2024年高考數學二模試題分類匯編（廣東專用）專題02 函數和基本函數及性質（五大題型解析版）

專題02函數及基本函數的性質題型01函數的性質1．（2024·廣東中山·二模）已知函數，若存在最小值，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，故當時，有最小值為；時，單調遞減，所以，由題意存在最小值，則，解得，即的最大值為.故選：A2.（2024·廣東·模擬預測）關于函數，下列說法正確的個數是（

）．①是奇函數；②是周期函數；③有零點；④在上單調遞增．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】對于①，函數定義域為，且，則為奇函數，故①正確；對于②，若是周期函數，設其最小正周期為，則，即，變形得，，對任意恒成立，令，可得，，設，而，，所以只有唯一的解，故由，由此可知它不是周期函數，故②錯誤；對于③，因為，在上有零點，故③正確；對于④，由于，故在上單調遞增，故④正確.故選：C.3.（2024·廣東清遠·二模）若函數為奇函數，則實數（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】由題意可得，，，，整理可得，對任意都成立，，.故選：B4.（2024·廣東珠?！ざ＃┮阎?，為奇函數，且，則（

）A．4047 B．2 C． D．3【答案】C【詳解】由函數為奇函數，可得關于點對稱，且，所以，即，又因為，可得，即，則，所以，所以函數是周期為的周期函數，因為，，可得，，所以.故選：C.5．（2024·廣東肇慶·二模）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于選項A，當時，，當時，，即，所以選項A不滿足題意，對于選項B，因在區(qū)間上不單調，所以選項B不滿足題意，對于選項C，因為圖象不關于軸對稱，所以選項C不滿足題意，對于選項D，令，易得其定義域為，關于原點對稱，又，所以為偶函數，當時，，又在區(qū)間上單調遞增，所以選項D滿足題意，故選：D.6.（2024·廣東惠州·二模）下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A：定義域為，為非奇非偶函數，故A錯誤；對于B：定義域為，為奇函數，但是函數在上單調遞減，故B錯誤；對于C：為奇函數，定義域為，但是函數在上不單調，故C錯誤；對于D：令定義域為，且，所以為奇函數，且當時，函數在上單調遞增，故D正確.故選：D7.（2024·廣東湛江·二模）（多選）已知函數的定義域為，不恒為零，且，則（

）A．B．為偶函數C．在處取得極小值D．若，則【答案】ABD【詳解】對于選項A，令，得，解得或，當時，令，則，則，這與不恒為零矛盾，所以，故選項A正確，對于選項B，令，則，即，即為偶函數，所以選項B正確，對于選項C，取，滿足題意，此時不是的極小值點，所以選項C錯誤，對于選項D，令，得，若，則，則，則，所以選項D正確，故選：ABD.8.（2024·廣東·二模）（多選）下列函數中，是偶函數且在上單調遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】對于A：，為偶函數，當時，，，的單調遞減區(qū)間為，的遞增區(qū)間為，而，所以在上單調遞增，故A正確；對于B：，為偶函數，當時，，，的單調遞增區(qū)間為，的單調遞減區(qū)間為，而，所以在上單調遞減，故B錯誤；對于C：，為偶函數，當時，，的單調遞減區(qū)間為，則的單調遞增區(qū)間為，而，所以在上單調遞增，故C正確；對于D：，所以為非奇非偶函數，故D錯誤.故選：AC.9．（2024·廣東·模擬預測）（多選）關于函數的周期性，下列說法正確的有（

）A．是周期函數，最小正周期為B．是周期函數，最小正周期為C．是周期函數，最小正周期為D．是周期函數，最小正周期為【答案】CD【詳解】對于A，假設是周期函數，則對任意實數，存在非零常數，使得，即，顯然對任意實數不恒成立，因此不是周期函數，A錯誤；對于B，任意實數，成立，因此是周期函數，是其周期，B錯誤；對于C，函數的最小正周期依次為，顯然，如，左邊為，而右邊為1，而恒成立，因此是周期函數，最小正周期為，C正確；對于D，函數的最小正周期依次為，顯然，而恒成立，因此是周期函數，最小正周期為，D正確.故選：CD10．（2024·廣東江門·二模）已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．函數有且僅有一個零點 B．函數是奇函數C．在上單調遞減 D．函數的最小值為【答案】CD【詳解】函數，對于A，由，得或，A錯誤；對于B，，而，，函數不是奇函數，B錯誤；對于C，函數在上單調遞減，在上單調遞減，且，因此在上單調遞減，C正確；對于D，當時，，當時，，當且僅當時取等號，因此函數的最小值為，D正確.故選：CD11.（2024·廣東·模擬預測）已知，若，則．【答案】3或【詳解】當時，，解得；當時，，解得．故答案為：3或.題型02基本函數1.（2024·廣東·二模）已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：C.2.（2024·廣東·模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量滿足函數模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數量，n為改良工藝的次數．假設廢水中含有的污染物數量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少為（

