟-X0-14。,

1a+1__

所以加41.因為a弟-e加=a+l,所以?-eAb=--->1.又利>0,所以0<加41,

2a

_一a+11

從而^)-exo<e,所以1<---<e,故a>—

ae-1

題組訓練三利用導數(shù)研究函數(shù)的極值(最值)問題

a/+bx+c

已知函數(shù)=---------(a>0)的導函數(shù)片尸⑴的兩個零點為-3和0.

(1)求/W的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/W的極小值為-e3,求/w在區(qū)間［-5,+8)上的最大值.

C2ax+b)ex-(a^+bx+c)e%-a^-+(2a-b)x+b-c

【解】(1)/W=---------------------=---------;---------

(e)ex

令=-抑2+(2a-b)x+b-c,

因為ex>0,所以y=F(M的零點就是g(x)=-ax^+(2a-b)x+b-c的零點且F(M與

符號相同.

又因為a>0，所以當-3<x<0時，p(M>0，即，(M>0，當x<-3或%>0時，pW<0,

8

即/?<o,

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3,0）,

單調(diào)遞減區(qū)間是（-8,-3）,（0,+CO）.

⑵由⑴知，x=-3是/W的極小值點，

"9a-3b+c

e-3"

所以有:

g0)=5-c=0,

-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,

M+5x+5

解得a-1,b-5,c-5,所以/（M=；.

ex

因為AM的單調(diào)遞增區(qū)間是（-3,0）,

單調(diào)遞減區(qū)間是（-3）,（0,+OO）,

所以40）=5為函數(shù)/W的極大值，

5

故/W在區(qū)間［-5,+河上的最大值取代5）和40）中的最大者而小5）=—=5e5>5

e-5

=AO）,所以函數(shù)立）在區(qū)間［-5,+⑼上的最大值是5e5.

題型四定積分

【題型要點解析】

Q）求簡單定積分最根本的方法就是根據(jù)微積分定理找到被積函數(shù)的原函數(shù)，其一般步

驟：①把被積函數(shù)變?yōu)槟缓瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；②利用定

積分的性質(zhì)把所求定積分化為若干個定積分的和或差，?③分別用求導公式找到尺M，使得F

9

(M=AM;④利用牛頓一一萊布尼茲公式求出各個定積分的值；⑤計算所求定積分的值.有

些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求其圍成的幾何圖形的面積，即其對應的定積分.

(2)求由函數(shù)圖象或解析幾何中曲線圍成的曲邊圖形的面積，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計算

與應用，但一定找準積分上限、積分下限及被積函數(shù)，且當圖形的邊界不同時，要討論解決，

其一般步驟：①畫出圖形，確定圖形范圍；②解方程組求出圖形交點范圍，確定積分上、下

限；③確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖象的上、下位置；④計算卜枳分，求出平面圖形的面

積.

[口僅，問-1,1).2

例1.設/w=V，則/Wdx的值為（）

^-l,xe[l,2]L

n4Tl

Ai+i1B-+3

TT4n

1D-+3

4

l）dx='|lixl2+?=

【解析】J：[1-必dx+J：(4-

TT4

~+~,故選A.

【答案】A

例2.￡[jl—叱+|Jdx=______.

【解析】J。J41^+dx=￡d1-層dx+pl11*111pl/

-xdx,-xdx=-,\A/l-A2

Jo2Jo24Jov

10

n+1

dx表示四分之一單位圓的面積，為I,所以結(jié)果是一

TT+1

【答案】丁

例3.由曲線%*+1,直線片-x+3,x軸正半軸與y軸正半軸所圍成圖形的面積

為（）

10

A.3BT

78

C3嗎

【解析】由題可知題中所圍成的圖形如圖中陰影部分所示,

r

/=^+1x=-2x=1,3

由,,解得,(舍去)或,即4L2),結(jié)

[y=-x+3匕=5"=2

合圖形可知，所求的面積為（（A2+l）dX+|x22=Q10

—d+%|3+2=百，選

B.

【答案】B

題組訓練四定積分

1.已知總+總=2#，若/

(必-2Mdx=()

1i

B.

