第三次課誤差理論月

主要內(nèi)容：1.系統(tǒng)誤差2.誤差的合成3.最小二乘原理4.曲線的擬合5.補充：不確定度1一、隨機誤差的合成按方和根法得到它們的標準誤差:

二、系統(tǒng)誤差的合成1、恒定系差的合成可按代數(shù)和法合成：當誤差項數(shù)較多時，一般情況下按方和根法合成較好。第九節(jié)誤差的合成22.變值系差的合成第j個系差的誤差區(qū)間為[aj,bj]系統(tǒng)不確定度為：ej=1/2*(bj-aj)標準誤差為：σj=ej/kj（系統(tǒng)不確定度或極限誤差與置信系數(shù)之比）合成方法：（1）線性相加法：

e=e1+e2+e3+??????+en3（2）方和根法：

e=√e12+e22+e32+??????+en2（3）廣義方和根法：將各變值系差的系統(tǒng)不確定度轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的標準誤差，用方和根法合成后，得到總的標準誤差，再轉(zhuǎn)化為總的系統(tǒng)不確定度。4三、隨機誤差與系統(tǒng)誤差的合成1.線性相加法:g=e+Δ

線性相加的結(jié)果，綜合不確定度g偏大。2.方和根法：g=√e2+Δ23.廣義方和根法5四、最后結(jié)果的表示（1）隨機不確定度（又稱A類不確定度）與系統(tǒng)不確定度（又稱B類不確定度）在結(jié)果中分別標明。最后結(jié)果可表示為：M=（±Δ,±e）Where:M為被測量的測量值或計算結(jié)果；e及Δ分別是相應(yīng)的系統(tǒng)、隨機不確定度。（2）用隨機不確定度與系統(tǒng)不確定度合成后的綜合不確定度表示之。最后結(jié)果可寫為：M±g

。6例：標準活塞式壓力計實驗測得各種誤差因數(shù)引起的壓力的極限誤差值如下。求總的不確定度（壓力P=ma/S，單位均略）。（1）恒定系差：ε=+0.2，由系統(tǒng)安裝誤差引起。（2）系統(tǒng)不確定度：e1=10.3，是由活塞有效面積S引起的：e2=3.2，來自砝碼及活塞質(zhì)量（m）；e3=0.5，是由重力加速度a的誤差引起的。（3）隨機不確定度：Δ1=11.6，是由活塞有效面積引起的；Δ2=4.8，是由砝碼及活塞質(zhì)量（m）引起的。7解：設(shè)引起誤差的各個因數(shù)是相互獨立的，按照方和根法合成之。總的系統(tǒng)不確定度為：=e=√e12+e22+e32=

√10.32+3.22+0.52=10.8總的隨機不確定度為：

Δ=√Δ12+Δ22=√11.62+4.82=12.6故活塞壓力計總的不確定度g及修正量c為：g=√e2+Δ2=√10.82+12.62≈16.6≈17C=-ε=-0.28例1：某彈簧管壓力表的測量范圍為0~1.6MPa，準確度等級為2.5級，校驗時出現(xiàn)的最大絕對誤差為0.05MPa，問這塊儀表是否合格？為什么？9例2：用標準壓力表來校驗工業(yè)壓力表時，應(yīng)如何選用標準壓力表精度等級？可否用一臺精度等級為0.2，量程為0~25MPa的標準表來校驗精度等級為1.5級，量程為0~2.5MPa的壓力表，為什么？10第十節(jié)最小二乘原理最小二乘原理：欲得真值的最佳估計值，應(yīng)使各測量值xi的殘差vi的平方之和為最小。真值x0的最佳估計值即算術(shù)平均值x，具有殘差平方和最小值的特性。由于殘差均是實數(shù)，各個殘差的平方必為正數(shù)，故殘差的平方和為最小值就保證了相應(yīng)的標準偏差及方差為最小值，同時也說明了測量數(shù)據(jù)的離散度也是最小的，精度較高。11第十一節(jié)曲線擬和的概念

