專題20 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）（解析版）

專題20二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與面積問題）1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對(duì)稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．【答案】(1)；(2)或或【分析】（1）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；（2）由題意可得拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點(diǎn)P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長的正方形的面積為，過點(diǎn)P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，

假設(shè)過點(diǎn),則有以下兩種情況：①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．(1)求的值；(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求與的面積之和；（ⅱ）在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，解得：，∴；（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，∵，∴解得：，∴直線，如圖所示，依題意，，，，

∴，，∴當(dāng)時(shí)，與的面積之和為，（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱右側(cè)時(shí)，則，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：，

當(dāng)時(shí)，，∴，∴，解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，直線過點(diǎn)，且垂直于軸．過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，交直線于點(diǎn)，其中點(diǎn)、Q在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)恰好在軸上時(shí)，為直線下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，其中交于點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為．求的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）過點(diǎn)作，垂足為根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而列出方程，解方程，即可求解；（3）先求得直線的解析式為，設(shè)，得出直線的解析式為，聯(lián)立得出，根據(jù)等底兩三角形的面積比等于高之比，得出，進(jìn)而得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，對(duì)稱軸過點(diǎn)，，∴解得：∴拋物線解析式為；（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為，

設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，解得：或，∵其中點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸的左側(cè)．∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得：，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴；（3）解：依題意，點(diǎn)恰好在軸上，則，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，平行線分線段比例，面積問題，待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2022·江蘇連云港）已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后分別證明頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；（3）設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點(diǎn)在直線上推出，過點(diǎn)作，垂足為，可以推出,由此即可求解．(1)解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．(2)解：由拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限．(3)解：設(shè)平移后圖像對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，，∴．將代入，解得．∵在軸的負(fù)半軸上，∴．∴．過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)，面積有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的最值問題，正確理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對(duì)稱軸為：，設(shè)點(diǎn)，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．6.（2021·湖北中考真題）如圖，直線與，軸分別交于，，頂點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)．（1）求出點(diǎn)，的坐標(biāo)及的值；（2）若函數(shù)在時(shí)有最大值為，求的值；（3）連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)．設(shè)的面積為．①直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；②結(jié)合與的函數(shù)圖象，直接寫出時(shí)的取值范圍．【答案】（1），，；（2）；（3）①；②且a≠0或．【分析】（1）令x=0，可得直線與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)；令y=0，可得直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得c的值；（2）把配方后，分a>0和a<0兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值，根據(jù)題意可求得此時(shí)的a值；（3）①設(shè)直線AP交x軸于點(diǎn)N，易得Rt△AON∽R(shí)t△MOA，由題意可求得ON的長，從而由相似的性質(zhì)可求得OM，分四種情況：當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)1<a<2時(shí)，當(dāng)a>2時(shí)，分別就這些情況計(jì)算△BMP的面積即可；②畫出函數(shù)S的圖象，求得當(dāng)時(shí)a的值，結(jié)合函數(shù)圖象即可求得時(shí)a的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．得當(dāng)時(shí)，，解得．得把代入，得（2）∵∴當(dāng)，時(shí)，隨的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，的值最大由題意得解得當(dāng)，時(shí)，隨的增大而減小∴當(dāng)時(shí)，的值最大由題意得解得（不合題意，舍去）∴（3）①∵，∴直線AP的解析式為設(shè)直線AP交x軸于點(diǎn)N，令y=0，得∴，過P點(diǎn)作PC⊥x軸于點(diǎn)C，則當(dāng)a<0時(shí)，如下圖所示∵AM⊥AP，OA⊥MN∴∠NAO+∠MAO=∠NAO+∠ANO=90゜∴Rt△AON∽R(shí)t△MOA∴∵OA=1∴∵OB=2∴BM=OB+OM=2-a∵PC=1-a∴當(dāng)0<a<1時(shí)，如下圖所示，同理得：，PC=1-a∴BM=OB-OM=2-a∴當(dāng)1<a<2時(shí)，與上圖同，同理得：，PC=a-1∴BM=OB-OM=2-a∴當(dāng)a>2時(shí)，如下圖所示，同理得：，PC=a-1∴BM=OM-OB=a-2∴當(dāng)a=1或2時(shí)，此時(shí)△MBP不存在綜上所述，②畫出的函數(shù)S的圖象如下當(dāng)時(shí)，解得或由圖象知，當(dāng)且a≠0或時(shí)，S>1∴且a≠0或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求圖形面積等知識(shí)，涉及分類討論思想，且分類的情形比較多，數(shù)形結(jié)合思想，是一個(gè)比較難的題．7．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，①當(dāng)時(shí)，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時(shí)，求正方形的面積．【答案】(1)①3；②；(2)，；(3)①4；②【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)正方形面積公式求解即可；②仿照（1）①先求出，進(jìn)而求出，則；（2）先由函數(shù)圖象可得當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，由此求出當(dāng)時(shí)，，可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求出，進(jìn)而求出當(dāng)時(shí)，求得t的值即可得答案；（3）①根據(jù)題意可得可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，由此可得，則，根據(jù)題意可以看作，則；②由（3）①可得，再由，得到，繼而得答案．【詳解】（1）解：∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在上，且，∵，，∴，∴，故答案為：3；②∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在勻速運(yùn)動(dòng)，∴，∵，，∴，∴；（2）解：由圖2可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，，由圖2可知，對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴可設(shè)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，把代入中得：，解得，∴S關(guān)于t的函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴；（3）解：①∵點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∴可知函數(shù)可以看作是由函數(shù)向右平移四個(gè)單位得到的，設(shè)是函數(shù)上的兩點(diǎn)，則，是函數(shù)上的兩點(diǎn)，∴，∴，∵存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)的正方形的面積均相等．∴可以看作，∴，故答案為：4；②由（3）①可得，∵，∴，∴，∴．

