計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課件5

函函妻浜詬等H雌*崇"不＞二潦哥

春如X彘泉

"基本概念

第

5U二維基本幾何變換

音

，u二維復(fù)合變換

8二維觀察

B三維圖形變換

投影變換

▼5.1基本概念

在計(jì)算機(jī)繪圖應(yīng)用中，經(jīng)常要進(jìn)行從一個(gè)幾何

第圖形到另一個(gè)幾何圖形的變換，

5例如：

章修圖形向某一方向平移一段距離；

將圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度；

圖

或修圖形放大或縮小等等，

形

變這種變換過(guò)程稱為-何變換。

換

圖形的幾何變換是計(jì)算機(jī)繪圖中極為重要的一

與個(gè)組成部分，利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和

觀三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯?dòng)

察態(tài)圖形，從而實(shí)現(xiàn)景物畫(huà)面的動(dòng)態(tài)顯示。

y5.1基本概念

第幾何變換

5圖形的幾何變換：對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)

章過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形,

是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。

5.2二維基本幾何變換

y

二維圖形幾何變換的基本原理

第

5二維平面圖形的幾何變換是指在不改變圖形連

線次序的情況下，對(duì)一個(gè)平面點(diǎn)集進(jìn)行的線性變換。

章

圖實(shí)際上，由于一個(gè)二維圖形可以分解成點(diǎn)、直

形線、曲線。把曲線離散化，它可以用一串短直線段

來(lái)逼近，而每一條直線段均由兩點(diǎn)所決定

變

這樣，二維平面圖形不論是由直線段組成，還

換是由曲線段組成，都可以用它的輪廓線上順序排列

與的平面點(diǎn)集來(lái)描述。

觀因此可以說(shuō)，對(duì)圖形作幾何變換，其實(shí)質(zhì)是對(duì)

點(diǎn)的幾何變換，通過(guò)討論點(diǎn)的幾何變換，就可以理

察

解圖形幾何變換的原理。

5.2二維基本幾何變換

例如，如果要對(duì)下圖中的四邊形ABCD進(jìn)行平移變換,

只需要對(duì)四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D做平移變換，連接平

第移后的四個(gè)頂點(diǎn)即可得到四邊形平移變換的結(jié)果。

5

早

圖

形

變

換

與

觀

察

5.2二維基本幾何變換

▼

第二維圖形幾何變換的原理

5

二維圖形由點(diǎn)或直線段組成

章

直線段可由其端點(diǎn)坐標(biāo)定義

圖

二維圖形的幾何變換：對(duì)點(diǎn)或?qū)χ本€段端點(diǎn)的變換

形

變

尸二卜y]P'=[x'yr_

換

與

觀

察

5.2二維基本幾何變換

▼

對(duì)二維圖形進(jìn)行幾何變換有五種基本變換形式,

它們是：平移、旋轉(zhuǎn)、比例、?稱和錯(cuò)切，這些圖

第

5形變換的規(guī)則可以用函數(shù)來(lái)表示。

章有兩種不同的變換形式：

圖一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，即變換前與

形變換后的圖形是針對(duì)不同坐標(biāo)而言的，稱之為坐標(biāo)

變模式變換；

換另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，即變換前

與與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，稱之

為圖形模式變換。

觀

實(shí)際應(yīng)用中，后一種圖形變換更有實(shí)際意義，

察

下面討論的圖形變換是屬于后一種變換。

幾種典型的二維圖形幾何變換

1.平移變換(translation)

T平行于x軸的方向上的移動(dòng)量

第x

T平行于y軸的方向上的移動(dòng)量

5v

早幾何關(guān)系

[x'=x+T"

矩陣形式I

￡y\~F

平移變換

2.比例變換（scale）

■

指相對(duì)于原點(diǎn)的比例變換

J

S平行于x軸方向上的縮放量

5Sy平行于y軸方向上的縮放量

章

幾何關(guān)系

圖

形

變

換

與

觀

察

V比例變換的性質(zhì)

當(dāng)S、.=s「時(shí)，變換前的圖形與變換后的圖形相似

4y

當(dāng)s=s〉1時(shí)，圖形圈放大，并遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)

x

第y

當(dāng)O<S.=S,<1時(shí)，圖形羽1縮小，并靠近坐標(biāo)原點(diǎn)

5xy

當(dāng)SYWSJ時(shí)，圖形將發(fā)生畸變

章4y

圖

形

變

換

與

觀

察

Sx、.Wy

3.旋轉(zhuǎn)變換(rotation)y

點(diǎn)P繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)。度角

(設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向?yàn)檎较?

