成人高考高數(shù)復(fù)習(xí)資料

第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1函數(shù)

一、主要容

㈠函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義：y=f(x),x^D

定義域：D(f),值域：Z(f).

[/(x)

y=<

2.分段函數(shù)：[g(x)XGD2

3.隱函數(shù)：F(x,y)=0

4.反函數(shù):y=f(x)-?x=0(y)=f*y)

定理：如果函數(shù)：y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y

是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；

則它必定存在反函數(shù)：

y=fT(x),D(fT)=Y,Z(r')=X

且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。

㈡函數(shù)的幾何特性

1.函數(shù)的單調(diào)性：y=f(x),x^D,xi'X2^D

當(dāng)xi<X2時，若f(xi)Wf(X2),

則稱f(x)在D單調(diào)增加()；

若f(Xl)2f(X2),

則稱f(x)在D單調(diào)減少()；

若f(Xl)<f(X2),

則稱f(x)在D嚴(yán)格單調(diào)增加()；

若f(Xl)〉f(X2),

則稱f(x)在D嚴(yán)格單調(diào)減少()。

2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱

偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

3.函數(shù)的周期性：

周期函數(shù)：f(x+T)=f(x),x￡(-8，+oo)

周期：T---最小的正數(shù)

4.函數(shù)的有界性:|f(x)|WM,x￡(a,b)

㈢基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))

2.第函數(shù)：y=xn,(n為實數(shù))

3.指數(shù)函數(shù)：y=ax,(a>O、aWl)

4.對數(shù)函數(shù)：y=logax,(a>0、aWl)

5.三角函數(shù)：y=sinx,y=conx

y=tanx,y二cotx

y=secx,y=cscx

6.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconx

y=arctanx,y=arccotx

㈣復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)：y=f(u),u=cp(x)

y=f[ip(x)],xGX

2.初等函數(shù)：

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學(xué)式子表示的函

數(shù)

§1.2極限

-、主要容

㈠極限的概念

lim%=A

1.數(shù)列的極限:

ns

稱數(shù)列以常數(shù)A為極限;

或稱數(shù)列收斂于A.

｛》n｝的極限存在—\yn｝必定有界.

定理：若

2.函數(shù)的極限：

⑴當(dāng)X~^8時，/(X)的極限：

limf(x)-A、

宜hm—/，⑴/、=A,o%l—im8/(x)=A

J

⑵當(dāng)Xf%0時，/(X)的極限：

lim/(x)=A

X—>%0〃

lim/(x)=A

左極限：X—>XQ

lim/(x)=A

右極限：％.工日

⑶函數(shù)極限存的充要條件：

limf(x)=Aolimf(x)=limf(x)=A

定理：元一＞與X^XQ

㈡無窮大量和無窮小量

無窮大量：1同/(刈=+°°

1-

稱在該變化過程中/(1)為無窮大量。

x再某個變化過程是指：

X-,—co,X->+oo,X->co,X->XQ,X->XQ,X->XQ

2lim/(x)=0

/(%)為無窮小量。

稱在該變化過程中

3?無窮大量與無窮小量的關(guān)系：

lim/(x)=Oolim+00,(f(%)W0)

定理：

4孑一

4?無窮小量的比較?limy=07,lim/4=0

lim—=0

⑴若a，則稱B是比a較高階的無窮小量：

rB

lim一二c

⑵若a(c為常數(shù))，則稱B與a同階的無窮小量；

r0一

lim——1

⑶若a，則稱3與a是等價的無窮小量，記作：s?a；

hm—=oo

⑷若a，則稱s是比a較低階的無窮小量。

定理：若：%~Bi，%~

lim—=

則：%Pi

㈢兩面夾定理

1?數(shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：

設(shè)：yn~~(n=i、2'3…)

limy”=limz”=Q

旦,nsnfg

limx”=a

則nJ,?nsH

2?函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)則：

設(shè)：對于點X。的某個鄰域的一切點

(點Xo除外)有：

g(x)</(x)<h(x)

limg(x)=lim/z(x)=A

且?X~X~

則加"g

㈣極限的運算規(guī)則

若:limw(x)=Alimv(x)=B

貝「①lim[M(x)±v(x)]=limM(x)±limv(x)二A±B

②lim[u(x)-v(x)]=limw(x)-limv(x)=AB

「w(x)limw(x)A

」im—=--二羽(limv(x)W0)