.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與圖形運(yùn)動(dòng)問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)30；(3)【分析】（1）用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．（2）先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．（3）根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為∵，∴，即的坐標(biāo)為則，得∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為過作于，作于，四邊形的面積；

（3）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．由勾股定理得：，∵，∴，即，∴由，得，∴．∴是等腰直角三角形∴∴的坐標(biāo)為所以過的直線的解析式為令解得，或所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為即所求的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是將所學(xué)的知識(shí)靈活運(yùn)用．9.（2021·福建中考真題）已知拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過點(diǎn)，求的最小值；（2）已知點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線上，且，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點(diǎn)B，C．求證：與的面積相等．【答案】（1）-1；（2）①；②見解析【分析】（1）先求得c=1，根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為判別式△=0，從而構(gòu)造二次函數(shù)求解即可；（2）①根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，得拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè)，據(jù)此判斷即可；②證明AB=BC即可【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以，即．（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn)，所以，所以，即．所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值．（2）①因?yàn)閽佄锞€與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以拋物線上的點(diǎn)只能落在x軸的同側(cè)．又點(diǎn)中恰有兩點(diǎn)在拋物線的圖象上，所以只能是在拋物線的圖象上，由對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為，所以，即，因?yàn)?，所以．又點(diǎn)在拋物線的圖象上，所以，故拋物線的解析式為．②由題意設(shè)，則．記直線為m，分別過M，N作，垂足分別為E，F(xiàn)，即，因?yàn)?，所以．又，所以，所以．所以，所以，即．所以，即．①把代入，得，解得，所以．②將②代入①，得，即，解得，即．所以過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為，將代入，得，即，將代入，得，即，所以，因此，所以與的面積相等．【點(diǎn)睛】本小題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，突出運(yùn)算能力、推理能力、空間觀念與幾何直觀、創(chuàng)新意識(shí)，靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想及化歸與轉(zhuǎn)化思想求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．設(shè)四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最大值．【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)①2或3或；②，S的最大值為【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的函數(shù)表達(dá)式，再求得點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；（2）①分當(dāng)點(diǎn)在直線上方和點(diǎn)在直線下方時(shí)，兩種情況討論，根據(jù)列一元二次方程求解即可；②證明，推出，再證明四邊形為矩形，利用矩形面積公式得到二次函數(shù)的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由得，當(dāng)時(shí)，．解得．∵點(diǎn)A在軸正半軸上．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得，解得，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將代入，得．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）①解：點(diǎn)在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上，且軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為．∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．∴．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴．∵，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí)，．

