山東省青島市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023－2024學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平質(zhì)量檢測八年級數(shù)學(xué)學(xué)科（考試時間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．在下面的四個圖形中，能由左圖經(jīng)過平移得到的圖形是（

）A． B． C． D．2．已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．3．下列從左到右的變形，是分解因式的是(

)A． B．C． D．4．已知點在第四象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B． C． D．5．用反證法證明命題：“在中，，則”．應(yīng)先假設(shè)（

）A． B． C． D．6．如圖，已知中，，，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，是的垂直平分線，恰好平分．若，則的長為（

）A．4 B．3 C． D．8．如圖，兩個大小一樣的直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著方向平移到的位置，若，則陰影部分的面積等于（

）A． B． C． D．9．王老師準(zhǔn)備用60元買鋼筆和墨囊，已知一支鋼筆5元；一盒墨囊8元，他購買了5支鋼筆，則他最多還能買（

）盒墨囊．A．3 B．4 C．5 D．610．如圖，在△ABC中，，按以下步驟作圖．若，則的長是（

）①以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交于點E，F(xiàn)；②分別以點E，F(xiàn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點O；③作射線，交于點D；④以點D為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交于點M，N；⑤分別以點M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G，連接交于點H

A． B．4 C．3 D．二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）11．分解因式：．12．不等式的解集，則m的取值范圍為．13．線段的兩端點坐標(biāo)分別為，，經(jīng)過平移后，點A的對應(yīng)點，則點B的對應(yīng)點坐標(biāo)為．14．如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是．15．若等邊內(nèi)一點P到三邊的距離分別為3，4，5，則的面積為．16．如圖，在中，，于，的平分線交于點，交于，于，的延長線交于點，下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤連接，若，則，其中正確的結(jié)論有．（填序號）三、解答題（共72分）17．如圖，已知A，B，C是平面直角坐標(biāo)系上的三個點．

(1)請畫出關(guān)于原點O對稱的；(2)將向右平移8個單位得到，請畫出；(3)與是否也關(guān)于某個點成中心對稱？如果是，請寫出它們對稱中心的坐標(biāo)，如果不是，請說明理由．18．尺規(guī)作圖：如圖所示，一條鐵路經(jīng)過、兩地，計劃修一條經(jīng)過到鐵路的最短公路，并在公路上建一個維修站，使得到、距離相等．19．（1）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上．（2）求不等式組的解集．（3）因式分解：．20．如圖，中，，，，過的垂直平分線上一點作于，延長線于；且，連接．(1)求證：；(2)的長為______．21．某印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數(shù)收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要．兩種印刷方式的費用y（元）與印刷份數(shù)x（份）之間的關(guān)系如圖所示：（1）填空：甲種收費的函數(shù)表達式是，乙種收費的函數(shù)表達式是．（2）請你根據(jù)不同的印刷數(shù)量幫忙確定選擇哪種印刷方式較合算．22．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．（1）試說明△CEF是等腰三角形．（2）若點E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系．23．要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，A種規(guī)格是長、寬、高都為的正方體無蓋木盒，B種規(guī)格是長、寬、高各為，，的長方體無蓋木盒，如圖1．現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽略不計．

(1)設(shè)制作A種木盒x個，則制作B種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材__________張；(2)該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規(guī)格的無蓋木盒，請分別求出A，B木盒的個數(shù)和使用甲，乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；(3)包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價定為a元，B種木盒的銷售單價定為元，兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤．24．通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．根據(jù)，易證△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．25．在平面直角坐標(biāo)系中，點A在軸的正半軸上，點在第一象限，作射線．給出如下定義：如果點在的內(nèi)部，過點作于點，于點，那么稱與的長度之和為點關(guān)于的“內(nèi)距離”，記作，即．(1)如圖1，若點在的平分線上，則___________，___________，___________；(2)如圖2，若，點（其中）滿足，求的值；(3)若，點在的內(nèi)部，用含，的式子表示（直接寫出結(jié)果）．

