第4章 圖形處理技術基礎

第4章圖形處理技術基礎

4.1圖形的幾何變換

-圖形幾何變換的基本原理

-二維圖形的基本變換

■二維圖形的組合變換

■三維圖形的變換、工程圖的生成

4.L1圖形幾何變換的基本原理

-圖形：無論二維或圖形，都是由組成圖形的點、

點之間的連線、連線構成的面、以及點、線、

面之間的關系表達的。

■圖形變換：只是改變圖形頂點的坐標，不改變

它們的拓撲關系。

■從原理上講：圖形的幾何變換，實際上位點的

變換。

4.L2二維圖形的基本變換

■一個點的坐標可以用矩陣形式[Xy]或表示，坐

標變換的矩陣表示形式為：步

■AT=B,T為變換矩陣

ab

設T

cd

ab

[axbx

[xy][xc。加

y]

變換類型

*

xaxcy

(1)比例變換

V*bxdy

當b=c=O,a、d>0,

A

[X**y][X[axdy]

中)等比例變換

a=d時

2)不等比例變換

a#d時

（2）對稱變換

1）對X軸x*axcy

a=1,d=—1；y*bxdy

2）對Y軸

a=—1,d=1；

3）對原點

A=—1,d=-1

（3）錯切變換

1）沿X方向Y

b=0,d=La=Lc#0時，

[x*y^lx+cyy]

練習：對如圖所示的邊長為10的正

方向進行c=2的錯切變換。

4OO)OO)Z*

0

81o1O1O05

1*

00

c1KO1⑵13O1C

1*

DOO——0

1。*

20

2）沿Y方向

a=l,c=0,d=Lb#0時，

[x*y^]=[xbx+y]

練習：對如圖所示的邊長為10的

正方向進行b=-0.5的錯切變換。

X*axcy

A0000y*bxdy

510010.5105B*

C101001105G

DO1000D*

3）沿X、Y兩個方向錯切

a=d=l,b，0,cWO時，[x*/]=[*+①bx+y]

舉例：對如圖所示的邊長為10的正方向進行b=c=0.5的錯

切變換。

x*axcy

y*bxdy

（4）旋轉變換

當。dcos,bsin.csin,

[x**y][xcosj/siliixsmycos

繞原點的旋轉，轉角逆時針為正。

x*axcy

y*bxdy

（5）平移變換

■無論變換矩陣中的即b,c,dx*ax

為何值，均不能實現(xiàn)圖形y*bxdy

的平移，為此需要圖形的

另一種表示坐標一齊次坐

標。

齊次坐標

z[HxHyHzH]

齊次坐標

■將一個11維空間的點用n+1維坐標來表示。

口如在直角坐標系中，二維點［xy］的齊次坐標

通常用三維坐標［HxHyH］表示；

口一個三維點［xyz］的齊次坐標通常用四維坐

標［HxHyHzH］表示。

口最后一維坐標H稱為比例因子，H為不為零

的任意實數(shù)。

■直角坐標與齊次坐標的關系

x=Hx/H

y=Hy/H

z=Hz/H

■任一點可用多個齊次坐標表示。

■例如二維點(20,10)用齊次坐標可表示為：(20,

10,1)、(40,20,2)或者(30,15,1.5);

■同理三維點(2,3,5)的齊次坐標可表示為(2,

3,5,1)或者(20,30,50,10)。

一般，總是將H設為“產，以保持兩種坐標的一致

________________________________________________

ab

變換矩陣:Tftdq

Ims

當a=d=s=l,b=c=p=q=O,I、而不全為0時,

,100I

x**y1xy1010[x

加11Im

/為x方向的平移因子,1%為丫方向的平移因

子。

齊次變換矩陣

■對于二維坐標系上的點，齊次坐標為［HxHyH］；

■齊次坐標變換矩陣的形式是：

可以實現(xiàn)圖形的比列、

對稱、錯切、旋轉等

S

4.L3二維圖形的組合變換

■工程應用中，僅用基本變換不能實現(xiàn)圖形的

變換；

■必須采用兩種或兩種以上的基本變換組合才

能完成，即組合變換。

■設各次變換的變換矩陣分別為TLT2,

Tn,則組合變換矩陣是各次變換矩陣的乘

積。

繞任意一點對圖形實施旋轉變換

例1：三角形abc,坐標分別為a(6,4),b(9,4),c

(6,6),繞A(5,3)點逆時針旋轉90。

圖形變換由如下

步驟組合：

(1)平移變換

(2)旋轉變換

(3)平移變換

(1)將圖形平移

(—5,—3),使100

得旋轉中心在原點no1o

531

(2)三角形繞原

0-

點旋轉變換

0

(3)將圖形平移(/,

陽)，得到滿足要求

的幾何變換。

①-④

■組合變換矩陣

H1oo0I0I00

TT\T2T010I000I0

li|l5Jl31

00I53I

則，變換后的頂點：

XJ6

a44I

，

XV9

Q-47

1

，

XJ6

a24I

思考：當圖形要對畫面中的某一點A(Xo，y°)作放

大時，通過哪些基本變換復合而成？

(1)首先將圖形平移，使點A與坐標原點(0,0)