∵，∴．解得．如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí)，．

∵，∴．解得，∵，∴．綜上所述，的值為2或3或；②解：如圖3，由（1）得，．

∵軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴．∵點(diǎn)在直線上方，∴．∵軸于點(diǎn)，∴．∴，，∴．∴．∴．∴．∴．∴四邊形為平行四邊形．∵軸，∴四邊形為矩形．∴．即．∵，∴當(dāng)時(shí)，S的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)，第二問難度較大，需要分情況討論，畫出大致圖形，用含m的代數(shù)式表示出是解題的關(guān)鍵．11.（2021·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：交x軸于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作，垂足為E，若，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)N，連接，記的面積為，的面程為，求的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線的函數(shù)解析式即可；（2）先根據(jù)和勾股定理求得，，過點(diǎn)E做平行于交y軸于T，易證，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo)，求得直線OE的解析式，和拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)；（3）延長于至點(diǎn)F，使軸，過A點(diǎn)作于點(diǎn)H，作軸交于點(diǎn)T，過M點(diǎn)作于點(diǎn)D，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式可得，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進(jìn)而可求得AF，設(shè)，則，根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法求的MT的最大值，進(jìn)而可求得的最大值．【詳解】解：（1）依題意，設(shè)，代入得：，解得：∴；（2）由，設(shè)=x，則，∵BE⊥OD，∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，即，解得：（舍），∴，，過點(diǎn)E做平行于交y軸于T，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∴直線的解析式為，∵的延長線交拋物線于點(diǎn)D，∴，解得：（舍），當(dāng)時(shí)，，∴；（3）如圖所示，延長于至點(diǎn)F，使軸，過A點(diǎn)作于點(diǎn)H作軸交于點(diǎn)T，過M點(diǎn)作于點(diǎn)D，

