高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與文學(xué)教師版

數(shù)學(xué)與文學(xué)數(shù)學(xué)與藝術(shù)之?dāng)?shù)學(xué)與文學(xué)很多文學(xué)作品中，都會(huì)有關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)的描述，如《春江花月夜》中的“海上明月共潮生”描寫的周期性現(xiàn)象-潮汐．而在一些對(duì)聯(lián)中，有回文的形式，這也會(huì)與高中數(shù)學(xué)知識(shí)中排列組合相關(guān)，那么還有哪些數(shù)學(xué)知識(shí)與文學(xué)有聯(lián)系呢？一、好題賞析例1．1．荀子勸學(xué)中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，大約經(jīng)過(guò)參考數(shù)據(jù)：，（

）天．A．200天 B．210天 C．220天 D．230天例2．2．“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思！”這首《相思》是唐代山水田田園詩(shī)人王維的作品，王維字摩詰，號(hào)摩詰居士，蘇軾有云：“味摩詰之詩(shī)，詩(shī)中有畫？觀摩詰之畫，畫中有詩(shī)，”這首詩(shī)中，在當(dāng)時(shí)的條件下，可以作為命題的是A．紅豆生南國(guó) B．春來(lái)發(fā)幾枝 C．愿君多采擷？ D．此物最相思二、小試牛刀3．王昌齡《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．元朝著名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī)：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)四處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示，即最終輸出的，則一開(kāi)始輸入的的值為（

）A． B． C． D．5．中國(guó)清代著名小說(shuō)家蒲松齡創(chuàng)作的文言短篇小說(shuō)集《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，情歸求穿墻術(shù)，得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟”，形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，若具有“穿墻術(shù)”，則A． B． C． D．6．古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯曾說(shuō)過(guò)：“美的線型和其他一切美的形體都必須有對(duì)稱形式”．在中華傳統(tǒng)文化里，建筑、器物、書法、詩(shī)歌、對(duì)聯(lián)、繪畫幾乎無(wú)不講究對(duì)稱之美．如清代詩(shī)人黃柏權(quán)的《茶壺回文詩(shī)》（如圖）以連環(huán)詩(shī)的形式展現(xiàn)，20個(gè)字繞著茶壺成一圓環(huán)，不論順著讀還是逆著讀，皆成佳作．?dāng)?shù)學(xué)與生活也有許多奇妙的聯(lián)系，如2020年02月02日（20200202）被稱為世界完全對(duì)稱日（公歷紀(jì)年日期中數(shù)字左右完全對(duì)稱的日期）．?dāng)?shù)學(xué)上把20200202這樣的對(duì)稱數(shù)叫回文數(shù)，如兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個(gè)（11，22，…，99），則在所有四位數(shù)的回文數(shù)中，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．7．下圖展現(xiàn)給我們的是唐代著名詩(shī)人杜牧寫的《清明》，這首詩(shī)不僅意境極好，而且還準(zhǔn)確地描述出了清明時(shí)節(jié)的天氣狀況，那就是“雨紛紛”，即天氣多陰雨．某地區(qū)氣象監(jiān)測(cè)資料表明，清明節(jié)當(dāng)天下雨的概率是0.9，連續(xù)兩天下雨的概率是0.63，若該地某年清明節(jié)當(dāng)天下雨，則隨后一天也下雨的概率是（

）A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.5678．王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其《從軍行》傳誦至今，“青海長(zhǎng)云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，由此推斷，其中最后一句“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的（

）A．必要條件 B．充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人分十七，要作第八數(shù)做來(lái)言”.題意是把斤綿分給個(gè)兒子做盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多分斤綿，則年齡最大的兒子分到的綿是（

）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤10．《莊子·天下》篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭．”反映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是（

）A．1＋B．C．D．11．《墨經(jīng)》上說(shuō)：“小故，有之不必然，無(wú)之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若見(jiàn)之成見(jiàn)也.”則“有之必然”表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是（