重合；

⑵然后圖形以(0,0)為中心作放大；

(3)最后將圖形平移，使點A回原處。

則以點（1yj為中心,放大系數(shù)分別為XS>

S的組合變換矩陣為：

V

LLI1oosxoohoo

o,s001

TT1T2TT010

1001Un%UnJy

1

4.L4三維圖形的幾何變換

三維點坐標—三維點齊次坐標

(x,y,z)——(x,y,z,1)

三維圖形的幾何一

變換矩陣

/in

000

比例0^00

T=

變換00i0

0001

1000

0100

等比例T=

變換0010

000s

1000店z[

平移0100

T=

變換0010

mn\

三維圖變換及其變換矩陣

變換變換

名稱柜庫圖例說明

。一繞渤的旋轉角,

逆時針為正，順時針為

負。

4

"cosfi0-smO'Z

0100P—繞Y軸的旋轉角,

旋轉sinfi0cosfl0逆時針為正，順時針為

變換0001_0負°

■cosysinx0o-

店:包7-繞Z軸的旋轉角,

-sinycosy00

0010逆時針為正，順時針為

0001負。

三維圖變換及其變換矩陣

變換變換

名稱矩陣圖例說明

1000

0100

T

00-10對XOY平面的對稱變換

Y

0001乂嚀

1000

『0-100

對稱T—

0010對XOZ平面的對稱變換

變換

0001

-1000

0100

對YOZ平面的對稱變換

0010

0001

三維圖變換及其變換矩陣

蠹矩陣變換圖例

說明

000

沿X含Y的錯切，

100

010d——錯切因子,

001

1000

沿X含Z的錯切，

,0100

錯切T=

g010g——錯切因子,

變換

0001

1600沿丫含X的錯切，

0100

T=

0010b——錯切因子,

0001

三維圖變換及其變換矩陣

（3）二維圖形變換及其變換矩陣

變換變換

名稱矩陣圖例說明

1000正面投影變換,

0000圖形在XOZ平面的投

0010影，即Y坐標的比例因子

0001為零。

水平面投影變換

1000

圖形在平面的投

0100XOY

投登T

0000影，即Z坐標的比例因子

變換

0001為零。

0000

圖形在YOZ平面的投

0100

T=影，即挫標的比例因子

0010

0001為零。

應用舉例：

(1)對稱變換

四棱錐S-ABCD對XOZ平

對稱變換

,4

00

2

00

B6301=5

10

6

01

、3

4.L5三維圖形的組合變換

■原理同于二維圖形的

組合變換

度”，求旋轉后的矢量。

I”

設旋轉后的矢量為

如圖：

V=c+n*(Z*h)

c=nXZXn*cosa+

nXZ*sina

4.1.6投影變換

■投影變換是各類變換中最重要的一種，是把n維坐標系中的

點交成才、于n維坐標系的點。

投影中心：投影線的匯聚

點，或投影參考點

投影線：物體發(fā)出的光線

與投影中心的連線

觀察平面：也稱投影面，

投影圖所在的平面

平行投影：投影中心與投

影面距離無限遠

透視投影：投影中心與投

影面距離有限

投影變換過程：

■建立觀察坐標系；

■將世界坐標系中的物體變換到觀察坐標系中;

■通過正投影變換將場景投影到觀察平面。

■Pref：注視點；P0：觀察原點；N：觀察平面法向量;

