湖南省衡陽市石準中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

湖南省衡陽市石準中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等邊三角形ABC中，AB=2，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上運動，若，則EF長度的最小值為（）A． B． C．1 D．參考答案：A【考點】余弦定理．【分析】利用正弦定理、三角形的面積公式求得AE?AF=，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF長度的最小值．【解答】解：等邊三角形ABC中，若==，∴AE?AF=．由余弦定理可得EF2=AE2+AF2﹣2AE?AF?cos60°=AE2+AF2﹣AE?AF≥2AE?AF﹣AE?AF=AE?AF=，即EF2≥，∴EF≥=，當且僅當AE=AF時，取等號，故EF長度的最小值為．故選：A．2.如圖是二次函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B略3.如圖所示，兩個非共線向量，的夾角為θ，M、N分別為OA與OB的中點，點C在直線MN上，且=x+y（x，y∈R），則x2+y2的最小值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】點到直線的距離公式；平面向量坐標表示的應(yīng)用．【分析】法一：特殊值法，當θ=90°，||=||=1時，建立直角坐標系，得x+y=，所以x2+y2的最小值為原點到直線的距離的平方；解法二：因為點C、M、N共線，所以，有λ+μ=1，由M、N分別為OA與OB的中點，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，當θ=90°，||=||=1時，建立直角坐標系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值為原點到直線的距離的平方；解法二：因為點C、M、N共線，所以，有λ+μ=1，又因為M、N分別為OA與OB的中點，所以=∴x+y=原題轉(zhuǎn)化為：當x時，求x2+y2的最小值問題，∵y=∴x2+y2==結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當x=時，取得最小值為故選B【點評】本題主要考查了平面向量的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是向量共線定理的應(yīng)用及結(jié)論“點C、M、N共線，所以，有λ+μ=1“的應(yīng)用4.函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：B略5.（5分）在△ABC中，a，b，c是角A，B的對邊，若a，b，c成等比數(shù)列，A=60°，=（）A．B．1C．D．參考答案：D【考點】：正弦定理；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】：計算題．【分析】：a，b，c成等比數(shù)列可得，b2=ac，由正弦定理可得sin2B=sinAsinC=【解答】：解：∵a，b，c成等比數(shù)列∴b2=ac由正弦定理可得sin2B=sinAsinC==故選D【點評】：本題主要考查了利用正弦定理進行解三角形，屬于基礎(chǔ)試題，難度不大．6.在面積為S的三角形ABC內(nèi)隨機取一點M，則三角形MBC的面積的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：D7.過圓的圓心，作直線分別交軸、軸的正半軸于、兩點，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形的面積滿足，則直線有（

）A．1條

B．2條

C．3條

D．0條參考答案：A試題分析：由于第二與第四部分面積確定，因此第三部分與第一部分的差也唯一確定，因此滿足條件的直線有且僅有一條，選A.考點：直線與圓位置關(guān)系8.已知集合A={≤0，x∈N}，B={x|≤2，x∈Z}，則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：D【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；其他不等式的解法．【分析】通過解分式不等式求出好A，無理不等式求出集合B，通過滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)即可．【解答】解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因為A?C?B，所以C中元素個數(shù)至少有1，2；至多為：0，1，2，3，4；所以集合C的個數(shù)為{0，3，4}子集的個數(shù)：23=8．故選D．9.已知正三角形ABC的頂點A(1，1)，B(1，3)，頂點C在第一象限，若點（x，y）在△ABC內(nèi)部，則z＝－x＋y的取值范圍是（

）A．(1－，2)

B．(0，2)

C．(－1，2)

D．(0，1＋)參考答案：A略10.下面給出的四個點中,位于表示的平面區(qū)域內(nèi),且到直線的距離為的點是A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)⊙O為不等邊△ABC的外接圓，△ABC內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c，P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足（P與A不重合）.Q

為△ABC所在平面外一點，QA=QB=QC.有下列命題：①若QA=QP，∠BAC=90°，則點Q在平面ABC上的射影恰在直線AP上；

②若QA=QP，則；

③若QA>QP，；

④若QA>QP,則P在△ABC內(nèi)部的概率為

的面積）．

其中不正確的命題有＿＿＿＿＿（寫出所有不正確命題的序號）．參考答案：略12.設(shè)有兩個命題：(1)不等式|x|＋|x－1|>m的解集為R；(2)函數(shù)f(x)=(7－3m)x在R上是增函數(shù)；如果這兩個命題中有且只有一個是真命題，則m的取值范圍是

.