3

11

22

D--i

【解析】依題意，缶］+?^=2#nsin夕+cos9=2#sin”osu/sin(0+

TT/~TCTTptan。ptan。

N=q2sin2夕，因為夕W(0,5),所以0=1,故L(M-2Mdx=L-1(M-2Mdx

M2

=g-g)1=1選c

【答案】C

2.函數(shù)y=f(sinx+cosAsinMdx的最大值是

*0

【解析】y-f(sinx+cosAsinMdx

JO

fsinx+—sin2xdx

J。I2

1c15

-cosx——cos2x=-cost-二cos2^+7

4o44

151

=-cost--(2cos2t-1)+-=--(cost+1)2+2,

當cos1=-1時，K1ax=2.【答案】2

【專題訓練】

一、選擇題

11

1.已知變量a,6滿足8=-”2+3lna(a>0),若點Q(m,〃)在直線y=2x+~±,

則(a-m)2+(b-〃)2的最小值為()

12

A.9

9

C-5D.3

11

【解析】令y=3lnx-5層及片2x+-,則(a-ni)2+(b-ri)2的最小值就是曲線片

1113

3lnx-m2上一點與直線y=2x+5的距離的最小值,對函數(shù)片3lnx-求導得：/

13

x,與直線y=2x+5平行的直線斜率為2,令2=--x得x=1或x=-3(舍)，貝x=1,得

/X

113、"9

到點Q,-5)到直線y=2x+Q的距離為弓一,貝U(a-M產(chǎn)+(6-”的最小值為(手)=-

【答案】C

2.設aGR,若函數(shù)y=e"+3x,xGR有大于零的極值點，則()

A.a>-3B.a<-3

11

C.a>--D.a<--

【解析】/=aeax+3=0在(0,+8)上有解，即aeax=-3,「口>0，二a<0.又當

a<0時，0<eax<l,要使aeax--3,則a<-3,故選B.

【答案】B

3.已知函數(shù)例=2--+3x,若對于任意的aw[l,2]力直2,3],函數(shù)右)在區(qū)間[a,

切上單調(diào)遞減，則實數(shù)r的取值范圍是()

A.(-OO,3]B.(-oo,5]

C.[3,+oo)D.[5,+oo)

13

【解析】YM=M-N+3x,"(M=3必-2塊+3,由于函數(shù)在⑶句上單調(diào)

遞減，則有/W<0在［a，句上恒成立,即不等式3/-2次+340在［a,句上恒成立,即有

企翡+小在［a,句上恒成立，而函數(shù)y寸x+￡|在［1,3］上單調(diào)遞增，由于ae［l,2］,

6w(2,3］,當6=3時，函數(shù)_/='1%+-］取得最大值，即^^='。+!］=5,所以也5,

故選D.

【答案】D

4.已知函數(shù)/W=鏟-ln(x+a)(aGR)有唯一的零點府，(e=2.718…)則()

111

A.-1<加<--B..5<加

11

C.-~<XQ<0D.0<XQ<~

1

【解析】函數(shù)止"ln(x+a)(awR),則g-a,可得3/M=

111

鏟+小^亙大于°"(源增函數(shù),令"=°，則，有唯一解時,8=嬴-

Xo，代入可得：

1

4加)=exo-ln(At)+a)=exo-ln()=e府+迎，

e/

11

由于仆b)是增函數(shù)，仆1)*-0.634--)?0.11,所以m)=0時，-l<x0<-5.故

選A.

【答案】A

5.定義在(0,+8)上的函數(shù)也滿足/W>2(x+,XM,其中為例的導函數(shù),

14

則下列不等式中，一定成立的是（）

Q)Q)

A./(1)>—>—

B爭孚等

234

,42)十3)

C./(1)<—<—

<1)44)49)

D.----<-----<-----

234

【解析】?YM>2（x+,，（M,

1），（M，

1，

?MM-r>(5+1)(M.

2-x

r1

/(取山+1)-/W丁r<o,■■(~r~y<°'

Xx+1

4M

設P(M=—j=一,則函數(shù)在（0,+8）上遞減,

、/x+1

O格)49)

故次l)>g(4)>g(9),B.

【答案】B

f（3-KB

6.已知函數(shù)AM在R上可導，其導函數(shù)為，（M,若,（M滿足------>0,p=

X~X

K/-M

于直線x=l對稱，則不等式工加。）的解集是（）

15

A.(-1,2)B.(1,2)

C.(-1,0)U(1,2)D.(-OO,0)U(1,+8)

KB，(M-IM

【解析】令g(M二，則。(M=

■------->o，當心i時，r(M-/w>o,

x-1

則O(M>0，，/M在(1,+8)上單調(diào)遞增;

當x<l時，-/W<0,則0(M<O,

在(-8,1)上單調(diào)遞減.

及*-M

,.g(0)=醺)，，不等式40)

e/-x

即為不等式灰爐-切<40).

17=個關(guān)于直線x=1對稱，二/-小2,

，0<*-x<2,解得-l<x<0或1<%<2,故選C.