實際工作中由于各隨機因素的干擾，所得到的數(shù)據(jù)往往不同程度存在著誤差。因此，插值方法只能適用那些誤差可以忽略不記的情況，當誤差較大而不能忽略時，又如何通過這些觀測數(shù)據(jù)確定其內(nèi)在的變化規(guī)律呢？本節(jié)所介紹的曲線擬合就是解決這一問題的主要方法之一。12如圖所示，常常需要從一組獲得的數(shù)據(jù)點中，尋找變量與變量之間的變化規(guī)律．用幾何方法來解釋，就是用已知平面內(nèi)的一組點，來確定一條曲線，使該曲線能在整體上刻畫這組點的變化趨勢而不需通過每個點，我們稱這種方法為曲線擬合，所求出的曲線稱為擬合曲線。1314測量不確定度

重要性與政策：1、測量的質(zhì)量以不確定度表示2、國家標準及ISO都強調(diào)不確定度的重要性3、中國實驗室國家認可委員會的測量不確定政策指出：實驗室應(yīng)有能力進行不確定度的評定15誤差（Error）準確度（Accuracy）不確定度（Uncertainty）測量結(jié)果測得值減真值測量結(jié)果與真值的一致程度有定義批量生產(chǎn)儀器沒有定義示值最大允許誤差沒有定義計量標準裝置有定義（示值誤差）沒有定義沒有定義但需要給出16定義不確定度定義：與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，表征合理地賦予被測量之值的分散性。此參數(shù)可以是用標準差或其倍數(shù)，也可以是給定概率下置信區(qū)間的半寬。不確定度恒為正值，由方差得出時取其正平方根。17標準不確定度：用標準偏差表示的測量結(jié)果的不確定度。（不確定度的）A類評定：對觀測列進行統(tǒng)計分析以評定不確定度的方法。（不確定度的）B類評定：評定標準不確定度的非統(tǒng)計分析方法。影響量：不是被測量但對測量有影響的量。

18合成標準不確定度：當結(jié)果由若干其它量得來時，該測量結(jié)果的標準不確定度等于這些量的方差和協(xié)方差加權(quán)的正平方根，權(quán)的大小取決于這些量的變化及測量結(jié)果影響的程度。擴展不確定度：確定測量結(jié)果區(qū)間的量，期望測量結(jié)果以合理地賦予的較高置信水平包含在此區(qū)間內(nèi)。包含因子：為獲得擴展不確定度，作為合成不確定度乘數(shù)的數(shù)字因子。19

測量不確定度的結(jié)構(gòu):

20◆A類標準不確定度：

（由于隨機效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

實驗標準（偏）差

s是單次觀測值Xi的實驗標準（偏）差，是m次測量所得算術(shù)平均值的實驗標準（偏）差，它是分布的標準（偏）差的估計值。為易于區(qū)別前者用表示，后者用表示，故：21◆B類標準不確定度：

（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

不同于A類對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法來評定標準不確定度，稱為不確定度B類的評定，有時也稱B類不確定度評定。B類不確定度評定是根據(jù)經(jīng)驗和資料及假設(shè)的概率分布估計的標準（偏）差表征，也就是說其原始數(shù)據(jù)并非來自觀測列的數(shù)據(jù)處理，而是基于實驗或其他信息來估計，含有主觀鑒別的成分。B類不確定度的信息來源一般有：221.以前的觀測數(shù)據(jù)；2.對有關(guān)技術(shù)資料的測量儀器特性的了解和經(jīng)驗；3.生產(chǎn)企業(yè)提供的技術(shù)說明文件；4.校準證書（檢定證書）或其他文件提供的數(shù)據(jù)、準確度的等別或級別，包括目前仍在使用的極限誤差、最大允許誤差等；5.手冊或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定度；6.規(guī)定試驗方法的國家標準或類似技術(shù)文件中給出的重復(fù)性限或復(fù)現(xiàn)性。237.測量儀器的示值不夠準確；8.標準物質(zhì)的標準值不夠準確；9.引用的數(shù)據(jù)或其它參量的不夠準確；10.取樣的代表性不夠，即被測樣本不能完全代表所定義的被測量；11.化學(xué)分析中的基體效應(yīng)，分析空白，干擾影響，回收率及反映效率等系統(tǒng)影響；12.測量方法和測量程序的近似和假設(shè)；13.其他因素……24B類不確定度的評定方法:B類評定的標準不確定度可以用下述四種方法得到：（Ⅰ）若有關(guān)資料（如：計量校準/檢定證書，儀器說明書等）給出估計值的擴展不確定度為其估計值標準不確定度的倍，則標準不確定度：