■觀察方向為N的反方向；

思考題：

1.如何確定XM部的方向？

規(guī)定向上方向V=[010],再通過矢量叉乘建立觀

察坐標系。

2.如何實現(xiàn)將世界坐標系中的物體變換到觀察坐標

系中？

1.平行投影

■按投影方向是否垂直投影面，分為正平行

投影和斜平行投影。

■正平行投影的投影方向垂直于投影面。

■正投影可測量實體的距離、角度，可度量

性好，在工程制圖中應用廣泛。

工程圖的生成

三維圖形轉化為二維工程圖的變換

Z

主視圖的生成

取XOZ面為主視圖的投

影面，變化矩陣為

ooo

o0o

o1O

OO1

俯視圖的生成

■俯視圖：取XOY面為投影面，然后繞x軸順時

針旋轉90度，然后平移一定的距離d。

俯視圖變換矩陣為

L管

1Ooo

10001000o1oo

01000cos(90)sin(90)0

oo

00000sin(90)cos(90)00ood

0001Ioo

左視圖的生成

■左視圖：取YOZ面為投影面,

然后繞Z軸逆時針旋轉90度，

然后平移d。

ooooO1OOO

o1o0cos90sin90oOO1OO

0sin90cos90

oo1ooooooOO

oo1dOO

oooo11

2.軸測投影

CAD/CAM設計的圖形大多數(shù)為三維，軸測圖的顯

示需要用到軸測投影變換。

軸測投影變換實質是三維組合變換，先繞2個軸旋

轉，在向一個平面投影。

例如先繞y軸旋轉（P角，再繞x軸旋轉。角，最后向

XOY平面投影。

OOo

COsin.ooOOO

OOOOoO1OO

sm1

cos

OO?OOOOO

sincosmcos

OOOOOOOOO

■軸間角：ZX1O1YiZxq不、/Y1O1Z1

■軸向變形系數(shù)：OiX[/ox=%/0丫=小O1Z1/

OZ=r|z

正二軸測投影變換

■當％=2%=1=1時，為正二軸測投影；

■先繞y軸旋轉（p=19。28”,再繞x軸旋轉。=

20°42”

■變換矩陣為：

0.9350.11800

00.94300

T

0.3540.31210

ooor

正等軸測投影變換

■當1=%=%=0?82時，為正等軸測投影；

■軸間角120。

■先繞y軸旋轉＜p=45。，再繞x軸旋轉。=35。16"

■變換矩陣為：

0.7070.40800

00.81600

0.7070.40810

八001

3.透視變換

■通過投影中心將三維形體投影到投影面的變換。

■投影線從投影中心出發(fā)，投影線不平行。

■比軸測圖更富立體感，投影面位于投影中心和實體之間。

小Z

P=(x,y,z)

■?

□投影中心/投影參考點(Projectionreferencepoint)

口為了簡化計算，一般情況下?。?/p>

(1)觀察平面位于觀察坐標原點；

(2)投影中心在Z眼能方向，即xyprp=0o

■則經過坐標變換，使觀察坐標系與世界坐標系重合

10°1°0°0

XyZ

011/40000

0010001

透視投影觀察體

落在近、遠裁剪平面之間的棱臺體內的物體才能被顯示。

OpenGL中，投影面與近裁剪平面重合，投影參考點位于

觀察坐標系原點。

OpenGL實現(xiàn)透視變換實例

#include"stdafx.h"

#defineGLUT_DISABLE_ATEXIT_HACKglClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);//Showthedolorwith

#include<GL/glut.h>displaywindowcolor

GLintwinWidth=600,winHeight=600;//Initialdisplay-/*Setparametersforacube.*/

windowsize.glColor3f(0.0,1.0,0.0);//Setobjectcolortogreen.

GLfloatxO=0.0,yO=0.0,zO=100.0;//Viewing-glutWireCube(50);

coordinateorigingIFIush();//PrcessallOpenGLroutinesasquicklyas

GLfloatxref=0.0,yref=0.0,zref=0.0;//Look-atpoint.possible

GLfloatVx=0.0,Vy=10,Vz=0.0;//View-upvector.}

/*Setcoordinatelimitsfortheclippingwindow:*/voidmain(intargc,char**argv)

GLfloatxwMin=-20.0,ywMin=-20.0,xwMax=20.0,ywMax={

20.0;glutlnit(&argc,argv);//InitialGLUT

/*Setpositionsfornearandfarclippingplanes:*/glutlnitDisplayMode(GLUT_SINGLE|GLUT_RGB);//Set

GLfloatdnear=30.0,dfar=150;displaymode,defaultset

voidinit(void)glutlnitWindowPosition(50,50);//Setleft-topdisplay

(windowposition

glClearColor(1.0,1.0,1.0,0.0);//SetdisplaywindowtoglutlnitWindowSize(winWidth,winHeight);//Setdisplay

whitewindowwidthandlength

gIMatrixMode(GL_MODELVIEW);//SetprojectioglutCreateWindow("PerspectiveViewofASquare");//Creat

parametersdisplaywindow

gluLookAt(xO,yO,zO,xref,yref,zref,Vx,Vy,Vz);init();//Executeinitializationprocedure

gIMatrixMode(GL_PROJECTION);//SetprojectioglutDisplayFunc(displayFcn);//Sendgrapicstodisplay

parameterswindow

gIFrustum(xwMin,xwMax,ywMin,ywMax,dnear,dfar);glutMainLoop();//Displayeverythingandwait

}}

voiddisplayFcn(void)