參考答案：

13.已知實數(shù)滿足，且恒成立，則實數(shù)的最小值是

．參考答案：4

14.已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ），（M＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，其中A，B兩點之間的距離為5，那么f（﹣1）=．參考答案：2【考點】正弦函數(shù)的圖象．【專題】三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】首先利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的最大值，進一步利用兩點間的距離求出函數(shù)的周期，進一步利用f（0）=1，求出φ的值最后確定函數(shù)的解析式，最后求出結(jié)果．【解答】2解：已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示，所以：M=2，根據(jù)函數(shù)的圖象，設(shè)A（x1，2），B（x2，﹣2），則：所以：|x1﹣x2|=3，所以函數(shù)的周期為6，所以：，解得：ω=，由于：f（0）=1，所以：f（0）=2sinφ=1又，所以：φ=，所以：f（x）=2sin，則：f（﹣1）=，故答案為：2．【點評】本題考查的知識要點：利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，及利用函數(shù)的解析式求函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．15.已知點p（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一動點，PA、PB是圓C：x2+y2﹣2y=0的兩條切線，A、B是切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為

．參考答案：2考點：直線與圓的位置關(guān)系；點到直線的距離公式．專題：計算題．分析：先求圓的半徑，四邊形PACB的最小面積是2，轉(zhuǎn)化為三角形PBC的面積是1，求出切線長，再求PC的距離也就是圓心到直線的距離，可解k的值．解答： 解：圓C：x2+y2﹣2y=0的圓心（0，1），半徑是r=1，由圓的性質(zhì)知：S四邊形PACB=2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，∴S△PBC的最小值S=1=rd（d是切線長）∴d最小值=2圓心到直線的距離就是PC的最小值，∵k＞0，∴k=2故答案為：2點評：本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，點到直線的距離公式等知識，是中檔題．16.已知拋物線的焦點恰好是雙曲線的右焦點，則雙曲線的漸近線方程為

▲

.

參考答案：

17.不等式的解集是

參考答案：原不等式等價為，解得，即原不等式的解集為。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓，過點作圓的切線，直線恰好過橢圓C的右頂點與上頂點.(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；(Ⅱ)若圓上的一點的切線交橢圓C于A,B兩點，試確定的大小，并加以證明.參考答案：方法一：解:（Ⅰ）因為點在圓上，

所以直線，

又因為直線的斜率為，…………1分

所以直線的方程為：．

令，可得，所以橢圓的右頂點坐標為；……………3分

再令，可得，所以橢圓的上頂點坐標為.……………4分

所以，因此，橢圓的方程為：．……………6分

（Ⅱ）若直線的方程為：，則．

此時，故；

若直線的方程為：，則，

此時，故.

猜想為定值．

……………7分（寫一種情形即可）

證明如下：

若直線的斜率存在，設(shè)，

則直線的方程為：整理可得：，………8分

將代入橢圓方程可得，

整理得,

所以.

……………9分

將代入橢圓方程可得：，

整理得，

所以.

……………10分

故．

……………11分

所以為定值．

……………12分方法二：解:（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）若直線的方程為：，則．

此時，故；

若直線的方程為：，則，

此時，故.

猜想為定值．

……………7分（寫一種情形即可）

證明如下：

若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：．

聯(lián)立方程組，可得.

設(shè)，則，……………8分

又因為，

則

.……………9分

所以

.

……………10分

因為直線與圓相切，所以，即．……………11分

所以，

故為定值.

……………12分19.（本小題滿分10分）如圖,AB是⊙O的直徑,弦BD、CA的延長線相交于點E,EF垂直BA的延長線于點F.求證:(1);(2)AB2=BE?BD-AE?AC.參考答案：(1)連結(jié)AD因為AB為圓的直徑,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°則A、D、E、F四點共圓∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5分(2)由(1)知,BD?BE=BA?BF又△ABC∽△AEF∴即:AB?AF=AE?AC∴BE?BD-AE?AC=BA?BF-AB?AF=AB(BF-AF)=AB2

20.數(shù)列的首項,(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)的前項和為,若的最小值為，求的取值范圍？參考答案：解：（1）

又，

則

即奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項成等差

（或:）（2）當為偶數(shù)，即時：

當為奇數(shù)，即時：

略21.（本小題滿分13分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知(n∈N*)．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求證：當x>0時，（III）令，數(shù)列的前項和為．利用（2）的結(jié)論證明：當n∈N*且n≥2時，.參考答案：（1）由，得（）………2分兩式相減，得，即（）于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列…………..….3分又，所以.

所以，故.

…….5分（2）令，則，7分∴在時單調(diào)遞增，，即當時，….9分（3）因為，則當n≥2時，.

…11分下面證令，由（2）可得，所以，，……，以上個式相加，即有∴

…………………13分22.（12分）已知遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若bn=an（1+log2an），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】：數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式．【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：（1）由已知條件利用等比數(shù)列通項公式和等差中項性質(zhì)，列出方程組，求出首項和公比，再由{an}是遞增數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項公式．（2）由bn=an（1+log2an）==（1+n）?2n，利用錯位相減法能求出．解：（1）∵遞增的等比數(shù)列{an}滿足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中項，∴，解得或，∵{an}是遞增數(shù)列，∴a