參考答案與解析1．D【分析】本題考查的是平移的概念，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：D選項圖形中，是由如圖經(jīng)過平移得到的圖形，故選：D．2．D【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案．【解答】解：A、∵，根據(jù)不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不等號方向不變可知：，當(dāng)不一定小于，故選項不成立，不符合題意；B、∵，根據(jù)不等式兩邊同時乘以一個負(fù)數(shù)，不等號方向改變可知：，故選項不成立，不符合題意；C、∵，當(dāng)時，不等式不成立，故選項不成立，不符合題意；D、∵，根據(jù)不等式兩邊同時除以一個正數(shù)，不等號方向不變可知：，故選項成立，符合題意；故選：D．3．A【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義判斷，利用排除法求解．【解答】A、是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項符合題意；B、中含有分式，此選項不符合題意；C、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項不符合題意；D、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項不符合題意．故選：A．【點撥】本題考查分解因式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握分解因式的定義．4．C【分析】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的特征，解不等式組，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點在第四象限，可得，解出即可求解．【解答】解：∵點在第四象限，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴，在數(shù)軸上表示如下：故選：C．5．D【分析】假設(shè)結(jié)論不成立，即【解答】∵命題：“在中，，則”，∴假設(shè)為：，故選：D【點撥】本題考查了用反證法證明命題，掌握反證法的假設(shè)為結(jié)論不成立是解決問題的關(guān)鍵6．A【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，由，可求出，由旋轉(zhuǎn)得從而可求出【解答】解：∵在中，，，∴,又將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，∴,∴，故選：A7．A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．先證明，，再求解，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵是的垂直平分線，∴，∴，∵平分，且，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．8．B【分析】本題考查了平移的性質(zhì)．正確表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．由平移的性質(zhì)可知，，，，則，根據(jù)，計算求解即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，，，，∴，∴，故選：B．9．B【分析】本題考查不等式的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當(dāng)未知數(shù)，找出不等量關(guān)系，列出不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)他還能買盒墨囊，根據(jù)買冰激凌的錢買手抓餅的錢要小于或等于60元，列不待式求解即可．【解答】解：設(shè)他還能買x盒墨囊，根據(jù)題意，得：，解得：，∵x為整數(shù)，∴他最多還能買4盒墨囊．故選：B．10．B【分析】過D點作于K，由作法得：平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得，即可求解．【解答】解：過D點作于K，如圖，

由作法得：平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點撥】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】本題考查因式分解，提公因式即可分解．【解答】解：．故答案為：12．【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)解答即可，本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解答】解：∵不等式的解集，∴，解得：．故答案為：．13．【分析】本題考查了坐標(biāo)系中圖形的平移，熟知上加下減，左減右加的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．坐標(biāo)系中點的平移遵循：上加下減，左減右加的規(guī)律，據(jù)此可由點A平移前后的坐標(biāo)得出平移方式，即可解答．【解答】解：∵點經(jīng)過平移后得到像點，∴點A的平移方式是先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，∴點經(jīng)過平移后得到的像點的坐標(biāo)為；故答案為：．14．##【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：以交點為分界，結(jié)合圖象寫出不等式的解集即可．【解答】函數(shù)和的圖象相交于點不等式，即解集為：函數(shù)的圖像在的函數(shù)圖像上方的范圍觀察圖可知，解集為將代入中，得：解得：因此，當(dāng)時，即函數(shù)與軸的交點為：，即解集為：函數(shù)的圖像在軸上方的范圍解集為：綜上：不等式的解集為：故答案為：15．【分析】本題考查等邊三角形的面積，勾股定理，連接，，，過點P作于點D，于點E，于點F，等邊的邊長為a，則．過點A作于點H，則，，，從而得到方程，求解即可解答．【解答】解：如圖，連接，，，過點P作于點D，于點E，于點F，∴，，，設(shè)等邊的邊長為a，即，∴，過點A作于點H，則，∴在中，，∴，∴，解得或（不合題意，舍去）∴．故答案為：16．①②③⑤【分析】證明，可得，故①正確；由，可得，再證明為等腰三角形，從而得到，進而得到，易知，故②正確；結(jié)合可得，進而證明，故③正確；根據(jù)題意無法確定、的大小關(guān)系，則無法得到，故④錯誤；結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得，，進而可得，故⑤正確．【解答】解：∵，∴，∵是的平分線，∴，在和中，∴，∴，故①正確；∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，故③正確；根據(jù)題意無法確定的大小、的大小關(guān)系，∴無法得到，故④錯誤；∵，∴，，∴，即，又∵，∴，故⑤正確．綜上所述，正確的有①②③⑤．故答案為：①②③⑤．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角兩銳角互余、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．17．(1)見解析(2)見解析(3)與關(guān)于點對稱，理由見解析【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)找到A、B、C對應(yīng)點，然后順次連接即可；（2）先根據(jù)平移方式找到的對應(yīng)點，然后順次連接即可；（3）求出的中點是同一點，即，則與關(guān)于點對稱．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；

