易錯壓軸02 圓與相關(guān)的計算（十大易錯壓軸題型、舉一反三、易錯題通關(guān)）（原卷版）

2/2易錯壓軸02圓與相關(guān)的計算易錯壓軸一：垂徑定理例1．如圖，E是的直徑上一點，，，過點E作弦，P是弧上一動點，連接，過點A作，垂足為Q，則的最小值為（

）A． B． C． D．例2．如圖，、是中的兩條弦，相交于點E，且，，點H為劣弧上一動點，G為中點，若，，連結(jié)，則最小值為．練習1．如圖，是的直徑，半徑，為上一動點，為的中點，連接．若的半徑為2，則的最大值為（

）A． B． C．4 D．練習2．如圖，已知的弦，以為一邊作正方形，邊與相切，切點為E，則半徑為．練習3．如圖，內(nèi)接，點A為的中點，D為邊上一點，，是的切線，，連接．

(1)求證：；(2)當點A到弦的距離為1時，求的值．1．如圖，為的直徑，為上一點，過點作交于點，交于點，連接，，過點作于點，交于點，若，，則的半徑為（

）A． B． C． D．2．如圖，是中的兩條弦，相交于點，且，點為劣弧上一動點，為中點，若，連接，則最小值為．3．在中，點A，點B，點P在圓上，．(1)如圖①，P為弦所對的優(yōu)弧上一點，半徑經(jīng)過弦的中點M，求和的大小；(2)如圖②，P為弦所對的劣弧上一點，，過點B作的切線，與的延長線相交于點D，若，求的長．易錯壓軸二：弧、弦、圓心角的關(guān)系例1．如圖，線段，分別為的弦，，，平分，若，則弦的長為（

）A． B． C． D．例2．將的劣弧沿弦折疊、剛好落在半徑的中點C處，已知，則．練習1．如圖，半徑長，點A、B、C是三等分點，D為圓上一點，連接，且，交于點E，則（）

A． B． C． D．練習2．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，三角形內(nèi)接于圓，且頂點A，B均在格點上．（1）線段的長為；（2）若點D在圓上，在上有一點P，滿足．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明）．練習3．如圖，是的外接圓，，于點D，延長線交于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．1．如圖，是的直徑，為弦，是弧的中點，連接交于，若，，則（

）A．1 B． C． D．22．在綜合實踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑向上對折得到圖②，再沿弦向下翻折得到圖③，最后沿弦向上翻折得到圖④．（1）若點E是弧的中點，則；（2）若，則．（用關(guān)于n的代數(shù)式表示）3．已知的直徑，弦與弦交于點E，且，垂足為點F．(1)如圖1，若，求的長．(2)如圖2，若E為弦的中點，求證：．(3)連接、、，若是的內(nèi)接正n邊形的一邊，是⊙O的內(nèi)接正邊形的一邊，求的面積．易錯壓軸三：圓周角例1．如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，連結(jié)，平分交于，若，則的半徑為（

）A． B． C． D．5例2．如圖，已知中，，點是邊上的動點，以為直徑作，連接交于點，則的最小值為．練習1．如圖，在中，，，以邊為直徑作，與線段的延長線分別交于點，則的長為（

）A． B． C． D．練習2．如圖，O、B兩點是線段的三等分點，以為直徑作，連接，交于點D，若點D恰為線段中點，則為．練習3．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，交于點E，交于點F，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．1．如圖，已知點，，在上，C為的中點．若，則等于（

）．A． B． C． D．2．如圖，在中，，、，點是內(nèi)部的一個動點，連接，且滿足．（1）；（2）當線段最短時，的面積為．3．如圖，是的直徑，，在上兩點，連結(jié)，．

(1)如圖1，點是延長線上一點，，求證：與相切；(2)如圖2，點在上，于點，連接并延長交于點，若為的直徑，，，①求證：；②求半徑的長．易錯壓軸四：切線長定理例1．如圖，，切于、兩點，切于點，分別交，于，，，若的半徑為，的周長等于，則的值是（

）A． B． C． D．例2．如圖，在中，，，以為直徑作半圓，過點作半圓的切線，切點為，過點作交于點，則．練習1．如圖，是的直徑，、是的兩條切線，、是切點，若，，則的長度為（

）A．1 B． C． D．練習2．如圖，的內(nèi)切圓與，分別相切于D，E兩點，連接，的延長線交于點F，若，則的大小是．

練習3．如圖，是外的一點，、分別與相切于點、，是上的任意一點，過點的切線分別交、于點、．(1)若，求的周長；(2)若，求的度數(shù)．1．如圖，與正方形的兩邊，相切，且與相切于點.若的半徑為，且，則的長度為（