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，設(shè)直線的解析式為，將B，C兩點(diǎn)代入得解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、解一元二次方程、三角形的面積、勾股定理、求函數(shù)的最值等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖象，添加合適的輔助線，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行推理、探究和計(jì)算．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖①，拋物線與x軸交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC.點(diǎn)P是x軸上任意一點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在拋物線上，若以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合），自點(diǎn)P分別作，交AC于點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)D．當(dāng)m為何值時(shí)，面積最大，并求出最大值．【答案】(1)；(2)點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；(3)時(shí)，有最大值，最大值為【分析】（1）將，代入，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）由二次函數(shù)，求得點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，分類討論：當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求解；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，可證，；運(yùn)用待定系數(shù)法求直線解析式，直線解析式；設(shè)點(diǎn)，，則，，，，運(yùn)用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，從而確定時(shí)，最大值為．【詳解】（1）將，代入，得，解得∴拋物線解析式為：（2）二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，∵四邊形為平行四邊形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或點(diǎn)Q坐標(biāo)；當(dāng)為邊，為對(duì)角線時(shí)，同理得，解得，或，∴∴點(diǎn)Q坐標(biāo)或綜上，點(diǎn)Q坐標(biāo)，或或；（3）如圖，過點(diǎn)D作，過點(diǎn)E作，垂足為G，F(xiàn)，∵，∴∴∵∴，同理可得設(shè)直線的解析式為：則，解得∴直線：同理由點(diǎn)，，可求得直線：設(shè)點(diǎn)，，則，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴時(shí)，，有最大值，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程求解，解直角三角形，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，分類討論是解題的關(guān)鍵．13.（2021·山東中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，連接，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，得到新拋物線，點(diǎn)在新拋物線的對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考：若點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（1）該拋物線的表達(dá)式為：；（2）面積最大值為8，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（2，-6）；（3）或或或【分析】（1）將兩個(gè)點(diǎn)分別代入拋物線可得關(guān)于a，b的二元一次方程組，可解得a，b；（2）設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用三角形相似，及三角形面積公式，代入化簡可得一個(gè)二次函數(shù)，求其最大值即可；（3）拋物線的平移可確定拋物線解析式及對(duì)稱軸，設(shè)出點(diǎn)E、F，應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及矩形特點(diǎn)分成的三角形為直角三角形，可得出答案．【詳解】解：（1）將A（-1,0），B（4,0）代入拋物線可得：，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為：；（2）過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖所示：設(shè)且，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∴，，根據(jù)拋物線的基本性質(zhì)：對(duì)稱軸為在內(nèi)，∴在取得最大值，代入得：，當(dāng)時(shí)，，∴面積的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為：．（3）在（2）的條件下，原拋物線解析式為，將拋物線向右平移經(jīng)過點(diǎn)，可知拋物線向右平移了個(gè)單位長度，∴可得：，化簡得平移后的拋物線：，對(duì)稱軸為：，由（2）得：A（-1，0），，點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，∴設(shè)E（3，e），點(diǎn)F（m，n），矩形AEPF，當(dāng)以AP為矩形的對(duì)角線時(shí)，則AP的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，EF的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)相同，可得：解得：∵矩形AEPF，∴為直角三角形，∴，③，，，代入③化簡可得：，④∴將②代入④可得：，化簡得：，根據(jù)判別式得：，∴，∴或；當(dāng)以AP為矩形的邊時(shí)，如圖所示：過點(diǎn)P分別作PG⊥x軸于點(diǎn)G，PH∥x軸，過點(diǎn)F作PH的垂線，垂足為H，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為M，如圖，∴，，AM=4，∴，∵四邊形是矩形，∴，AE=PF，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴FH=2，∵點(diǎn)，∴，當(dāng)以AP為矩形的邊時(shí)，如圖所示：同理可得；綜上所述：以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，或或或【點(diǎn)睛】題目考查確定二次函數(shù)解析式及其基本性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等，難點(diǎn)主要是依據(jù)圖像確定各點(diǎn)、線段間的關(guān)系，得出答案．14．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．【答案】(1)0或2或；(2)①6，②存在，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照?qǐng)D像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，，若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，，，．綜上所述，或0．故答案為：0或2或．（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：拋物線的解析式為：．點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，，，由，得直線的解析式為，在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，，，，，．故答案為：6．②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．由①得：，，，，，，，，，，即，，，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．15.（2021·湖北中考真題）拋物線（）與軸相交于點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為，為對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，求的面積；（3）若是對(duì)稱軸上一定點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）4；（3）【分析】（1）與軸相交于點(diǎn)，得到，再根據(jù)拋物線對(duì)稱軸，求得，代入即可．（2）在軸上方且平行于軸的直線與拋物線從左到右依次交于、兩點(diǎn)，可知、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，是等腰直角三角形得到，設(shè)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得的面積．（3），根據(jù)距離公式求得，注意到的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，從而求得的最小值．【詳解】解：（1）由拋物線（）與軸相交于點(diǎn)得到拋物線的對(duì)稱軸為，即，解得∴拋物線的方程為（2）過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作，交AB于點(diǎn)N，如下圖：∵是等腰直角三角形∴，又∵軸∴∴為等腰直角三角形∴設(shè)，則，∴又∵∴解得或當(dāng)時(shí)，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，不符合題意綜上所述：．（3）設(shè)，在拋物線上，則將代入上式，得當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，最小，即最小=當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，最小，即最小，綜上所述【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸、二次函數(shù)與三角形面積、等腰直角三角形的性質(zhì)以及距離公式等知識(shí)，熟練掌握距離公式和對(duì)代數(shù)式的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．16．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，直線的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，且，求證：三點(diǎn)共線；(3)小明研究發(fā)現(xiàn)：無論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要三點(diǎn)共線，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)的面積為定值，其面積為2【分析】（1）將代入，即可解得；（2），中點(diǎn)為，且，可求出過兩點(diǎn)所在直線的一次函數(shù)表達(dá)式，為拋物線上的一點(diǎn)，所以，此點(diǎn)在，可證得三點(diǎn)共線；（3）設(shè)與分別關(guān)于直線對(duì)稱，則關(guān)于直線對(duì)稱，且與的面積不相等，所以的面積不為定值；如圖，當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置，且保持三點(diǎn)共線．此時(shí)與的交點(diǎn)到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值；故的面積為定值，由（2）求出，此時(shí)的面積為2．【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，所以解得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：