第幾何關(guān)系|

5

章{X—KCOSCp

[V="sincp

圖￡二廠cos(6+o)=rcos"cos6一尸sinesin0

形y'=rsin(6+o)=rcossin0+rsin(pcosO

變整理可得:

換

[x'=xcos9-ysin0

與

[j/=xsin9+ycos9

觀

察cos0sin0

矩陣形式[xfy]=L

-sin0cosd

齊次坐標(biāo)(homogeneouscoordinates)技術(shù)

■

JL齊次坐標(biāo)技術(shù)的引入

平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換的組合變換

5

處理形式不統(tǒng)一，將很難把它們級(jí)聯(lián)在一起。

章

圖

2.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點(diǎn)

形

-便于變換合成

變

-便于硬件實(shí)現(xiàn)

換

與3.齊次坐標(biāo)技術(shù)的基本思想

觀

把一個(gè)n維空間中的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換到n+1維空間中

察

解決。

第齊次坐標(biāo)(homogeneouscoordinates)

▼齊次坐標(biāo)表示：用n+1維向量表示一個(gè)n維向量。

5

章

-齊次坐標(biāo)的不唯一性

圖

形例：非齊次坐標(biāo)點(diǎn)P區(qū)M：3,5]

齊次坐標(biāo)點(diǎn)hy川：

變9

換

H騫20,刈；[6,10,21;a5,1]

與

觀

察

基本幾何變換的齊次坐標(biāo)表示

■

10o

JV平移變換￡y'l]=[xy1]o1o

TxTy1

5

00

章

v比例變換￡V1]二Xy1]0Sy0

圖001

形

cosOsin0o-

變V旋轉(zhuǎn)變換:.xy'1]=；xy1]-sin0cosO0

換001

與

觀

察

常用的二維幾何變換

1.對(duì)稱變換(symmetry)(反射變換或鏡像變換)

(1)相對(duì)于y軸對(duì)稱斗

第X=——X

、=y

5

X

早

Ch*y

圖

形(2)相對(duì)于x軸對(duì)稱

變

換

與

觀

察

（3）相對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱（即中心對(duì)稱）V,

第

5

0

章￡y10——x對(duì)稱變換（3）

1

圖（4）相對(duì)于直線y=x對(duì)稱

形

變

換

與

觀

對(duì)稱變換（4）

察

x1

(5)相對(duì)于直線y=-x對(duì)稱

y

第幾何關(guān)系

5

章

圖

形矩陣形式對(duì)稱變換(5)

變

換

0-io

與卜'yA=[xyL-io0=[-y-X1]

觀o01

察

2.錯(cuò)切變換（shear）

（1）沿x軸方向關(guān)于y軸錯(cuò)切

將圖形上關(guān)于y軸的平行線沿x方向推成8角的

傾斜線，而保持y坐標(biāo)不變。

第

y*

5幾何關(guān)系

早

圖

形

變

換

與錯(cuò)切變換（1）

矩陣形式

觀

100

察

人￡yM111一-\人xy1]a10=\x+ayy1]

001

(2)沿y軸方向關(guān)于x軸錯(cuò)切

一、將圖形上關(guān)于x軸的平行線沿y方向推成甲角的

■傾斜線，而保持x坐標(biāo)不變。

第

5幾何關(guān)系

章

圖\X-X

IW=y+Av

形令》=ctgcp有Ay=xctgcp—

變

X=X錯(cuò)切變換(2)

換代人得

y=y^bx

與

矩陣形式

觀

1b0

察

，/l]=[xy1]010=[xbx+y

001

5.3二維復(fù)合變換

■

復(fù)合變換是指：

第

5圖形作一次以上的幾何變換，變換結(jié)果是每次的變

換矩陣相乘。

章

任何一復(fù)雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的

圖組合形式。

形復(fù)合變換具有如下形式：

變

換

與

觀

察

■5.3.1二維艮合平移

兩個(gè)連續(xù)平移是相加的。

第

5

章

圖

形

變

換

與

觀

察

▼5.3.2二維復(fù)合比例

連續(xù)比例變換是相乘的。

第

5

章

圖

形

變

換

與

觀

察

5.3.3二維復(fù)合旋轉(zhuǎn)