）A． B． C． D．2．如圖，已知是的內(nèi)切圓，（1）若，則°；（2）如圖，若與邊相切于點P，且，，，則．3．如圖是的直徑，，與分別相切于點B，C，交的延長線于點D，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．易錯壓軸五：正多邊形與圓例1．如圖，多邊形為正六邊形，點P在邊上，過點P作交于點Q，連接，且滿足設(shè)四邊形、四邊形和的面積分別為、、，則正六邊形的面積為（

）A． B．C． D．例2．圖1是一種拼裝玩具的零件，它可以看作是底面為正六邊形的六棱柱，其內(nèi)部挖去一個底面為正方形的長方體后得到的幾何體，圖2是該零件的俯視圖，正方形的兩個相對的頂點A，C分別在正六邊形一組平行的對邊上，另外兩個頂點B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點E，F(xiàn)分別是正六邊形的頂點．已知正六邊形的邊長為2，正方形邊長為a．（1）連接，的長為；（2）a的取值范圍是．練習1．如圖，在中，頂點，，，將與正六邊形組成的圖形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標為（

）A． B． C． D．練習2．如圖，已知四個正六邊形擺放在圖中，頂點A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上，其中上下兩個大一點的正六邊形邊長均為a，左右兩個正六邊形邊長均為b．（1）；（2）若，則．練習3．【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在正方形中，點O為對角線的交點，點為正方形外一動點，且滿足，連接．若正方形邊長為4，則的最大值為______；（2）如圖2，已知和都是等邊三角形，連接，求證：；【拓展應用】（3）如圖3，某地有一個半徑為的半圓形（半圓O）人工湖，其中是半圓的直徑，在半圓上（不與重合），現(xiàn)計劃在的左側(cè)，規(guī)劃出一個三角形區(qū)域，開發(fā)成垂釣中心，要求為入口，并沿修建一筆直的觀光橋，根據(jù)規(guī)劃要求觀光橋的長度盡可能的長，問的長度是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．1．如圖所示的正六邊形中，點M是邊的中點，連接，相交于點N．若正六邊形的面積為6，陰影部分①的面積為a，陰影部分②的面積為b，則的值是（

）A． B．1 C． D．22．如圖，在邊長為2的正六邊形中，點，分別是，的中點，連接，，與相交于點，則的值為．

3．如圖1，五邊形是的內(nèi)接五邊形，，對角線于點．(1)①若，則_______；②猜想和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當經(jīng)過圓心時，若，，求；(3)作于點，求的值．易錯壓軸六：弧長與扇形面積例1．如圖，是的直徑，將弦繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時點的對應點落在上，延長，交于點，若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．例2．如圖是相同的邊長為的菱形組成的網(wǎng)格，已知，點均在小菱形的格點（網(wǎng)格線的交點）上，且點在上，則的長為．練習1．如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑所作的弧經(jīng)過點，并與邊交于點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．練習2．如圖是一個圓形分格干果盒，它由六個小格組成，中間是圓形，周圍是五個完全相同的扇環(huán)形．它的俯視圖（小格的厚度忽略不記）中，，，則圖中陰影部分的面積是．（用含的代數(shù)式表示）

練習3．（1）問題提出：如圖1，是邊長為8的等邊三角形，D是邊上一點且平分的面積，求的長為；（2）問題探究：如圖2是某公園的一塊空地，由和四邊形組成，，，米，，，公園管理人員現(xiàn)準備過點A修一條筆直的小路（小路面積忽略不計），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點M在邊上），分別種植不同的花卉，請在圖中確定點M的位置，并計算小路的長．（結(jié)果保留根號）（3）拓展應用：如圖3某公園的一塊空地由三條道路圍成，即線段、、，已知米，米，，的圓心在邊上，并從的中點P修一條直路（點M在上）．請問是否存在，請直接寫出此時的長度；若不存在，請說明理由1．如圖，在四邊形中，，，，以中點為圓心作弧及弧，動點從點出發(fā)沿線段，弧，弧，線段的路線運動，點從點C運動到點時，線段掃過的面積為（

）A． B． C． D．2．如圖，將半徑為4，圓心角為的扇形繞弧的中點逆時針旋轉(zhuǎn)，點，的對應點分別為點，點落在上，點落在上，則圖中陰影部分的面積為．3．如圖，在中，，過點作，垂足于點．

(1)求證：直線是的切線；(2)若半徑為4，，求陰影部分的面積；(3)求證：．易錯壓軸七：圓中最值問題例1．如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是邊上的動點（不與點B、C重合），與交于點，連結(jié)．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在的延長線上，且的長為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④例2．如圖，二次函數(shù)與x軸交于AB兩點（點A在點B左邊），與y軸交于C點，若點D坐標為（0，2），以D點為圓心，R為半徑作圓，P為⊙D上一動點，當△APC面積最小為5時，則R＝．練習1．如圖，在矩形中，，E是邊上的一動點，以為直徑的經(jīng)過邊上的一點F．若使最小，則的值為（

