專題14 圖形的相似（講義）（原卷版）

專題14圖形的相似核心知識點精講1.了解線段的比、成比例線段、黃金分割、相似圖形有關(guān)概念及性質(zhì)．2.探索并掌握三角形相似的性質(zhì)及條件，并能利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的實際問題．3.掌握圖形相似的概念，能用相似的性質(zhì)將一個圖形放大或縮?。局R網(wǎng)絡(luò)】考點一、比例線段1.比例線段的相關(guān)概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.如果作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的基本性質(zhì)：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB≈0.618AB.考點二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比相等，對應(yīng)邊上的中線的比相等，對應(yīng)角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.【要點詮釋】結(jié)合兩個圖形相似，得出對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數(shù)和線段的長.對于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.【題型1：比例線段】【典例1】下列四條線段成比例的是（

）A． B．C． D．1．若是成比例的線段，其中，，，則線段d的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．已知成比例的四條線段的長度分別為，，，，且的三邊長分別為，，，則是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．無法判定3．在比例尺為的某市旅游地圖上，某條道路的長為，則這條道路的實際長度為（

）A． B． C． D．【題型2：黃金分割點】【典例2】小穎同學(xué)是校園藝術(shù)節(jié)的主持人，學(xué)完黃金分割后她想，主持節(jié)目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位置，會讓臺下的同學(xué)們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段，量得米，若點是線段的黃金分割點，則線段的長為（

）A． B． C． D．1．如圖，冬奧會吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，它泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點處，若玩偶身高，則玩偶嘴巴到腳的距離是（

）A． B． C． D．2．如圖，C是線段的黃金分割點，，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A． B．C． D．3．黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，是因為它符合人們的視覺習(xí)慣和審美心理，能夠創(chuàng)造出更加和諧、平衡和美觀的藝術(shù)作品和產(chǎn)品．在自然界中黃金分割也很常見，如圖是一個有著“最美比例”的鸚鵡螺，點是線段的黃金分割點，，若，那么的長為（

）A． B． C． D．4．已知線段的長度為，點是線段的黃金分割點，則的長度為（

）A． B． C．或 D．或【題型3：相似四邊形】【典例3】如圖，把一張矩形紙片ABCD沿著AD和BC邊的中點連線EF對折，對折后所得的矩形正好與原來的矩形相似，則原矩形紙片長與寬的比為（

）A．4：1 B． C． D．2：11．如圖，取一張長為a，寬為b的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊a、b應(yīng)滿足的條件是（

）A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝2b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)＝4b2．裝裱一幅寬長的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為，若裝裱上去的左右部分的寬都為，則．3．如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．點E在矩形ABCD的邊BC上，連結(jié)AE，將矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的點B落在邊AD上的點F處，得到矩形CDFE．若矩形CDFE與原矩形ABCD相似，則AD的長為．4．如圖，正方形ABCD中，點E是對角線BD上的一點，BE=BC，過點E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為點F，G，則正方形FBGE與正方形ABCD的相似比為．【題型4：相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用】【典例4】如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為1.6米，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為（

）米．A． B． C． D．21．如圖，在中，點是的重心，過點作分別交邊、于點，聯(lián)結(jié)，那么．2．如圖，G是的重心，延長交于點D，延長交于點E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．3．如圖，某水平地面上建筑物的高度為，在點和點處分別豎立高是的標(biāo)桿和，兩標(biāo)桿相隔，并且建筑物、標(biāo)桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退到點處，在處測得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一條直線上；從標(biāo)桿后退到點處，在處測得建筑物頂端和標(biāo)桿頂端在同一直線上，則建筑物的高是