）A．充分條件 B．必要條件C．既不充分也不必要條件 D．不能確定12．必修一課本有一段話：當(dāng)命題“若，則”為真命題，則“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分條件.也可以這樣說(shuō)，若不成立，那么一定不成立，對(duì)成立也是很必要的.王安石在《游褒禪山記》中也說(shuō)過(guò)一段話：“世之奇?zhèn)?、瑰怪，非常之觀，常在于險(xiǎn)遠(yuǎn)，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.從數(shù)學(xué)邏輯角度分析，“有志”是“能至”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件13．原始的蚊香出現(xiàn)在宋代．根據(jù)宋代《格物粗談》記載：“端午時(shí)，貯浮萍，陰干，加雄黃，作紙纏香，燒之，能祛蚊蟲(chóng)．”如圖，為某校數(shù)學(xué)興趣小組用數(shù)學(xué)軟件制作的“螺旋蚊香”，畫法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段，做一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，以此類推，則如圖所示的“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度為（

）．A． B． C． D．14．唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B． C． D．15．在中國(guó)古代詩(shī)詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學(xué)命題：“九百九十六斤綿，分給八子做盤纏，次第每人多十七，要將第七數(shù)來(lái)言.”題意是：把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，那么第7個(gè)兒子分到的綿是（

）A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤16．“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩(shī)句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號(hào)．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（

）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm217．宋代學(xué)者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城，“匠人營(yíng)國(guó)，方九里，旁三門，國(guó)中九經(jīng)九緯……”；意思是周王城為正方形，邊長(zhǎng)為九里，每邊都有左中右三個(gè)門；城內(nèi)縱橫各有九條路……；則依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有（

）個(gè)矩形A．3025 B．2025 C．1225 D．252518．在古印度的數(shù)學(xué)著作《麗拉沃蒂》中，有這樣一個(gè)問(wèn)題：某人給一個(gè)人布施，初日施3德拉瑪(古印度貨幣單位)，其后日增2德拉瑪，共布施360德拉瑪，請(qǐng)快告訴我，他布施了幾日？這個(gè)問(wèn)題的答案是（