◆B類標準不確定度：

（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度）

25（Ⅱ）如估計值的擴展不確定度不是按標準不確定度的倍給出，而是給出了置信概率P為90%、95%、99%的置信區(qū)間的半寬、、，除非另有說明，一般按照正態(tài)分布考慮評定其標準不確定度。對應(yīng)于上述三種置信概率的包含因子分別為1.64、1.96或2.58，即：標準不確定度為26

表-1:正態(tài)分布情況下置信概率與包含因子之間的關(guān)系27（Ⅲ）如已知信息表明之值接近正態(tài)分布，并以0.68的概率落于的對稱范圍之內(nèi)，按表-1，，則。（Ⅳ）若已知估計值分散區(qū)間的半寬為，且落在至范圍內(nèi)的概率p為100%，通過對分布的估計，可以得出標準不確定度為：28式中：為測量值概率分布區(qū)間半寬度,因為與分布狀態(tài)有關(guān)，見右表：29

合成標準不確定度

式中：為：二個輸入量的相關(guān)系數(shù)為：靈敏系數(shù)（當被測量Y為相互獨立的輸入量的線性函數(shù)時，靈敏系數(shù)為+1或-1）

30在下列情況下可以不考慮各輸入量之間的相關(guān)性：(1)可以確認各輸入量之間相互獨立無關(guān)；(2)雖然某些輸入量相互之間可能存在相關(guān)性，但相關(guān)性較弱；（3）雖然某些輸入量之間存在強相關(guān)性，但這些輸入量所對應(yīng)的不確定度分量對合成不確定度的貢獻不大。31◆合成標準不確定度當:;且或-1時,

32結(jié)束選定包含因子一般為2~333◆合成標準不確定度用Up

表示擴展不確定度,即合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，如果是兩個以上多個估計方差分量的合成，即，則即使當每個均服從正態(tài)分布的輸入量的估計值，變量可以近似為t分布，其有效自由度可以由韋爾奇-薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式計算：34◆合成標準不確定度上式也可用與相對標準不確定度的合成：35評定不確定度的基本程序

可用下述框圖表示

分析引起不確定度的各種因素評定各個不確定度分量A類標準不確定度B類標準不確定度評定合成標準不確定度擴展不確定度報告測量不確定度建立數(shù)學(xué)模型36建立數(shù)學(xué)模型

37測量不確定度的評定程序

第一步，按A類評定方法評出A類標準不確定度；第二步，按B類評定方法評出各B類標準不確定度；第三步，按照合成不確定度的合成方法合成標準不確定度；38測量不確定度的評定程序第四步，擴展不確定度的評定方法：（1）按照包含因子k=2~3給出擴展不確定度（2）按照標準不確定度乘以給定概率p的包含因子，從而得到擴展不確定度。與的分布有關(guān)。當估計接近正態(tài)分布時，采用t分布臨界值，，一般采用p值為99%和95%。在多數(shù)情況下，采用p=95%。39測量不確定度的評定程序?qū)δ稠椨嬃繕藴实臋z定或校準，根據(jù)規(guī)定可采用p=99%。當充分大時，可以近似認為、，從而分別得出、。（3）當只給出擴展不確定度U時，不必評定各分量及合成標準不確定度的自由度及有效自由度。除另有說明,對Y可能值的分布作正態(tài)分布的估計，雖未計算，但可估計40測量不確定度的評定程序值并不太小時，則大約置信概率近似為95%的區(qū)間的半寬，而大約置信概率近似為99%的區(qū)間的半寬。（4）如果可以確定Y可能值的分布不是正態(tài)分布，而是接近于其他某種分布，則決不能按或計算U或。（5）當Y可能值近似為矩形分布，則包含因子與之間的關(guān)系應(yīng)為：41概率分布情況的估計（參考件）

?正態(tài)分布：1)重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測量的算術(shù)平均值的分布；2)被測量量Y用擴展不確定度Up給出，而對其分布又沒有特殊指明時，估計值Y的分布；3)被測量Y的合成標準不確定度中，相互獨立的分量較多，它們之間的大小也比較接近時，Y的分布；424)被測量Y的合成標準不確定度中，相互獨立的分量中，存在兩個界限值接近的三角分布，或4個界限值接近的均勻分布時；5)被測量Y的合成標準不確定度的相互獨立的分量中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時。43?矩型（均勻）分布：1)數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；2)數(shù)字式測量儀器對示值量化（分辨率）導(dǎo)致的不確定度；3)測量儀器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定