③v(x)limv(x)Bvv77

推論：①limj(x)±?(%)±…±以(％)]

=lim%(x)±lim〃2(x)±…±limw^(x)

②lim[c?〃(x)]=c?lim〃(x)

㈤兩個重要極限

「sin%1「sin0(x)

hm-------=Ilim-----------=1

l?%-0JQ或o0(%)

1

lim(l+-)x=elim(l+x)x=e

2-JTf8JQ龍—o

§1.3連續(xù)

—、主要容

㈠函數(shù)的連續(xù)性

1.函數(shù)在處連續(xù)：/（X）在X。的鄰域有定義,

limAy=lim[f(x+Ax)—f(x)]=0

1Aju-^0Ax-^000

limf(x)=f(x0)

zX^XQ

左連續(xù)上/（、）=/（%）

右連結(jié).li嗎/⑴=/（x。）

右連級?X—犬自

2.函數(shù)在大。處連續(xù)的必要條件：

定理：/（X）在X。處連續(xù)----/（X）在40處極限存在

3.函數(shù)在見處連續(xù)的充要條件：

lim/(%)=f(x)olimf(x)=limf(x)=f(x)

足理.Xf殉0Xf殉Xf環(huán)0

4.函數(shù)在a，b_上連續(xù)：

/（x）在也上每一點都連續(xù)。

在端點a和b連續(xù)是指：

lim/(x)=f(a)

X.a+左端點右連續(xù)；

lim/(x)=/S)

X>6-右端點左連續(xù)。

ab-x

5.函數(shù)的間斷點：

若/(x)在豌)處不連續(xù),則天)為/(%)的間斷點。

間斷點有三種情況：

1(x))在"o處無定義；

lim/(x)

2°X―不存在；

lim/(x)

3°(X)，在為處有定義，且X910存在，

lim/(x)^/(x0)

但%—%。。

兩類間斷點的判斷：

r第一類間斷點：

lim/(x)lim/(x)

特點：?%和％”g都存在。

lim/(%)

可去間斷點：存在，但

limf(x)^f(x0)

，或、/I在處無定義

2°第二類間斷點：

lim/(x)lim/(x)

特點：和%—g至少有一個為8，

lim/(x)

或%—%0振蕩不存在。

lim/(x)lim/(x)

無窮間斷點：x—和％-g至少有一個為8

㈡函數(shù)在玉)處連續(xù)的性質(zhì)

1,連續(xù)函數(shù)的四則運算：

limf(x)=f(x0)limg(%)=g(%)

設(shè)X—^XQ

lim[/(x)±g(x)]=/(x)±g(x)

1°%一%。00

lim[/(x)-g(創(chuàng)=/(兀)?g(~))

2%0

/(x)/(x)(\

rhm——=0limg(x)w0

3。%-%。g(x)g(xo)%0J

2.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：

y=/(〃),u=0(x),y=/[=%)]

lim°(x)=(pg,lim/(〃)=/[^?(x0)]

limf[(p(x)]=/[lim。(創(chuàng)=(玉))]

則：%-%o%-%o

3.反函數(shù)的連續(xù)性：

y=/(x),X=/T(X),%=/(%)

-1

limf(x)=f(x0)olimf~\y)=f(j0)

%一%0y3%

㈢函數(shù)在上連續(xù)的性質(zhì)

1.最大值與最小值定理：

y

+M

0

-M

X

2.有界定理：

/O）在上連續(xù)=/（%）在小切

上一定

有界。

3.介值定理：

f（］）在［〃，〃］上連續(xù)—在（a，b）至少存在一點

使得：/C)=C

m<c<M

丹T-

0aWb

X

m

0afi□b

推論：

/（X）在&b］且/（〃）與/S）異號

=>在(。/)