（3）解：與關(guān)于點對稱，理由如下：由題意得，，，，，，，∴的中點坐標(biāo)分別為，，，即的中點是同一點，∴與關(guān)于點對稱．【點撥】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移和中心對稱，畫平移圖形，畫中心對稱圖形，找對稱中心等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．18．見解析【分析】本題考查了作垂線，垂線段最短，垂直平分線的性質(zhì)；先過點作的垂線，再作的垂直平分線，兩直線相交于，點即為所求【解答】如圖所示，點即為所求；19．（1）；數(shù)軸見解析；（2）；（3）【分析】本題主要考查了解不等式和不等式組，因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準(zhǔn)確計算．（1）先去括號，然后再移項，合并同類項，最后把系數(shù)化為1，并把解集表示在數(shù)軸上即可；（2）分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集即可；（3）用提公因式法分解因式即可．【解答】解：（1），去括號得：，移項，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，把解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：；（3）．20．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理；（1）根據(jù)題意得出，進而證明，即可得證；（2）勾股定理求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，，，證明四邊形是矩形，可得，，設(shè)，則，，在，中得出，進而根據(jù)建立方程，解方程得出，進而在中，勾股定理，即可求解．【解答】（1）解：∵，∴，在中，∴，∴，（2）∵中，，，，∴∵是的垂直平分線，∴，，，又∵∴∴四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，，∴，在中，，在中，∵∴解得：，∴，在中，．故答案為：．21．（1）y=0.1x+6（x≥0）；y=0.12x（x≥0）（2）當(dāng)0≤x＜300時，選擇乙種方式較合算；當(dāng)x=300時，選擇甲乙兩種方式都可以；當(dāng)x>300時，選擇甲種方式較合算．【分析】（1）設(shè)甲種收費的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關(guān)系式是y2=k1x，直接運用待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；（2）由（1）的解析式分三種情況進行討論，當(dāng)y1＞y2時，當(dāng)y1=y2時，當(dāng)y1＜y2時分別求出x的取值范圍就可以得出選擇方式．【解答】解：（1）設(shè)甲種收費的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關(guān)系式是y2=k1x，由題意，得，12=100k1，解得：，k1=0.12，∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；（2）由0.1x+6＞0.12x，得x＜300；由0.1x+6=0.12x，得x=300；由0.1x+6＜0.12x，得x＞300．由此可知：當(dāng)0≤x＜300時，選擇乙種方式較合算；當(dāng)x=300時，選擇甲乙兩種方式都可以；當(dāng)x>300時，選擇甲種方式較合算．22．（1）見解析（2）見解析【分析】（1）首先根據(jù)條件∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，可證出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根據(jù)同角的補角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角對等邊即可得出答案；（2）線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分線，得到∠CAE＝∠EAB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴△CEF是等腰三角形；（2）∵點E恰好在線段AB的垂直平分線上，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠CAE＝∠EAB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠B＝30°，∴AC＝AB．【點撥】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．(1)，(2)制作A種木盒100個，B種木盒100個；使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板50張(3)A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；（2）根據(jù)題意可得，制作一個A種木盒需要長、寬均為的木板5個，制作一個B種木盒需要長、寬均為的木板1個，長為10cm、寬為的木板4個；甲種方式可切割長、寬均為的木板4個，乙種方式可切割長為10cm、寬為的木板8個；列關(guān)系式求解即可；（3）先根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)求得總成本金額，根據(jù)利潤=售價-成本列式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【解答】（1）解：∵要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個，故制作B種木盒個；∵有200張規(guī)格為的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，故使用乙種方式切割的木板材張；故答案為：，．（2）解：使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出個長、寬均為的木板，使用乙種方式切割的木板材張，則可切割出個長為、寬為的木板；設(shè)制作A種木盒x個，則需要長、寬均為的木板個，制作B種木盒個，則需要長、寬均為的木板個，需要長為、寬為的木板個；故解得：，故制作A種木盒100個，制作B種木盒100個，使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，（3）解：∵用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，故總成本為（元）；∵兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元，即，解得：，故的取值范圍為；設(shè)利潤為，則，整理得：，∵，故隨的增大而增大，故當(dāng)時，有最大值，最大值為，則此時B種木盒的銷售單價定為（元），即A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系進行列式是解題的關(guān)鍵．24．解：（1）SAS；△AFE．（2）∠B+∠D=180°．（3）BD2+EC2=DE2．理由見解析【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．【解答】解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，AI

∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，則∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案為：SAS；△AFG；（2）類比引申∠B+∠ADC=180°時，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2所示：

∴∠BAE=∠