2024年廣東省深圳市蛇口育才教育集團中考數(shù)學二模試卷

2024年廣東省深圳市蛇口育才教育集團中考數(shù)學二模試卷一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣2021的絕對值是（）A．﹣2021 B．2021 C．±2021 D．2．（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）國家統(tǒng)計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學記數(shù)法表示為（）A．14.1×108 B．1.41×108 C．1.41×109 D．0.141×10104．（3分）若函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝ax+b和y＝在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A． B． C． D．5．（3分）函數(shù)y＝中的自變量x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≠2 C．x＞1且x≠2 D．x≥1且x≠26．（3分）有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8m B．10m C．12m D．14m7．（3分）如圖，在邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，⊙O的半徑為1，圓心O在格點上，則tan∠EDB等于（）A．1 B． C． D．8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是拋物線y＝﹣3x2﹣12x+m上的點，則（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y29．（3分）在平面直角坐標系中，對于點P（x，y），把點叫做點P的友好點．已知點A1的友好點為點A2，點A2的友好點為點A3?這樣依次得到點A1，A2，A3，A4?Ax，若點A1的坐標為，則根據(jù)友好點的定義，點A2023的坐標為（）A． B．（2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．10．（3分）我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0且b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“絕對值“函數(shù)．小明同學畫出了“絕對值”函數(shù)y＝|x2﹣4x﹣5|的圖象（如圖所示），并寫出下列五個結(jié)論：①圖象與坐標軸的交點為（﹣1，0），（5，0）和（0，5）；②圖象具有對稱性，對稱軸是直線x＝2；③當﹣1≤x≤2或x≥5時，函數(shù)值y隨x的增大而減??；④當x≤﹣1或x≥5時，函數(shù)的最小值是9；⑤當y＝x+b與y＝|x2﹣4x﹣5|的圖象恰好有3個公共點時b＝1或其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：4﹣4m2＝．12．（3分）若單項式2xmy3與3xym+n是同類項，則的值為．13．（3分）如圖，點A是反比例函數(shù)y＝的圖象上的一點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點C為y軸上的一點，連接AC，BC．若△ABC的面積為6，則k的值是．14．（3分）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC的頂點均在格點上，則陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，，把Rt△ABC沿著AC翻折得到Rt△AEC，若，則線段DE的長度為．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．（5分）計算．17．（7分）先化簡，再求值：（）÷，其中a＝﹣1．18．（8分）為了豐富學生們的課余生活，學校準備開展第二課堂，有四類課程可供選擇，分別是“A．書畫類、B．文藝類、C．社會實踐類、D．體育類”．現(xiàn)隨機抽取了七年級部分學生對報名意向進行調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖表信息回答下列問題：（1）本次被抽查的學生共有名，扇形統(tǒng)計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為度；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補全；（3）若該校七年級共有600名學生，請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有多少名？（4）本次調(diào)查中抽中了七（1）班王芳和小穎兩名學生，請用列表法或畫樹狀圖法求她們選擇同一個項目的概率．19．（8分）某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，襯衫每件進貨價為50元．規(guī)定每件售價不低于進貨價，經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷售量y（件）與每件的售價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：售價x（元/件）606570銷售量y（件）140013001200（1）求出y與x之間的函數(shù)表達式；（不需要求自變量x的取值范圍）（2）該批發(fā)市場每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實惠，該如何給這種襯衫定價？（3）物價部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進貨價的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤為w（元），那么售價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，O為AB上一點，經(jīng)過點A、D的⊙O分別交AB、AC于點E、F．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若BE＝8，，求⊙O的半徑；（3）在（2）的條件下，求AD的長．21．