專題6-4數(shù)列的通項(xiàng)公式8大考點(diǎn)（原卷版）

專題64數(shù)列通項(xiàng)的求法8大考點(diǎn)知識點(diǎn)1數(shù)列的遞推公式1、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．2、通項(xiàng)公式和遞推公式的異同點(diǎn)不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號n的值，直接代入求出an都可確定一個數(shù)列，也都可求出數(shù)列的任意一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))的值，通過一次(或多次)賦值，逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an知識點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項(xiàng)．2、公式法（1）使用范圍：若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式構(gòu)造兩式作差求解．（2）用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一）．3、累加法：適用于an＋1＝an＋f(n)，可變形為an＋1－an＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解4、累乘法：適用于an＋1＝f(n)an，可變形為eq\f(an＋1,an)＝f(n)要點(diǎn)：利用恒等式an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(an≠0，n≥2，n∈N*)求解5、構(gòu)造法：對于不滿足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法要點(diǎn)：對所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解6、取倒數(shù)法求通項(xiàng)：an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))，可變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p)要點(diǎn)：①若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，可用公式求通項(xiàng)；②若p≠r，則轉(zhuǎn)化為an＋1＝san＋t型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造：適用于形如型的遞推式用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．8、不動點(diǎn)法（1）定義：方程的根稱為函數(shù)的不動點(diǎn)．利用函數(shù)的不動點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動點(diǎn)法．（2）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），=1\*GB3①當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；=3\*GB3③當(dāng)時，數(shù)列為等比數(shù)列；=4\*GB3④當(dāng)時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項(xiàng)公式為：；（3）形如，，（是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為（*）．（1）若方程（*）有二異根、，則可令（、是待定常數(shù)）；（2）若方程（*）有二重根，則可令（、是待定常數(shù)）．(其中、可利用，求得)一、觀察法的解題規(guī)律觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng)．使用觀察法時要注意：=1\*GB3①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號的關(guān)系．=3\*GB3③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方、與有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列．二、公式法求通項(xiàng)公式的策略1、已知Sn求an的三個步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2、Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．二、累加法解題策略形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；=2\*GB3②若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；=3\*GB3③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和．三、累乘法解題策略形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．三、構(gòu)造法求通項(xiàng)的幾種常見類型及技巧1、類型一：形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：法一：設(shè)，展開移項(xiàng)整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出2、類型二：形如型的遞推式：（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出，再用累加法便可求出（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)整理可得法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r，由遞推式得：—①，，兩邊同時乘以得—②，由①②兩式相減得，即，構(gòu)造等比數(shù)列。法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q，r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：，再結(jié)合第一種類型。3、類型三：當(dāng)為任意數(shù)列時，可用通法：在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．考點(diǎn)一觀察法求通項(xiàng)公式【例1】（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著的《解析九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（）個球．A．12B．20C．55D．110【變式11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，若原正三角形邊長為1，記第個圖中圖形的邊數(shù)為，第個圖中圖形的周長為，則下列命題正確的是（）A．B．C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【變式12】（2023·全國·高三專題練習(xí)）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個正六邊形的線性分形圖如下圖所示，若圖1中正六邊形的邊長為1，圖中正六邊形的個數(shù)記為，所有正六邊形的周長之和?面積之和分別記為，其中圖中每個正六邊形的邊長是圖中每個正六邊形邊長的，則下列說法正確的是（

）A．B．C．存在正數(shù)，使得恒成立D．【變式13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組將一行數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列．如圖，第一行數(shù)列為1，2；得到第二行數(shù)列1，2，2；得到第三行數(shù)列1，2，2，4，2，…，則第5行從左數(shù)起第6個數(shù)的值為；用表示第n行所有項(xiàng)的乘積，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，作一個白色的正三角形，第一次操作為：挖去正三角形的“中心三角形”（即以原三角形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），這樣就得到了三個更小的白色三角形；第二次操作為：挖去第一次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”；以此類推，第次操作為：挖去第次操作后得到的所有白色三角形的“中心三角形”，得到一系列更小的白色三角形．這些白色三角形構(gòu)成的圖案在“分形幾何學(xué)”中被稱為“謝賓斯基三角形”，記第次操作后，“謝賓斯基三角形”所包含的白色小三角形的數(shù)目為，“謝賓斯基三角形”的面積（所有白色小三角形的面積和）為，周長（所有白色小三角形的周長和）為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若最初的白色正三角形的周長為1，求數(shù)列和的通項(xiàng)公式．考點(diǎn)二Sn與an型求通項(xiàng)公式【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A．2021B．2022C．2023D．2024【變式21】（2023秋·貴州貴陽·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．80B．160C．121D．242【變式22】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為（）A．B．C．D．【變式23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若滿足，則（）A．B．C．D．【變式24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則下列選項(xiàng)錯誤的是（）A．B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．－5050考點(diǎn)三累加法求通項(xiàng)公式【例3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式31】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則等于（）A．B．C．D．【變式32】（2023·全國·高三專題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《解析九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4個為1，3，7，13，則該數(shù)列的第13項(xiàng)為（

）A．156B．157C．158D．159【變式33】（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若的“差數(shù)列”的第項(xiàng)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（）A．B．C．D．【變式34】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，若，則（）A．8B．9C．10D．11考點(diǎn)四累乘法求通項(xiàng)公式【例4】（2023·河南·高三模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，，則（）A．2023B．2024C．4045D．4047【變式41】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，（為正整數(shù)），則的值為（）A．B．C．D．【變式42】（2023·河南·鄭州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（且），若，則（）A．46B．49C．52D．55【變式43】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對某軟件進(jìn)行升級，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是3，且，，則（）A．B．C．D．【變式44】（2022秋·湖南常德·高三校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，則（）A．B．C．D．考點(diǎn)五構(gòu)造法求通項(xiàng)公式【例5】（2023秋·陜西商洛·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則滿足的最小正整數(shù)．【變式51】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若，則n的最大值為（）A．50B．51C．52D．53【變式52】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中,,,則（）A．是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列D．是等比數(shù)列【變式53】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【變式54】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在數(shù)列中，，，則．【變式55】（2023春·河南洛陽·高三?？奸_學(xué)考試）在正項(xiàng)數(shù)列中，，前項(xiàng)和滿足，則（）A．72B．80C．90D．82【變式56】（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，則的通項(xiàng)公式是．考點(diǎn)六取倒數(shù)法求通項(xiàng)公式【例6】（2023·全國·高三對口高考）數(shù)列中，，，則．【變式61】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，若，則正整數(shù)的值為.【變式62】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則．【變式63】（2020·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列的