）A．9 B．18 C．20 D．2419．學(xué)數(shù)學(xué)的人重推理愛(ài)質(zhì)疑，比如唐代詩(shī)人盧死《塞下曲》：“月黑雁飛高，單于夜遁逃．欲將輕騎逐，大雪滿弓刀．”這是一首邊塞詩(shī)的名篇，講述了一次邊塞的夜間戰(zhàn)斗，既刻畫出邊塞征戰(zhàn)的艱苦，也透露出將士們的勝利豪情．這首詩(shī)歷代傳請(qǐng)，而無(wú)人提出疑問(wèn)，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家華羅庚以數(shù)學(xué)家特有的敏感和嚴(yán)密的邏輯思維，發(fā)現(xiàn)了此詩(shī)的一些疑點(diǎn)，并寫詩(shī)質(zhì)疑，詩(shī)云：北方大雪時(shí)，群雁早南歸．月黑天高處，怎得見(jiàn)雁飛？”但是，數(shù)學(xué)家也有許多美麗的錯(cuò)誤，如法國(guó)數(shù)學(xué)家貴馬于1640年提出了以下猜想是質(zhì)數(shù)，直到1732年才被善于計(jì)算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)，則表示數(shù)列的前項(xiàng)和________．20．《紅樓夢(mèng)》，中國(guó)古代章回體長(zhǎng)篇小說(shuō)，中國(guó)古典四大名著之一，一般認(rèn)為是清代作家曹雪芹所著.《紅樓夢(mèng)》是一部具有世界影響力的人情小說(shuō)，舉世公認(rèn)的中國(guó)古典小說(shuō)巔峰之作，中國(guó)封建社會(huì)的百科全書，傳統(tǒng)文化的集大成者.《紅樓夢(mèng)》三十七回賈探春提議邀集大觀園中有文采的人組成海棠詩(shī)社.詩(shī)社成立目的旨在“宴集詩(shī)人於風(fēng)庭月榭；醉飛吟盞於簾杏溪桃，作詩(shī)吟辭以顯大觀園眾姊妹之文采不讓桃李須眉.”詩(shī)社成員有8人林黛玉、薛寶釵、史湘云、賈迎春、賈探春、賈惜春、賈寶玉及李紈.若林黛玉、薛寶釵、賈寶玉3人不相鄰，共有________種排列方法.（用數(shù)字作答）21．中國(guó)獨(dú)有的文書工具，即筆、墨、紙、硯，有文房四寶之名，起源于南北朝時(shí)期．其中宣紙是文房四寶的一種，宣紙“始于唐代，產(chǎn)于涇縣”，因唐代涇縣隸屬宣州管轄，故因地得名宣紙．宣紙按質(zhì)量等級(jí)分為：正牌（優(yōu)等品）、副牌（合格品）、廢品三等．某公司生產(chǎn)的宣紙為純手工制作，年產(chǎn)宣紙刀（刀張），該公司按照某種質(zhì)量指標(biāo)給宣紙確定等級(jí)如表所示：的范圍質(zhì)量等級(jí)副牌正牌廢品在該公司所生產(chǎn)的宣紙中隨機(jī)生產(chǎn)了一刀進(jìn)行檢驗(yàn)，得到頻率分布直方圖如圖所示，已知每張正牌宣紙的利潤(rùn)為元，副牌宣紙利潤(rùn)為元，廢品的利潤(rùn)為元．（1）試估計(jì)該公司的年利潤(rùn)；（2）市場(chǎng)上有一種售價(jià)為萬(wàn)元的機(jī)器可以改進(jìn)宣紙的生產(chǎn)工藝，但這種機(jī)器的使用壽命為一年，只能提高宣紙的質(zhì)量，不能增加宣紙的年產(chǎn)量；據(jù)調(diào)查這種機(jī)器生產(chǎn)的宣紙的質(zhì)量指標(biāo)如表所示：的范圍頻率其中為質(zhì)量指標(biāo)x的平均值，但是由于人們對(duì)傳統(tǒng)手工工藝的認(rèn)可，改進(jìn)后的正牌和副牌宣紙的利潤(rùn)都將下降元/張，請(qǐng)?jiān)摴臼欠褓?gòu)買這種機(jī)器，請(qǐng)你為公司提出合理建議，并說(shuō)明理由．（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）22．古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說(shuō)：“哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美，哪里就有發(fā)現(xiàn)……”，對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要組成部分，比如圓，正多邊形……，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：（1）魏晉時(shí)期，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”，割圓術(shù)可以視為將一個(gè)圓內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示)，當(dāng)n變得很大時(shí)，等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運(yùn)用割圓術(shù)的思想，求的近似值(結(jié)果保留).（2）正n邊形的邊長(zhǎng)為a，內(nèi)切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R，求證：.參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意可列出方程，求解即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的100倍，則，即，．故選：D．2．A【解析】根據(jù)命題的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，“紅豆生南國(guó)”是陳述句，所述事件在唐代是事實(shí)，所以，本句是命題；對(duì)于B選項(xiàng)，“春來(lái)發(fā)幾支”是疑問(wèn)句，不是命題；對(duì)于C選項(xiàng)，“愿君多采擷”是祈使句，不是命題；對(duì)于D選項(xiàng)，“此物最相思”是感嘆句，不是命題.故選：A.3．B【分析】根據(jù)詩(shī)句的含義及充分條件、必要條件的定義可得正確的選項(xiàng).【詳解】“不破樓蘭終不還”指“不攻破樓蘭”不回家，但“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，但“返回家鄉(xiāng)”一定“攻破樓蘭”，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：B.4．C【分析】設(shè)輸入的值為，將循環(huán)列舉出來(lái)，可得出輸出的關(guān)于的表達(dá)式，由輸出的值為零，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)出入的值為，第一次循環(huán)，，，，不成立；第二次循環(huán)，，，不成立；第三次循環(huán)，，，不成立；第四次循環(huán)，，，成立，跳出循環(huán)體.輸出的，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸入結(jié)果，一般要求將程序的每一步列舉出來(lái)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．