）

A．1 B． C． D．練習2．如圖，在平面直角坐標系中，的圓心的坐標為，半徑為，點為直線上的動點，過點作的切線，切點為，則當時，切線長值最小，最小值為．練習3．定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個等圓的最小半徑為_________．1．如圖，等邊邊長為6，E、F分別是邊、上兩個動點且．分別連接、，交于P點，則線段長度的最小值為（

）A． B． C． D．32．如圖，點、，以點為圓心為半徑作交軸于兩點，點為上一動點，連接，取中點，連接，則的最大值為．3．綜合與實踐：【問題情境】數(shù)學活動課上，同學們發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論：如圖，已知等腰和等腰，其中，射線與相交于點，那么和數(shù)量關(guān)系是________，和位置關(guān)系是________；【思考嘗試】如圖，已知四邊形和四邊形都是正方形，是等腰直角三角形，，連接．同學們發(fā)現(xiàn)若能證明四邊形為平行四邊形，即可找出與的數(shù)量關(guān)系．請你根據(jù)以上思路，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系________；【實踐探究】如圖，四邊形和四邊形都是矩形，若，連接．求出與的數(shù)量關(guān)系；【拓展遷移】如圖，在【實踐探究】的基礎(chǔ)上，若，，如果所在直線相交于點，請直接寫出矩形繞點旋轉(zhuǎn)一周過程中長度的最小值________．易錯壓軸八：圓與三角形的綜合例1．如圖所示，點P是的半徑延長線上的一點，過點P作的切線，切點為A，是的弦，連接，，若，則的大小為（

）

A． B． C． D．例2．如圖，已知為等腰三角形的外接圓，為劣弧上一點，連接交于點，若，則的值為．練習1．如圖，已知直線，與軸、軸分別交于、兩點，是以為圓心，為半徑的圓上一動點，連接、，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．練習2．如圖，與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，P為上一動點，Q為弦上一點，，若點D的坐標為，則的最小值為．練習3．已知：是的兩條弦，（如圖1），點M、N分別在弦上，且，連接．(1)求證：；(2)當是銳角時，如果，求證：四邊形是等腰梯形；(3)過M作，交于E；過N作，交于點F，如圖2．求證：．1．如圖，在中，，過點，的分別交，于，兩點，連接并延長交于點，連接，．若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．2．如圖，內(nèi)接于，于點D，若，當時，則半徑與的比值為．

3．已知：為的直徑，為上一點，和過點的切線互相垂直，垂足為，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，延長交的延長線于點的平分線分別交于點，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，如果是的中點，且，求線段的長．易錯壓軸九：圓與四邊形的綜合例1．如圖，等腰內(nèi)接于，直徑，D是圓上一動點，連接，且交于點G．下列結(jié)論：①平分；②；③當時，四邊形的周長最大；④當，四邊形的面積為．其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．如圖，四邊形內(nèi)接于，其中，分別延長、交于點，若，則的半徑為．練習1．如圖，正方形內(nèi)接于，線段在對角線上運動，若的面積為，，則周長的最小值是（

）A．6 B．8 C．9 D．10練習2．如圖，在四邊形中，，，，，為線段上的一個動點，連接，以為直徑作，當與直角梯形的邊相切時，線段的最小值為．練習3．【感知】如圖①點均在上，，則的大小為______度．【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點在上（點不與點重合），連接．求證：．小明發(fā)現(xiàn)，延長至點，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長至點，使，連接．四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，是等邊三角形，，．請你補全余下的證明過程．【應用】如圖③，是的外接圓，，點在上，且點與點在的兩側(cè)，連接，若，求的值．1．如圖，的半徑為，四邊形ABCD為的內(nèi)接矩形，，M為DC中點，E為上的一個動點，連結(jié)DE，作交射線EA于F，連結(jié)MF，則MF的最大值為（

）A． B． C． D．2．如圖，正方形ABCD的邊長為12，⊙B的半徑為6，點P是⊙B上一個動點，則的最小值為．3．如圖，是的直徑，為上位于異側(cè)的兩點，使得，連接交于點．(1)證明：；(2)若，求的度數(shù)；(3)設(shè)交于點，若，，是的中點，求的值．易錯壓軸十：圓與函數(shù)的綜合例1．如圖，半徑為2的與x軸的正半軸交于點A，點B是上一動點，點C為弦的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則面積的最小值為（

）A．