至少存在-點J,使得：—°。

4.初等函數(shù)的連續(xù)性：

初等函數(shù)在其定域區(qū)間都是連續(xù)的。

第二章一元函數(shù)微分學(xué)

§2.1導(dǎo)數(shù)與微分

—、主要容

㈠導(dǎo)數(shù)的概念

1?導(dǎo)數(shù)：y~f在的某個鄰域有定義，

lim^^=lim/(x0+Ax)-/(x0)

Axf0\xAxf0Ax

=lim/(xWCXo)

Xf*0

x—x0

『。=小。）嚶

x=x0

/(X)/(Xo)

nxo)=lim~

2?左導(dǎo)數(shù)：Xf*0

x-x0

，(％)一/(%0)

力（%0）=lin?

右導(dǎo)數(shù)：X―^XQ

x-x0

定理：/（X）在”0的左（或右）鄰域上連續(xù)在

其可導(dǎo)，且極限存在；

￡（%）=lim/r（x）

則?Xf30

f；（x0）=lim/\x）

（或.XT?溫）

3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：

定理：1/*（"）在％0處可導(dǎo)/（X）在"o處連續(xù)

4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：

『。=/（%）存在=>￡（/）=力（/），

定理：Jy'

且存在。

5導(dǎo)函數(shù)</=/'（%），%￡（。打）

/(x)在(a/)

處處可導(dǎo)0yf（玉））

6.導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)：Ay

/'(/)是曲線y=/（%）上點

0>/處切線的斜率。0XoX

㈡求導(dǎo)法則

1.基本求導(dǎo)公式：

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算：

1。（〃土V）'=〃‘土V'

20（〃?V）’=〃'?V+〃?V'

，

urv-uvr

v

3。（W°）

3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

y=/（〃），〃=y=

dydydu

不一盛.不或｛〃。（詡｝'"'［。（"）］。'（"）

☆注意｛/［。⑴］｝'與八。（％）］的區(qū)別：

{/[火力)]}'表示復(fù)合函數(shù)對自變量x求導(dǎo)；

n（p（x）］表示復(fù)合函數(shù)對中間變量求導(dǎo)。

4.高階導(dǎo)數(shù)：，"（"）,r（x）9或尸3）（”）

/(w)(x)=[/(w-1)(x)];(〃=2,3,4…)

函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其nT導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

㈢微分的概念

1.微分：/（"）在X的某個鄰域有定義，

Ay=A(x)?Ar+o(Ar)

其中：4(%)與Ax無關(guān),o(Ax)是比Ax較高

lim3=0

階的無窮小量5即：0A%

則稱y=f(x)在X處可微，記作：

dy=A(x)Ax

dy=A(x)dx(Axf0)

2.導(dǎo)數(shù)與微分的等價關(guān)系：

定理：/(%)在工處可微n/(%)在x

處可導(dǎo)，

r

xf(x)=A(x)

3.微分形式不變性：

dy—f'(u)du

不論U是自變量，還是中間變量，函數(shù)的

微分dy都具有相同的形式°

§2.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

—、主要容

㈠中值定理

/(X)

1.羅爾定理:滿足條件:

10在［名句上連續(xù)］在(外刀內(nèi)至少

2。在(2辦)內(nèi)可導(dǎo)>=存在一席,

3°/(?)=f(b).使婚'《)=0.