D【詳解】分析：通過(guò)歸納法，找到系數(shù)、分母、分子間的關(guān)系，即可得到n的值．詳解：具有“穿墻術(shù)”的數(shù)字特征為，因?yàn)榫哂小按πg(shù)”所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了歸納推理的應(yīng)用，通過(guò)所給示例找到變化的規(guī)律特征，從而求出項(xiàng)的值，是簡(jiǎn)單題．6．C【分析】由4位回文數(shù)只用排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字隨之確定，根據(jù)第一位不能為0，第二位任取，得到4位回文數(shù)的個(gè)數(shù)，由第一位是奇數(shù)，第二位數(shù)任取，得到奇數(shù)的個(gè)數(shù)，代入古典概型的概率個(gè)數(shù)求解.【詳解】4位回文數(shù)只用排列前兩位數(shù)字，后面數(shù)字可以確定，但是第一位不能為0，有9種情況，第二位有10種情況，∴4位回文數(shù)有：．4位回文數(shù)的第一位是奇數(shù)，有5種情況，第二位有10種情況，∴四位數(shù)的回文數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：，∴在所有四位數(shù)的回文數(shù)中，出現(xiàn)奇數(shù)的概率為．故選：C．7．B【分析】直接利用條件概率公式計(jì)算得到答案.【詳解】記事件A表示“清明節(jié)當(dāng)天下雨”，B表示“第二天下雨”，由題意可知，，所以．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力8．A【分析】先閱讀理解題意，再利用充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意知，“返回家鄉(xiāng)”則可推得“攻破樓蘭”，即必要條件成立，反之“攻破樓蘭”不一定“返回家鄉(xiāng)”，即充分條件不成立，故“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.故選：A.9．A【分析】首先根據(jù)題意設(shè)個(gè)兒子按年齡從大到小依次分綿斤，斤，斤，…，斤，從而得到數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，再根據(jù)求解即可.【詳解】設(shè)個(gè)兒子按年齡從大到小依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列為公差為的等差數(shù)列.因?yàn)榫d的總數(shù)為斤，所以，解得.故選：A10．B【分析】根據(jù)題意得到每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求和，根據(jù)其和小于即可說(shuō)明命題.【詳解】該命題說(shuō)明每天截取的線段長(zhǎng)度構(gòu)成了以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因?yàn)?，所以能反映命題本質(zhì)的式子是.故選：B.11．A【分析】讀懂古文的含義，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判定，即可求解【詳解】由“小故，有之不必然，無(wú)之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若見(jiàn)之成見(jiàn)也”知“大故”必然有其原因，有其原因必然會(huì)發(fā)生，所以“有之必然”所表述的數(shù)學(xué)關(guān)系一定是充分條件.故選：A.12．B【分析】本題可根據(jù)充分條件與必要條件的定義得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤胺怯兄菊卟荒苤烈病奔础坝兄尽辈怀闪r(shí)“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件，故選：B.13．B【分析】根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，易知每一段弧是圓周長(zhǎng)的求解.【詳解】由題意知：“螺旋蚊香”的總長(zhǎng)度為，故選：B14．B【分析】求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由到圓心距離減去圓半徑可得．【詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，的中點(diǎn)為故解得，要使從點(diǎn)A到軍營(yíng)總路程最短，即為點(diǎn)到軍營(yíng)最短距離，“將軍飲馬”的最短總路程為.故選：B．15．A【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列模型求解.先確定通項(xiàng)公式，再根據(jù)前項(xiàng)和為，求出首項(xiàng)，再利用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)的值.【詳解】記8個(gè)兒子按年齡從大到小依次分棉斤，斤，斤，...，斤，因?yàn)榘凑漳挲g從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多17斤綿，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以.因?yàn)榫d的總數(shù)為996斤，所以，解得.所以第7個(gè)兒子分到的綿是斤.故選：A.16．B【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得；【詳解】解：扇環(huán)的面積為．故選：B17．A【分析】本題可借助組合數(shù)以及分步乘法計(jì)數(shù)原理得出結(jié)果.【詳解】要想組成一個(gè)矩形，需要找出兩條橫邊、兩條縱邊，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，依題意，所有矩形的個(gè)數(shù)為，故選：A.18．B【分析】根據(jù)題意得到這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，這個(gè)人每日布施的金錢數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，設(shè)他布施了日，則，解得或(舍去).故選：B.19．【分析】依題意可得，從而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可；【詳解】解：把代入，得，則，∴．故答案為：20．14400【分析】原問(wèn)題等價(jià)于：含在內(nèi)的8個(gè)不同元素排成一排，其中互不相鄰的排列方法有多少種？先將除之外的5個(gè)元素排成一排，共有6個(gè)空檔，將安排到6個(gè)空檔之中，原來(lái)5個(gè)元素全排列即可.【詳解】原問(wèn)題等價(jià)于：含在內(nèi)的8個(gè)不同元素排成一排，其中互不相鄰的排列