設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)椋?，解得，所以直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以．解得，或．又因?yàn)?，所以．所以．因?yàn)?，即滿足直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，所以點(diǎn)在直線上，即三點(diǎn)共線；（3）解：的面積為定值，其面積為2．理由如下：（考生不必寫出下列理由）如圖1，當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，與分別關(guān)于直線對(duì)稱，此時(shí)仍有三點(diǎn)共線．設(shè)與的交點(diǎn)為，則關(guān)于直線對(duì)稱，即軸．此時(shí)，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．

如圖2，當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置，且保持三點(diǎn)共線．此時(shí)與的交點(diǎn)到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．又因?yàn)橹写嬖诿娣e為定值的三角形，故的面積為定值．在（2）的條件下，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，求得，此時(shí)的面積為2．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識(shí)，如何利用數(shù)形結(jié)合求得點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)的表達(dá)式等是解題的關(guān)鍵．17.（2021·黑龍江中考真題）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上C，D兩點(diǎn)之間的距離是__________；（3）點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接BE和CE．求面積的最大值；（4）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或．【分析】（1）先根據(jù)對(duì)稱軸可得的值，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線的解析式即可得；（2）利用拋物線的解析式分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得；（3）過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而可得和的坐標(biāo)，然后根據(jù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；（4）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，分①當(dāng)為矩形的邊時(shí)，②當(dāng)為矩形的邊時(shí)，③當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)三種情況，再分別利用待定系數(shù)法求直線的解析式、矩形的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移變換規(guī)律求解即可得．【詳解】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為，，，，且點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，將點(diǎn)代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）化成頂點(diǎn)式為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即，則拋物線上兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：；（3）如圖，過點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為，，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，，，，由二次函數(shù)的性質(zhì)得：在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為，即面積的最大值為；（4）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，分以下三種情況：①當(dāng)為矩形的邊時(shí)，則，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，則直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，即，將點(diǎn)先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度可得到點(diǎn)，四邊形是矩形，點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式與點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式相同，，，即；②當(dāng)為矩形的邊時(shí)，則，同（4）①的方法可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為；③當(dāng)為矩形的對(duì)角線時(shí)，則，，即，解得或，或，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，則將點(diǎn)先向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度可得到點(diǎn)，四邊形是矩形，點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式與點(diǎn)平移至點(diǎn)的方式相同，，即；同理可得：當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（4），正確分三種情況討論是解題關(guān)鍵．18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．【答案】(1)；(2)；(3)，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入求解即可；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，根據(jù)點(diǎn)坐特點(diǎn)及正方形的判定得出四邊形為正方形，，連接AE，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為AE的長，再由勾股定理求解即可；（3）由待定系數(shù)法確定直線的表達(dá)式為，直線的表達(dá)式為，設(shè)，然后結(jié)合圖形及面積之間的關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將代入上式得：，所以拋物線的表達(dá)式為；（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，∵，，，∴，∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱，∴四邊形為正方形，∴，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為的長，∵的周長為，，的最小值為10，∴的周長的最小值為；