參考書［2］計算機圖形學，2.9、7.10節(jié)

課后思考題：

課后自運行以上程序，改變觀察點、參考點位置、遠、近

裁剪平面參數(shù)，觀察所得到的圖形，體會投影變換的原理。

■滅點：透視圖上任何一束不平行于投影面的

平行線的透視投影的交匯點。

■主滅點：與坐標軸平行的平行線的滅點。

■根據(jù)主滅點的個數(shù)，分為一點透視、二點透

視和三點透視。

1000

0101/yj

X0010fj

10001I(

p、q、r中，有1個不為零則為1點透視;

有2個不為零，則為2點透視；

有3個不為零，則為3點透視；

點透視三點透視

4.2圖形的消隱技術

4.2.1消隱的概念和作用

顯示設備描繪物體的圖形時，必須把三維信息

經過某種投影變換，在二維的顯示表面上繪制

出來。

在顯示三維圖形時，存在一些問題:

0圖形表達的二義性

(b)(c)

兩個立方體相互遮擋的關系

■概念

□消隱線和消隱面：沿著投影方向，三維實體被擋住

的線和面；

□消隱：消除消隱線和消隱面的過程。

□消隱技術：查找、確認并且消除隱藏的線與面的技

術。

■作用：

□投影變換失去了深度信息，導致圖形的二義性。

□消除圖形表達的二義性，提高圖形的真實感，使其

只有唯一解釋。

422消隱算法中的基本測試方法

測試那些線和面是可見的，那些是不可見

的。

1.重疊測試

許多物體的投影是由若干個多邊形構成的,

將這些多邊形兩兩判別，看它們是否有重

疊部分，如果不重疊，說明它們肯定不互

相遮擋。

nmsw------------------------------

□第一步（粗篩）：將根本不可能重疊的多變形

篩掉。判據(jù)為：

、＞linax",Emin；'/min~'Bniax

第二步：對于外接矩形有相交的情況；

□將多邊形的各邊與另一多邊形的每條邊比較;

口如果2個矩形有重疊，計算交點。

2.包含性測試

測試點與多邊形的包含關系有兩種方

法：

□射線交點數(shù)算法

□夾角求和算法

y\y卜引出射線;由交點數(shù)判斷。

二交點數(shù)為奇數(shù)時，點在多邊

形內；

"■交點數(shù)為偶數(shù)時，點在多邊

■■形外；

■射線經過頂點：

?兩條邊在射線兩側，

記相交一次；

--?兩條邊在射線一側，

記相交2或0次；

■射線經過多邊形的邊，改變

射線方向。

勺有向邊。

■測試點與多邊形每

條邊的兩端點構成

三角形；

■求被測試點與多變

形各邊對應的中心

角；

2，在內部；

I

0,在外部；

i

3?深度測試

深度測試是用來測

本方法。

?ZAZ2,點門喘;

■Z2>Z1，速可見；

4.可見性測試

判別物體哪些部分是可見的，哪些部分是不可見的。

矢量S為觀察方向；

Y

時、澗另］舉蟒卜

希鎏正則為可見面。

■

X

423常用消隱算法

■經過測試，可判別物體之間是否有重疊，如

果有重疊，需進行消隱處理。

?很多基本算法，適用某些領域，沒有一種能

夠使用所用的領域；

□Z緩沖器掃描線算法

Z緩沖器算法

■深度緩沖器算法，圖形消隱中經常使用的方法。

存放像素顏色值存放像素深度值

Z緩沖器算法基本原理

■物體上的點(X,y,z)對應于屏幕上的每個像素

點(x,y)

Z3>Z可見

Z緩沖器算法步驟

■初始化

□深度緩沖器的初始設置為足夠小的z值；

□幀緩沖器中各單元（X,y）取背景色；

'逐點處理

□確定物體多邊形上每一點的深度值z；

□如當前z值大于原有值，則將此深度值替換原有

值；

□此點的顏色值替換幀緩沖器中的原有值。

4.3圖形裁剪技術

-圖的大小和復雜程度不同，需要將圖顯示在

計算機屏幕上；

"裁剪技術：使圖形恰當?shù)娘@示在屏幕上的處

理技術

4.3.1窗口與視區(qū)

1.用戶域與窗口區(qū)

■用戶域：程序員用來定義整個草圖的自然空間。

□用戶域數(shù)連續(xù)無限的；

口用戶域中的坐標系為用戶坐標系或世界坐標系。

用笛卡爾右手坐標系表示。

■窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域。

□小于或等于用戶域。

■只關心整幅圖形的特定部位，希望這部分圖形清

晰地顯示出來。

■在二維平面，窗口為一矩形，用四個變量代表窗

口左下角和右上角點的坐標，即：

WrXWmin