）（參考數據：，）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【詳解】由題意知，，當時，，故，解得，所以．由，得，即，得，又，所以，故若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數最少要15次．故選：D3．（2024·廣東清遠·二模）已知函數，存在使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，當a≤0時，當x＞0時，，f(x)如圖：f(x)≥0恒成立，不滿足題意；當a＞0時，，f(x)如圖：當時，．故選：D．4.（2024·廣東·模擬預測）設a，b，c都是正數，且，那么（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】依題意設，則，，，所以，則，故A，C錯誤；則，故B錯誤；則，故D正確.故選：D.5.（2024·廣東清遠·二模）德國心理學家艾·賓浩斯研究發(fā)現，人類大腦對事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據實驗數據繪制出“遺忘曲線”．“遺忘曲線”中記憶率隨時間（小時）變化的趨勢可由函數近似描述，則記憶率為時經過的時間約為（

）（參考數據：）A．2小時 B．0.8小時 C．0.5小時 D．0.2小時【答案】C【詳解】根據題意得，整理得到，兩邊取以為底的對數，得到，即，又，所以，得到，故選：C.6.（2024·廣東惠州·二模）設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若,由，取，但是，而，則,又，則中至少有一個大于1，若都小于等于1，根據不等式的性質可知，乘積也小于等于1，與乘積大于1矛盾，則,故，所以是的必要而不充分條件.故選：B題型03函數的圖像的識別1．（2024·廣東佛山·二模）如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線（）左側的圖形的面積為．則函數的大致圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】依題意，當時，可得直角三角形的兩條直角邊分別為，從而可以求得，當時，陰影部分可以看做大三角形減去一個小三角形，可求得，所以，從而可知選項A的圖象滿足題意.故選：A.2．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象的形狀大致是（

）A． B．C． D．E．均不是【答案】A【詳解】當點在上時，，當點在上時，，當點在上時，，其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.故選：A.3.（2024·廣東珠?！ひ荒＃┮韵滤膫€選項中的函數，其函數圖象最適合如圖的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據題意，用排除法分析：對于選項A：，當時，有，不符合題意；對于選項B：當時，，不符合題意；對于選項D：的定義域為，不符合題意；故選：C．題型04函數與方程1.（2024·廣東梅州·二模）三個函數，，的零點分別為，則之間的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】函數，，的零點，即函數,,,的圖象交點的橫坐標，在同一平面直角坐標系中畫出，,,的圖象，由圖象可知，．故選：B．2.（2024·廣東湛江·二模）已知函數，，則（

）A．當有2個零點時，只有1個零點B．當有3個零點時，有2個零點C．當有2個零點時，有2個零點D．當有2個零點時，有4個零點【答案】D【詳解】兩個函數的零點個數轉化為圖象與的圖象的公共點的個數，作出，的大致圖象，如圖所示.由圖可知，當有2個零點時，無零點或只有1個零點；當有3個零點時，只有1個零點；當有2個零點時，有4個零點.故選：D3.（2024·廣東·模擬預測）設，對任意的實數，記函數（表示中的較小者）.若方程恰有5個不同的實根，則滿足題意的條件可能為.（填寫所有符合題意的條件的序號）①；②或；③；④.【答案】②③④【詳解】由可得或，而，當時，令，所以，此時，如圖，則，由圖象知有4個不同的交點，故只能有一個交點，顯然不符合要求，故不滿足題意，①舍去，

當由圖象知有3個不同的交點，要使方程恰有5個不同的實根，則需要有2個交點，故或，故②可能，

若由圖象知有2個不同的交點，要使方程恰有5個不同的實根，則需要有3個交點，顯然滿足，故③可能，

當時，作出圖象如下：令，此時，由圖象可知有2個不同的交點，要使方程恰有5個不同的實根，則需要有3個交點，顯然滿足，故④可能，故答案為：②③④

4.（2024·廣東中山·二模）設函數，①若有兩個零點，則實數的一個取值可以是；②若是上的增函數，則實數的取值范圍是．【答案】（內的值都可以）或【詳解】①函數在上單調遞增，，所以函數在區(qū)間上無零點，則函數在上有2個零點，即