（9分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是直線AB上的一動點（不與點A，B重合）連接CD，在CD的右側(cè)以CD為斜邊作等腰直角三角形CDE，點H是BD的中點，連接EH．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖（1），當點D是AB的中點時，線段EH與AD的數(shù)量關(guān)系是．EH與AD的位置關(guān)系是．【猜想論證】（2）如圖（2），當點D在邊AB上且不是AB的中點時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請說明理由．【拓展應用】（3）若AC＝BC＝2，其他條件不變，連接AE、BE．當△BCE是等邊三角形時，請直接寫出△ADE的面積．22．（10分）綜合與實踐：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，方便出行．如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．數(shù)學小組成員想了解，灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶？為解決這一問題，數(shù)學小組決定建立函數(shù)模型來描述澆水的情況，探索步驟如下：（1）【建立模型】數(shù)據(jù)收集：如圖2，選取合適的原點O，建立直角坐標系，使得灑水車的噴水口H點在y軸上，根據(jù)現(xiàn)場測量結(jié)果，噴水口H離地豎直高度為OH＝1.5m．把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其中D，E點在x軸上，測得其水平寬度DE＝3m，豎直高度EF＝0.5m．那么，灑水車與綠化帶之間的距離就可以用線段OD的長來表示．①查閱資料：發(fā)現(xiàn)可以把灑水車噴出的水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象，分別為y1，y2．上邊緣拋物線y1的最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，求上邊緣拋物線y1的函數(shù)解析式，并求灑水車噴出水的最大射程OC．②下邊緣拋物線y可以看作由上邊緣拋物線y1向左平移得到，其開口方向與大小不變．請求出下邊緣拋物線y2與x軸的正半軸交點B的坐標．（2）【問題解決】要使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，利用上述信息求OD的取值范圍．（3）【拓展應用】半年之后，由于植物生長與修剪標準的變化，綠化帶的豎直高度EF變成了1m，噴水口也應適當升高，才能使灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，已知y1與y2的開口方向與大小不變，請直接寫出OH的最小值：．參考答案一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．【解答】解：﹣2021的絕對值是2021，故選：B．2．【解答】解：A．不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．3．【解答】解：14.1億＝1410000000＝1.41×109．故選：C．4．【解答】解：∵由函數(shù)圖象交于y軸的正半軸可知c＞0，∴反比例函數(shù)y＝的圖象必在一、三象限，故C、D錯誤；∵據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向上可知a＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，b＜0，∴函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過一三四象限，故A錯誤，B正確．故選：B．5．【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故選：D．6．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝10m，小樹高為CD＝4m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝10m．故選：B．7．【解答】解：∵OE＝1，OA＝1，∴tan∠AOE＝＝1，由圓周角定理得，∠EDB＝∠AOE，∴tan∠EDB＝1．故選：A．8．【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∵a＝﹣3＜0，∴x＝﹣2時，函數(shù)值最大，又∵﹣3到﹣2的距離比1到﹣2的距離小，∴y3＜y1＜y2．故選：B．9．【解答】解：∵對于點P（x，y），把點叫做點P的友好點．且A1的坐標為，則，，∴A2（2，2），則，∴A3（2，﹣1），同理得，……，觀察發(fā)現(xiàn)，每6個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)．∵2023÷6＝337??1，∴點A2023的坐標與A1的坐標相同，為．故選：A．10．【解答】解：∵（﹣1，0），（5，0）和（0，5）滿足函數(shù)y＝|x2﹣4x﹣5|，∴結(jié)論①正確；觀察函數(shù)的圖象可知：函數(shù)具有對稱性，對稱軸為直線，故結(jié)論②正確；∵函數(shù)與x軸的兩個交點坐標為（﹣1，0），（5，0），且對稱軸為直線x＝2，∴當﹣1≤x≤2或x≥5時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故結(jié)論③不正確；∵當x＝﹣1或5時，y＝0，∴當x≤﹣1或x≥5時，函數(shù)的最小值是0．故結(jié)論④不正確；∵函數(shù)y＝|x2﹣4x﹣5|與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（5，0），又∵y＝x+b與y＝x平行，∴當y＝x+b與y＝|x2﹣4x﹣5|的圖象恰好有3個公共點時，有以下兩種情況：①y＝x+b經(jīng)過點（﹣1，0），此時b＝1，②當y＝x+b與函數(shù)y＝﹣（x2﹣4x+5）只有一個交點時，則方程x+b＝﹣（x2﹣4x+5）有兩個相等的實數(shù)根，將x+b＝﹣（x2﹣4x+5）整理得：x2﹣3x+b﹣5＝0，∴判別式Δ＝（﹣3）2﹣4（b﹣5）＝0，解得：．故結(jié)論⑤正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②⑤．故選：B．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．【解答】解：原式＝4（1﹣m2）＝4（1+m）（1﹣m）．