八八

y/'&)f(x)

在（a⑼內(nèi)至少存

1°在［外切上連續(xù)1

2°在（a,辦）內(nèi)可導(dǎo)〕在一席，使得：

b-a

0oo

㈡羅必塔法則：（°，—型未定式）

定理/（X）和g（x）滿足條件：

lim/(x)=0(或oo)

%-a

limg(x)=0(或oo)；

rxfa

2°在點a的某個鄰域可導(dǎo)，且8（%）。。；

limf")=A,(或oo)

3。％-a(oo)g'(x)

lim3=lim=A(或oo)

則：％fa(8)g(x)%-a(8)g，(x)

☆注意：1°法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。

2°若不滿足法則的條件，不能使用法則。

000

即不是°型或8型時，不可求導(dǎo)。

3°應(yīng)用法則時，要分別對分子、分母

求導(dǎo),而不是對整個分式求導(dǎo)。

/'(X)和g'(x)

4°若還滿足法則的條件，

可以繼續(xù)使用法則，即：

lim^1=]i

miimrw=A(^D0)

xfa(oo)g(x)gf(x)x—>a(oo)g"(x)

5°若函數(shù)是°,8,8—8型可采用代數(shù)變

形，化成?；蜿尚停蝗羰?，型可

000

采用對數(shù)或指數(shù)變形，化成?；蜿尚汀?/p>

㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1?切線方程和法線方程：

設(shè)：y=f(x)9M(X0,J0)

切線方程：)一，0=/'(20)(%-10)

法線方程：尸兒二—

--(x-x0)9(/(/)。。)

f(^o)

2?曲線的單調(diào)性：

(i)/\x)>0XG(a,b)n/(%)在(生㈤內(nèi)單調(diào)增加

/r(x)<0XG3,3n/(%)在(〃,勿內(nèi)單調(diào)減少

(2)

/v)>oXG(〃,3n在(處方)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加

r(x)<o=>在3,8)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少

3.函數(shù)的極值：

⑴極值的定義：

」(4)(〃,Z?)/口(〃/)

設(shè)在有定乂，7€的一點，

Xr\XWX。

若對于的某個鄰域的任意點，都有：

f(x0)>f(x)[W*(x0)</(%)]

/(%)/(%)

則稱是的一個極大值(或極小值)，

X。/(X)

稱7為J的極大值點(或極小值點)。

⑵極值存在的必要條件：

l°J(x)存在極值八X。)

=/(%)=()

2°/(%)存在。

定理：

XU。稱為/"(X)的駐點

⑶極值存在的充分條件：

定理一：

、

1丫00在X。處連續(xù)；

/(%)是極值;

2°/(%o)=?；騠(%。)不存在;1n

%是極值點。

3°.廣⑴過/時變號。

X/

當(dāng)漸增通過時山)由(+)變(-)；

/(X

則。)為極大值；

“漸增通過/時，/(%)

當(dāng)由(-)變(+);則為極小值。

1。小)=0；/(X。)是極值;

n超是極值點。

2°J"(x0)存在。

/〃(/)<0/(%)

若U，則Ju為極大值；

r(x)>oy(x)

若Uo，則JU0為極小值。

☆注意：駐點不一定是極值點，極值點也不一定是駐點。

4?曲線的凹向及拐點：

f\x)>0,xe(a.b)/(x)(a,b)

fw(x)<0,xG(a,b)f(x)(a,b)

⑵若，\/；則在'"是下凹的(或凸的)，(n);

1。./〃(%。)=0,1(/)(%))稱

2°/⑴過/時變號oj=為/⑶的拐點。

(3)

5°曲線的漸近線：

⑴水平漸近線:

若lim/(%)=Aly=A是/⑴

x—fI——JJ'/

或lim/(%)=A的水平漸近線c

%一+00J

⑵鉛直漸近線：

若可1/⑴=°0]X=。是f(X)

或lim/(x)=001n的鉛直漸近線o

%—。+J

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

§3.1不定積分

-、主要容

㈠重要的概念及性質(zhì)：

/(X),F(x),XED

1?原函數(shù)：設(shè)：

Fr(x)=f(x)

則稱尸(X)是/(X)的-個原函數(shù)，

并稱F(x)+C是"/(x)的所有原函數(shù),

其中c是任意常數(shù)。

2?不定積分：

f(x)

函數(shù)的所有原函數(shù)的全體，

稱為函數(shù)/(%)的不定積分；記作：

j/(x)dr=F(x)+C

/(x)

