考研數(shù)學(xué)一高等數(shù)學(xué)-試卷45-真題(含答案與解析)-交互

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）-試卷45(總分56,做題時間90分鐘)1.選擇題選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)符合題目要求。1.

設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中正確的個數(shù)是()①φ[f(x)]必有間斷點(diǎn)。②[φ(x)]2必有間斷點(diǎn)。③f[φ(X)]沒有間斷點(diǎn)。A

0。B

1。C

2。D

3。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:A解析：①錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)。③錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=在x=0處間斷。因此選A。2.

設(shè)f(x)=｜x｜sin2x，則使導(dǎo)數(shù)存在的最高階數(shù)n=()A

0。B

l。C

2。D

3。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:C解析：故f(3)(0)不存在。因此n=2，選C。3.

設(shè)f(x)=aretanx-(x≥1)，則()A

fx(x)在[1，+∞)單調(diào)增加。B

f(x)在[1，+∞)單調(diào)減少。C

f(x)在[1，+∞)為常數(shù)D

f(x)在[1，+∞)為常數(shù)0。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:C解析：按選項(xiàng)要求，先求f"(x)。又f(x)在[1，+∞)連續(xù)，則f(x)=常數(shù)=f(1)=。故選C。4.

若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個原函數(shù)為()A

1+sinx。B

1-sinx。C

1+cosx。D

1-cosx。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:B解析：由f"(x)=sinx，得∫(x)=∫f"(x)dx=∫sinxdx=-cosx+C1，所以f(x)的原函數(shù)是F(x)=∫f(x)dx=∫(-cosx+C1)dx=-sinx+C1x+C2，令C1=0，C2=1得F(x)=1-sinx。故選B。5.

在曲線x=t，y=-t2，z=t3的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()A

只有一條。B

只有兩條。C

至少有三條。D

不存在。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:B解析：曲線x=t,y=-t2，z=t3在點(diǎn)t=t0處的切向量為t=(1，-2t0，)。平面z+2y+z=4的法向量為n=(1，2，1)。由題設(shè)知n⊥t，即1-4t0+=0，則t0=1或，故選B。6.

交換積分次序?yàn)?)A

B

C

D

該題您未回答:х

該問題分值:2答案:D解析：交換積分次序得7.

如果級數(shù)()A

都收斂。B

都發(fā)散。C

斂散性不同。D

同時收斂或同時發(fā)散。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:D解析：由于ab=(an+bb)-bn，且發(fā)散時，必發(fā)散，故選D。2.填空題1.

設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)確定，則=__________。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：1解析：當(dāng)x=0時，y=1。對方程兩邊求導(dǎo)得y"-1=ex(1-y)(1-y-xy")，將x=0，y=1代入上式，可得y"(0)=1，所以2.

對數(shù)螺線ρ=eθ在點(diǎn)(ρ，θ)=處切線22.的直角坐標(biāo)方程為_________。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：解析：螺線方程ρ=eθ可以化為隱函數(shù)方程，即利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，得到在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為y"(0)=-1，因此所求的切線方程為化簡為3.

已知∫f"(x3)dx=x3+C(C為任意常數(shù))，則f(x)=________。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：解析：對等式∫f"(x3)dx=x3+C兩邊求導(dǎo)，得f"(x3)=3x2。令t=x3，則f"(t)=4.

設(shè)z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g(shù)、φ具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則=________。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：g"(x+y)+xg""(x+y)+(xy)+xy2φ(zy)解析：=g(x+y)+xg"(x+y)+y2φ"(xy)，=g"(x+y)+xg""(x+y)+2yφ"(xy)+xy2φ""(xy)。5.

設(shè)D為不等式0≤x≤3，0≤y≤1所確定的區(qū)域，則=________。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：解析：由題干可知6.

設(shè)∑是錐面z=(0≤z≤1)的下側(cè)，則xdydz+2ydzdx+5(z-1)dxdy=____。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：2π解析：設(shè)∑：z=1，x2+y2≤1，取法向量方向朝上，則∑與∑1圍成的區(qū)域?yàn)棣?，那?.

級數(shù)的和為_______。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：解析：令S(x)=，｜x｜＜1，那么有8.

微分方程y"=1+x+y2+xy2的通解為_______。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:正確答案：y=tan(1+x)2+C]解析：將已知方程變形后，并整理得兩邊積分可得3.解答題解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1.

求該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：2.

設(shè)a＞1，f(t)=at-at在(-∞，+∞)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a)。問a為何值時，t(a)最小?并求出最小值。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：令f"(t)=a"lna-a=0，解得f(t)的駐點(diǎn)為t(a)=對t(a)關(guān)于a求導(dǎo)，可得令t"(a)＞0，解得a＞ee。則當(dāng)a＞ee時，t(a)單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a＜e。時，t(a)單調(diào)遞減。所以當(dāng)a=ee時，t(a)最小，且最小值為t(ee)=3.

求不定積分該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：由，則4.

設(shè)曲線在(x0，y0)處有公切線(如圖1-3-4所示)，求這兩條曲線與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：由兩曲線在(x0，y0)處有公切線得解得x0=e2，a=e-1。所求的旋轉(zhuǎn)體體積等于曲線分別與x軸及直線x=e2所圍成平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積之差，即5.

設(shè)直線L：在平面∏上，而平面∏與曲面z=x2+y2相切于點(diǎn)(1，-2，5)，求a，b的值。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：令F(x，y，z)=x2+y2-z，則有Fx=2x，F(xiàn)y=2y，F(xiàn)z=-1，在點(diǎn)(1，-2，5)處曲面的法向量為n={2，-4，-1}，于是切平面的方程為2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0，即2x-4y-z-5=0。根據(jù)得到y(tǒng)=-x-b，z=x-3+a(-x-b)，將其代入平面方程有2x+4x+4b-x+3+ax+ab-5=0．因此有5+a=0，4b+ab-2=0，解得a=-5，b=-2。6.

設(shè)函數(shù)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=f(exsiny)滿足方程，求f(u)。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：代入方程中，得到f""(u)-f(u)=0，解得f(u)=C1eu+C2e-u，其中C1，C2為任意常數(shù)。7.

計算曲線積分sin2dx+2(x2-1)ydy，其中L是曲線y=sinx上從點(diǎn)(0，0)到點(diǎn)(π，0)的一段。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：按曲線積分的計算公式直接計算。8.

計算曲面積分I=2x3dydz+2y2dzdx+3(z2-1)dxdy，其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上側(cè)。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：取∑1為xOy平面上被圓x2+y2=1所圍部分的下側(cè)，記Ω為由∑與∑1圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知故I=2π-3π=-π。9.

將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：f(x)=，比較兩邊系數(shù)可得A=，B=，即10.

設(shè)f(t)連續(xù)且滿足f(t)=cos2t+，求f(t)。該題您未回答:х

該問題分值:2答案:

正確答案：因f(t)連續(xù)，所以可導(dǎo)，從而f(t)可導(dǎo)，于是則f(t)=e∫sintdt[∫-2sin2t．e-∫sintdtdt+C]=C．e-cost+4(cost-1)。由f(0)=1得C=e。因此f(t)=e1-cost+4(cost-1)。11.

從船上向海中沉放某種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m，體