故答案為：4（1+m）（1﹣m）．12．【解答】解：根據(jù)題意得：m＝1，m+n＝3，解得n＝2，所以2m+n＝2+2＝4，＝＝2．故答案為：2．13．【解答】解：如圖，連接OA，∵AB⊥x軸，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△CAB＝6，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣12．故答案為﹣12．14．【解答】解：△ABC的面積為：3×4﹣×1×4﹣×2×3﹣×2×2＝5；設(shè)AB與A'B'的交點為E，BC與B'C'的交點為F，由平移的性質(zhì)可知，△BEF～△BAC，∴＝（）2，∵S△ABC＝5，∴S△BEF＝，即陰影部分的面積為．故答案為：．15．【解答】解：如圖，過點D作DM⊥CE，由折疊可知：∠AEC＝∠B＝90°，∴AE∥DM，∴∠AED＝∠EDM，∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，設(shè)EM＝m，由折疊性質(zhì)可知，EC＝CB＝，∴CM＝﹣m，由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ECD＝30°，∴tan∠ECD＝＝，∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，∴tan∠EDM＝，即＝，解得，m＝，∴DM＝，EM＝，在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，解得，DE＝，故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．【解答】解：原式＝4﹣（3﹣）﹣2×+1＝4﹣3+﹣+1＝2．17．【解答】解：原式＝?＝?＝，當a＝﹣1時，原式＝＝．18．【解答】解：（1）本次被抽查的學生共有：20÷40%＝50（名），扇形統(tǒng)計圖中“A．書畫類”所占扇形的圓心角的度數(shù)為；故答案為：50，72；（2）B類人數(shù)是：50﹣10﹣8﹣20＝12（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：（3）名，答：估計該校學生選擇“C．社會實踐類”的學生共有96名；（4）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）由表格可得：共有16種等可能的結(jié)果，其中王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的結(jié)果有4種，∴王芳和小穎兩名學生選擇同一個項目的概率＝．19．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，，解得，，即y與x之間的函數(shù)表達式是y＝﹣20x+2600；（2）（x﹣50）（﹣20x+2600）＝24000，解得，x1＝70，x2＝110，∵盡量給客戶優(yōu)惠，∴這種襯衫定價為70元；（3）由題意可得，w＝（x﹣50）（﹣20x+2600）＝﹣20（x﹣90）2+32000，∵該襯衫的每件利潤不允許高于進貨價的30%，每件售價不低于進貨價，∴50≤x，（x﹣50）÷50≤30%，解得，50≤x≤65，∴當x＝65時，w取得最大值，此時w＝19500，答：售價定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元．20．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，則OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵點D在⊙O上，∴BC是⊙O的切線．（2）解：∵∠BDO＝90°，∴sinB＝＝，∴OD＝5，∴⊙O的半徑為5；（3）如圖2，連接EF，∵AE是直徑，∴∠AFE＝90°＝∠ACB，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，又∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，又∵∠OAD＝∠CAD，∴△DAB∽△FAD，∴，∴AD2＝AB?AF．∵BE＝8，OE＝AO＝5，∴AB＝18，AE＝10，∵sinB＝sin∠AEF＝＝，∴AF＝，∴AD2＝18×＝，∴AD＝．21．【解答】解：（1）如圖1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，∵∠DCE＝45°，∴點E在線段CB上，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠B＝45°，∵DH＝HB，∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，故答案為EH＝AD，EH⊥AD．（2）結(jié)論仍然成立：理由：如圖2中，延長DE到F，使得EF＝DE，連接CF，BF．∵DE＝EF．CE⊥DF，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝45°，∴∠ECF＝∠ECD＝45°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACD＝∠BCF，∵CA＝CB，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠CBF＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°，∴BF⊥AB，∵DE＝EF，DH＝HB，∴EH＝BF，EH∥BF，∴EH⊥AD，EH＝AD．（3）如圖3﹣1中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝2，∴∠CAE＝∠CEA＝75°，∵∠CAB＝45°，∴∠EAH＝30°，∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，∴∠DEB＝150°，∴∠EDB＝∠EBD＝15°，∵∠EAH＝∠ADE+∠AED，∴∠ADE＝∠AED＝15°，∴AD＝AE，設(shè)EH＝x，則AD＝AE＝2x，AH＝x，∵EH2+DH2＝DE2，∴x2+（2x+x）2＝8，∴x＝﹣1，∴AD＝2﹣2，∴S△ADE＝?AD?EH＝×（2﹣2）?（﹣1）＝4﹣2．如圖3﹣2中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．同法可求：EH＝+1，AD＝2+2，∴S△ADE＝?AD?EH＝×（2）（+1）＝4+2，綜上所