其中：稱為被積函數(shù)；

?/*(x)dx稱為被積表達式；

“稱為積分變量。

3.不定積分的性質(zhì)：

，y(x)rfx]=y(x)

⑴

或d，f(x)dx]=f(x)dx

Jr(x)rfx=/(x)+C

⑵

J#(x)=/(x)+C

J"i(%)+Zz(x)+…+/〃(％)]辦

⑶

=j/1(x)dr+j/2(x)dr+-+jfn(x)dx

一分項積分法

wjkf(x)dx=k\f(x)dxk為非零常數(shù))

4.基本積分公式：

㈡換元積分法：

1.第一換元法：(又稱“湊微元”法)

r

[f[(p(x)](p(x)dx彳ffl(p(x)]d(p(x)

J湊微元

=\f(t)dt=F(t)+C

令￡=0(％)

=F[^（x）]+C

回代f=0（x）

常用的湊微元函數(shù)有：

dx=-d(ax)=-d(ax+b)為常數(shù)“w0)

i1

xmdx=-------dxm+1----------d(axm+1+b)

2°m+1a(m+l)

（?為常數(shù)）

exdx=d(ex)=—d(aex+b)

3°a

1

axdx=----d(ax)(a>0,”w1)

Inay

1

—dx=d(lnx)

40x

o

5siiWx=-rf(cosx)cosxrfx=rf(sinx)

sec?xdx=rf(tanx)esc2xdx=—J(cotx)

-------rf(arcsinr)=-rf(arccosx)

/2

60Vl-x

1

------=rf(arctanx)=-d(arccotx)

1+x2

2.第二換元法：

Jf(x)dx=Jf[(p(t)]d(p(t)

令x=(p(t)

=\(p,(t)f[(p(t)]dx=F(t)+C

=?[/(%)]+C

反代=8一1(%)

第二換元法主要是針對含有根式的被積函數(shù)，

其作用是將根式有理化。

一般有以下幾種代換：

1。X=",〃為偶數(shù)時Q0

(當(dāng)被積函數(shù)中有時)

2°X=asin/,(^4x=acosx),0<t<^

(當(dāng)被積函數(shù)中有\(zhòng)~~x時)

3°x=atant9(^x=acott)90<^<y,(0</<f)

(當(dāng)被積函數(shù)中有+”時)

X。，(或⑺，

4°=aser=acs0<<y9(0<^<y)

22

(當(dāng)被積函數(shù)中有X-a時)

㈢分部積分法：

1.分部積分公式：

Judvuv-ivdu

nu

ju.vrdxJ

2.分部積分法主要針對的類型：

J尸⑴Jp(x)

⑴sinxdx9cosxdx

JP(x)eX

⑵dx

jP(x)lnxdx

Jp(x)fp(x)

(4)arcsinxdx^arccosxdx

Jp(x)

arctanxdxyJP(x)arccotxdx

axJax

⑸J[esinbxdx,ecosbxdx

其中：^(x)=Cl^X+(LyXH(多項式)

3.選u規(guī)律：

令尸(%)="

⑴在三角函數(shù)乘多項式中

其余記作dv;簡稱“三多選多”。

⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項式中，令P(x)=U

其余記作dv;簡稱“指多選多”。

⑶在多項式乘對數(shù)函數(shù)中，令I(lǐng)nx=

其余記作dv;簡稱“多對選對”。

⑷在多項式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)

為u，其余記作dv;簡稱"多反選反"。

⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)

為u，其余記作dv;簡稱“指三任選”。

㈣簡單有理函數(shù)積分：

/(%)=P(x)

1.有理函數(shù)：e(x)

其中P(x)和。(％)是多項式。

2.簡單有理函數(shù)：

尸(X)尸(%)

八)二f(止

1+X1+X2

P(x)

/(%)=

(2)(%+〃)(％+㈤

尸⑴

f(x)=

(3)(x+a)2+b

§3.2定積分f(x)

一?主要容

(一).重要概念與性質(zhì)