兩個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn)是相加的。可寫為:

COS0J

sin。]0cos02sin^20

COS0j

。二1八工2二-sin40-sin^cos020

001001

C0SC1+%)sing+W)0

二-sin^+^2)cosOi+2)0

_001

R=R)?R)=R(v9]1+優(yōu)2)7

(必3)3(02)

5.3.4相對(duì)于任意點(diǎn)(X。，y0)的比例變換

▼

對(duì)任意點(diǎn)比例變換的步驟：

第

5(1)平移變換

章(2)相對(duì)于原點(diǎn)的比例變換

圖(3)平移變換

形

當(dāng)(xo,yo)為圖形重心的坐標(biāo)時(shí)，這種

變變換實(shí)現(xiàn)鬲是相對(duì)于重心的比例變換。

換

與

觀

察

|-

Y100

T1=010

__xo一歹0L

Soo-

S=OSy0

001

-10o-'

%二010

3o%1_

T=T.ST2

則有

口yi]=[%4j4i]

二L1必

1\T{ST2=[X,y1I]T

任意點(diǎn)比例變換示意圖

5.3.5繞任意點(diǎn)（x°,y0）的旋轉(zhuǎn)變換

J繞任意點(diǎn)旋轉(zhuǎn)變換的步驟：

第（1）平移變換

5（2）對(duì)圖形繞原點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

章（3）平移變換

圖

形

變

換

與

觀

察相對(duì)于任意點(diǎn)（X0,y。）的旋轉(zhuǎn)變換

"比H

令100

010平移

-X。一%1

100

。

cossin30超y2U=ki必Uoio

R=-sincos。0-xo-Jo1

001旋轉(zhuǎn)

100

cos。sin00

010

%1]=卜2%1]-sin。cos。0

1

Jo001

T=T}RT2平移

則有100

10

\x居1卜4乂1]=卜3%1]0

LL

_______________________/比L

-Pi\\TXRT2不必1T

旋轉(zhuǎn)變換示意圖■

，

干5.4二維觀察

■

第

基本概念

5

章在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，將在用戶坐標(biāo)系中

圖需要進(jìn)行觀察和處理的一個(gè)坐標(biāo)區(qū)域稱為

窗口(Window)

形

變將窗口映射到顯示設(shè)備上的坐標(biāo)區(qū)域稱

換為

與

觀

察

第

5

章

圖

形

變

換

與

觀圖4-4坐標(biāo)系的分:

察

要將窗口內(nèi)的圖形在視區(qū)中顯示出來(lái)，必須經(jīng)過(guò)

將窗口到視區(qū)的變換(Window-Viewport

Transformation)處理,這種變換就是觀察變換

(ViewingTransformation)。

第

5

章

圖

形

變

換

與

用戶坐標(biāo)系中非矩形窗口用戶坐標(biāo)系中旋轉(zhuǎn)的窗

觀

察

觀察坐標(biāo)系(ViewCoordinate)和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系

(NormalizedDeviceCoordinate):

觀察坐標(biāo)系是依據(jù)窗口的方向和形狀在用戶坐標(biāo)平面中定義

的直角坐標(biāo)系。

規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系也是直角坐標(biāo)系，它是將二維的設(shè)備坐標(biāo)

系規(guī)格化到(0.0,0.0)到(1.0,1.0)的坐標(biāo)范圍內(nèi)形成的。

O

1

視區(qū)

1xNDC

⑸觀察坐標(biāo)系(b)規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系

引入了觀察坐標(biāo)系和規(guī)格化設(shè)備坐標(biāo)系后，觀

第察變換分為如下圖所示的幾個(gè)步驟，通常稱為二維

5觀察流程。

早

圖

應(yīng)

用

窗

到視

口

形

戶

坐

察

坐

視圖

用

觀

區(qū)

程

序

規(guī)范

區(qū)I

系

下

規(guī)

到

系

范

標(biāo)

標(biāo)

化

到

變

備坐

圖

化

設(shè)在圖形

窗

口

標(biāo)

坐

觀

察

系

對(duì)

VCNDC到

形

中定

的

標(biāo)