4．如圖，數(shù)學(xué)興趣小組下午測得一根長為的竹竿影長是，同一時刻測量樹高時發(fā)現(xiàn)樹的影子有一部分落在教學(xué)樓的墻壁上，測得留在墻壁上的影高，地面上的影長為．請你幫算一下，樹高是．1．長春軌道交通6號線預(yù)計于2024年開通運營，在比例尺為的地圖上，量得全線長約為，則軌道交通6號線的實際距離約為．2．已知線段b是線段a，c的比例中項，，，那么cm．3．“黃金分割”給人以美感，它不僅在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而且在大自然中處處有美的痕跡，一片小小的樹葉也蘊含著“黃金分割”．如圖，P為的黃金分割點，如果的長度為，那么的長度是cm．4．如圖，樂器上的一根弦的長度為，兩個端點A、B固定在樂器板面上，支撐點C是弦靠近點B的黃金分割點，則線段的長度為cm．（結(jié)果保留根號，參考數(shù)據(jù)：黃金分割數(shù)：）

一、選擇題1．如圖，點為的重心，，，連接并延長交于點，作于點，過點作交于點，則的值為（）A．1 B． C． D．2．如圖，點為的重心，若，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在中，點在邊上，連接交于點，若，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．4．如圖，，相似比為2，已知的長為2，則的長為（）A．8 B． C．6 D．45．如圖，若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，則稱點P為△ABC的布洛卡點．問題：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF＝90°，若點Q為△DEF的布洛卡點，DQ＝1，則EQ+FQ＝（）A．5 B．4 C．3+ D．2+6．《九章算術(shù)》中記載了一種測量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點，通過測量，，的長度，可以推算出水面以上部分的高度，這種測量原理，就是我們所學(xué)的（

）A．圖形的平移 B．圖形的旋轉(zhuǎn) C．圖形的軸對稱 D．圖形的相似7．如圖，周末小新一家來到河北石家莊正定古城游元，一座古塔塔高為，小新在距離古塔的位置觀看古塔時，與觀看到的手中的景點地圖的古塔縮略圖感覺相同（），若縮略圖中的古塔高為，則縮略圖距離眼睛的距離為（

）

A． B． C． D．8．如圖1，一長方體容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，繞底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜后，水面恰好觸到容器口邊緣．圖2是此時的示意圖，若，，水面離桌面的高度為，則此時點C離桌面的高度為（

）A． B． C． D．二、解答題9．如圖，在中，點分別在上，，，，與交于點.（1）求證：；（2）連接，求證：.10．如圖1，是的高，點E，F(xiàn)分別在邊和上，且．由“相似三角形對應(yīng)高的比等于對應(yīng)邊的比”可以得到以下結(jié)論：．

(1)如圖2，在中，，邊上的高為8，在內(nèi)放一個正方形，使其一邊在上，點M，N分別在，上，則正方形的邊長＝______；(2)某葡萄酒莊欲在展廳的一面墻上，布置一個腰長為100cm，底邊長為120cm的等腰三角形展臺．現(xiàn)需將展臺用平行于底邊的隔板，每間隔10cm分隔出一層，再將每一層盡可能多的分隔成若干個開口為正方形的長方體格子，要求每個格子內(nèi)放置一瓶葡萄酒，平面設(shè)計圖如圖3所示，將底邊的長度看作是第0層隔板的長度；①在分隔的過程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)隔板厚度忽略不計時，每層平行于底邊的隔板長度（單位：cm）隨著層數(shù)（單位：層）的變化而變化．請完成下表：層數(shù)/層0123…隔板長度/cm120__________________…②在①的條件下，請直接寫出該展臺最多可以擺放多少瓶葡萄酒？一、單選題1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，分別交于點D，E，交于點F，，，則的長為（）

A． B． C．2 D．32．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（

）

A． B． C． D．3．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或24．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點為邊的中點，連接，過點作于點，連接交于點，平分交于點．則下列結(jié)論中，正確的個數(shù)為（

）①；②；③當(dāng)時，A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設(shè)計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設(shè)計高度約是（

）（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．6．（2023·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6二、填空題7．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）在綜合與實踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．有一張矩形紙片如圖所示，點在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點對應(yīng)的點記為點，若點恰好落在