1,定積分的定義：0axiX2Xi-ifiXiXn-ibx---

「f(x)dx=HmS/?)M

aAx->0i=i

ns

定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。

定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),

直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。

x軸上方的面積取正號，y

x軸下方的面積取負(fù)號。++

a0-bx

2.定積分存在定理：

設(shè)：y=/(%)x^\a,b\

若：f(x)滿足下列條件之一：

「/(%)連續(xù)，同

2。./(%)在［〃,以上有有限個第一類間斷

3J(x)在圓幾上單調(diào)有界

貝！!：/(%)在上方1上可積。

若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：

1°與積分變量形式無關(guān)即『/(X)心=『/⑺我

JaJa

2。與在［〃㈤上的劃分無關(guān)，可以任意劃分

3。與點。的選取無關(guān)，盟可以前吃t巧止任意選取

積分值僅與被積函數(shù)X)與區(qū)間”,回有關(guān)C

3.牛頓一一萊布尼茲公式：

若方(%)是連續(xù)函數(shù)(%)在上的任意一個原函婁

貝!J￡f(x)dx=F(x)\［=F(b)-F(a)

*牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個求曲邊面積值的問題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及

計算差量的問題。

4.原函數(shù)存在定理：

若/(%)連續(xù)，XG\a,b],

則：0(x)=ffxG\ab]

Ja9

9(%)是/(%)在[a,加上的一個原函數(shù)

且：(pf(x)=([xf(t)dty=f(x)

Ja

5.定積分的性質(zhì)：

設(shè)f(%),g(%)在[〃,加上可積，貝(J

pbeb

1°[kf(x)dx=k\f(x)dx

JaJa

pbpa

2°J/(x)6?x=-￡f(x)dx

3T[/(%)土g(x)k%=[bf(x)dx±\bg(x)dx

JaJaJa

4[af(x)dx=O

JQ

pbpcpb

5°f/(x)=\f(x)dx+[f(x)dx(a<c<b)

JaJaJc

b

6°Idx=b-a

y

0

7/(x)<g(x),(a<x<b)

貝！iff(x)dx<[g(x)dx

JaJa

8。估值定理：

m(b-a)<ff(x)dx<M(b-a)

Ja

其中外M分別為f(x)在㈤上的最小值和最大偃

yA_____________________y_

Mfix)"!f(x)A

一■kA

o一氣~~\b——Vj_b----f—!-----------：―"

111

積余中值定：111

94111

111

111

若j(9)連續(xù)rw[a；。],則：

必存在一"E[a㈤，

使「小3/(9.(")

Ja

(二)定積分的計算：

1.換元積分

設(shè)f(x)連續(xù)，磯x=(p(t)

若“⑺連續(xù)，￡C［見見

且當(dāng)方從a變到時，。⑺單調(diào)地歷變至收

0(a)=〃/(￡)=①

則:ff(x)dx=f\(p(t)]-(p'(t)dt

2.分部積分

a

udv=uvb-[vdu

JaJa

3.廣義積分

<?+00,0廣+8

Jf(x)dx=jf(x)dx+j^f(x)dx

4.定積分的導(dǎo)數(shù)公式

1(fx/am=/(x)

Ja

2tr(x)/(o^c=/[0(")]?0'(x)

Ja

3[[：：/(力畫L=/弧⑴]?么(x)-/[/(X)]?0；(x)

(三)定積分的應(yīng)用

1.平面圖形的面積:

1由y=/(x)>o,x—ayx=b,(a<b)

與x軸所圍成的圖形的面積yf(x)

a

s-f(x)dx

Ja

2由％=/(x),y2=g(x),(/>g)

與x=a,x=。所圍成的圖形的面:

s=[b[f(x)-g(x)}ix

Ja

3由巧=°(y),x2=(p(y),(。>(p)

與丁=3丁=〃所圍成的圖形的面^

s=J：b(y)—e(y)Hy

4。.求平面圖形面積的步?