【答案】C

7.已知偶函數(shù)q)(片0)的導函數(shù)為f⑻,且滿足心)=0,當%>0時，,

則使得/W>0成立的x的取值范圍是()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-oo,-1)U(1,+oo)

C.(-l,0)U(l,+oo)D.(-1,0)U(0,1)

KB2?而

【解析】根據(jù)題意，設函數(shù)g(M=1(右0),當此0時，=-----------<0,

16

說明函數(shù)g(M在(0,+8)上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，所以g(M為偶函數(shù)，又＜1)=0,

所以g(l)=0,故g(M在(-1,0)u(0,1)上的函數(shù)值大于零，即蟲)在(-1,0)u(0,1)上的函數(shù)

值大于零.

【答案】D

8.定義在上的函數(shù)e,是它的導函數(shù)，且恒有/W＜，(M-tanx成立，則

()

A何升何?JB.Xl)<2彳"sin1

?伯陪)

【解析】構(gòu)造函數(shù).捐

，(Msinx-{Mcosx(

則「即sin2%＞0，/卜

從而有出=黑在［。,3上為增函數(shù)，所以有2今

v7v7sin—sin—

63

3小)故選口

【答案】D

二、填空題

9.已知曲線/(M=acosx與曲線g(M=;0+6x+1在交點(0,m)處有公切線，則實數(shù)

a+6的值為___________.

17

【解析】因為兩個函數(shù)的交點為(0,m),:.m=acosO,m=02+6x0+1,：.m=1,

a=1,"6,g(M在(0,m)處有公切線,"(0)=^(0),-sin0=2x0+d,：.b=0,：.a

+b=1.

【答案】1

10.已知函數(shù)/W是定義在R上的奇函數(shù)，且當xe(0,+⑼時，都有不等式/(M+xf

(M>0成立，若3=4。2[4。2),6=(10943)/(10943),c=，則a,6,

c的大小關(guān)系是.

1

【解析】根據(jù)題意，令g(M=MM，則a=-4。2),Z7=p(log43),c=-log4五)有

式===，則g(M為偶函數(shù)，又由0(M=(M'/W+M(M=

+,又由當板(0,+8)時，都有不等式大M+M(M>0成立，則當%e(0,+8)

1

時，有0(M>O,即g(M在(0,+8)上為增函數(shù)，分析可得|1。94五|>|4。2|>||0943|,則有

c>a>b;故答案為：oa>b.

【答案】oa>b

11.已知函數(shù)XM=*lnx-叫有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是_______.

【解析】令f(必=lnx-ax+x[,一a]=lnx-2ax+1=0,得Inx=lax-1.因為

函數(shù)/W=Mlnx-函有兩個極值點，所以f(K=Inx-2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y

=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象，過點(0,-

11

1)作y=Inx的切線，設切點為(府，次)，則切線的斜率k:一,切線方程為片一x-1.切點

加XQ

1Xo

在切線片一x-1上，則乂)=1-1=0,又切點在曲線y=Inx上，則In4=0,.,.加=1,

18

即切點為(LO),切線方程為y=x-1.再由直線y=2ax-1與曲線片Inx有兩個交點,知

直線y=2ax-1位于兩直線y=0和y=x-1之間,其斜率2a滿足0<2a<l,解得實數(shù)a

的取值范圍是.

【答案】[0,￡|

12.曲線y=2sin*04X4TT)與直線片1圍成的封閉圖形的面積為.

1115Tl

【解析】令2sinx=1,得sinx=;,當x￡[0,川時，得x二展或x一,所以所求

266

5TI

5nn6

面積S-f-(2sinx-l)dx=(-2cosx-A)T

66TI

6

【答案】2^/3-y

三、解答題

13.已知函數(shù)4M=ae2x+(a-2)e*-x.

Q)討論的單調(diào)性；

(2)若/W有兩個零點，求a的取值范圍.

【解析】(1)/W的定義域為(-8,+8)/(M=2羽2*+.-2)e*-1=(非、-1)(21

+1),

(i)若a<0，則/W<0,所以心)在(-oo,+⑼單調(diào)遞減.

19

(ii)若a>0,則由=0得x=-Ina.

當xe(-8,-Ina)時，，(M<0;當xe(-lna,+切時，-(切>0,所以偽在(-

8,-Ina)單調(diào)遞減，在(-Ina,+8)單調(diào)遞增.

⑵(i)若a<0,由⑴知，至多有一個零點.

1

(ii)若a>0,由(1)知，當x=-Ina時，AM取得最小值，最小值為X-Ina)=1--+In

a