D.求出曲線的交點，畫出草圖；

1).確定積分變量，由交點確定積分上下限；

§).應(yīng)用公式寫出積分式，并進行計算。

1旋轉(zhuǎn)體的體積

1曲線V=/(X)>0,與x==〃及X軸所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)所

得旋轉(zhuǎn)體的體積：

A

y-T[\f2(x)dx

xJa

0atr

2由曲繚=0(y)>0,與y

得旋轉(zhuǎn)體的體積：

Vy=7r^(f>\yydy

第四章多元函數(shù)微積分初步

§4.1偏導(dǎo)數(shù)與全微分

主要容：

㈠.多元函數(shù)的概念

3.二元函數(shù)的定義：

z=f(x,y)(X9J)GD

定義域：0（一）

4.二元函數(shù)的幾何意義：

二元函數(shù)是一個空間曲面。（而一元函數(shù)是平面上的曲線）

㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：

1.極限定義：設(shè)z=f（x,y）滿足條件：

1。在點飛,%）的某個領(lǐng)域內(nèi)有定》

（點X0，/）可除夕除

2°limf（x,y）=A

x—>x0

則松=/（占y）在（/,M）極限存在，且等無

2.連續(xù)定義：設(shè)z=f（x,y）滿足條件：

1。在點％,為）的某個領(lǐng)域內(nèi)有定》

2°lim/(x9j)=/(x09j0)

則椀=/(%,y)在(與,/)處連續(xù),

㈢.偏導(dǎo)數(shù)：

定義:，（占y）,在（%0，盟）點

/(x+Ax,J)-/(X,J)

?)=如0OOO

Ax

Ay—oAy

/二（％0，盟）/（*0，盟）分別為函數(shù)（*/）在（/，/）

處對的偏導(dǎo)數(shù)。

z=/（x,y）在。內(nèi)任意點%,y）處的偏導(dǎo)數(shù)記為

8f(x,y)dz

/；(x,y)==z

dxdxx

Sf(x.y)dz,

/；（%,?。?--------=7

dydyy

㈣.全微分：

1.定義：z=f（x,y）

若Az=/(x+Ax,j+Ay)-/(%,y)

—AAx+BAy+o(夕)

其中，A、5與Ax、4y無關(guān)，o(p)是比

p=+Ay?較高階的無窮小量。

貝(J:dz=df(x,y)=AAx+BAy

是

Z=/(%,7)在點(x,y)處的全微分。

3.全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

定理：翔(x,y)，W(x,y)連續(xù)

貝!I：z=/(x,y)在點處可微0

r

dz=fx{x,y)dx+W(招y)dy

(五).復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

1設(shè)：z=/(〃3),〃=〃(x,y)#=v(x,y)

??z=/[〃(％,y)#(x,y)]

midzdzdudzdv

貝!J：——=---------+---------

dxdudxdvdx

-d-z-----d-z?du1dz?dv

dy----dudy--dv--dy

2,瀏=/(〃/),〃=〃(％)#=WX)

j=/[w(x),v(x)]

-d-y-d?yd-|u-d?ydv

dxdudxdvdx

因.隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

I設(shè)歹(x,y,z)=O,z=/(%,》)，且￡'wO

f

貝gJ?=_F/,c^絲7=_F_'L

axFJrdyF；

釁=一與

dxFy

出.二階偏導(dǎo)數(shù)：

,,d2zd&

/*(x，y)=A=T(T)

dxoxox

,,d2zddz

(—)

dydydy

q,d2zd改

4(x，y)=文==獷匕-)

oxoydyox

q,d2zddz

oydxoxoy

結(jié)論：當(dāng)X(x,y)和量(巧,)為巧y的連續(xù)函數(shù)時

貝!J：f^(x,y)=f^x(x,y)

(A).二元函數(shù)的無條件極值

1.二元函數(shù)極值定義：

設(shè)z(x,y)在(%,凡)某一個鄰域內(nèi)有定5

若z(x,y)<>z(x,j)]

Z(X09J0),[^4Z(X9J)00

則松(*0，%)是z(x,y)的一個極大或極小值，

稱(/，盟)是z(x,y)