（3）由已知點(diǎn)，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將，代入中，，解得，∴直線的表達(dá)式為，同理可得：直線的表達(dá)式為，∵，∴設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式得：，∴直線的表達(dá)式為：，由，得，∴，∵P，D都在第一象限，∴，∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.．

【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，周長最短問題及面積問題，理解題意，熟練掌握運(yùn)用二次函數(shù)的綜合性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19.（2020?武威）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝2OC＝8OB．點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）若PC∥AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=-（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=1【解析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB=1故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣4，0）、（12則y＝a（x+4）（x-12）＝a（x2+7故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+7（2）拋物線的對(duì)稱軸為x=-當(dāng)PC∥AB時(shí)，點(diǎn)P、C的縱坐標(biāo)相同，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得點(diǎn)P（-7（3）過點(diǎn)P作PH∥y軸交AC于點(diǎn)H，由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y=-則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（-1∵﹣2＜0，∴S有最大值，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S的最大值為8，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，﹣5）．20．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)、、、（或以點(diǎn)、、、）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的的值．【答案】(1)；頂點(diǎn)坐標(biāo)為；(2)；(3)或或或；(4)或或【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線解析式，待定系數(shù)法即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，，求得拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中，得出，即可求解；（3）①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，②當(dāng)，即時(shí)，③當(dāng)，即時(shí)，④當(dāng)，即，分別畫出圖形，根據(jù)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為，建立方程，解方程即可求解；（4）根據(jù)在軸的上方，得出，根據(jù)題意分三種情況討論①當(dāng)是的中點(diǎn)，②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，③，根據(jù)題意分別得出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入拋物線，得，解得：∴拋物線解析式為；∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）解：由，當(dāng)時(shí)，，解得：，∵拋物線上的點(diǎn)在軸上時(shí)，橫坐標(biāo)為．其中．∴∴解得：，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴；（3）①如圖所示，當(dāng)，即時(shí)，

拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括、兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)，最低點(diǎn)為點(diǎn)，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則縱坐標(biāo)之差為依題意，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，

∵，即，依題意，，解得：或（舍去），③當(dāng)，即時(shí)，

則，解得：或（舍去），④當(dāng)，即，

則，解得：（舍去）或，綜上所述，或或或；（4）解：如圖所示，

∵在軸的上方，∴∴∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點(diǎn)為∴∵,①當(dāng)是的中點(diǎn)，如圖所示

則，∴代入，即，解得：（舍去）或；②同理當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，，，則點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，

∴，解得：，③如圖所示，

設(shè)，則，∵以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半，線段的中點(diǎn)為∴即∴，∴，∴，∵關(guān)于對(duì)稱，∴，解得：，綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，根據(jù)題意畫出圖形，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.（2020?樂山）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，連結(jié)BC，且tan∠CBD=4（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過點(diǎn)P作x軸的平行線交線段BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥PE交拋物線于點(diǎn)F，連結(jié)FB、FC，求△BCF的面積的最大值；②連結(jié)PB，求35【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），可得對(duì)稱軸為直線x＝2，由銳角三角函數(shù)可求點(diǎn)C坐標(biāo)，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直線BC解析式，設(shè)P（2，t），可得點(diǎn)E（5-34t，t），點(diǎn)②根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35【解析】（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+1）（x﹣5），∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴D（2，0），又∵tan∠CBD=4∴CD＝BD?tan∠CBD＝4，即C（2，4），代入拋物線的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），解得a=-4∴二次函數(shù)的解析式為y=-49(x+1)(x-5)=-4（2）①設(shè)P（2，t），其中0＜t＜4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∴0=5k+b，解得k=-即直線BC的解析式為y=-4令y＝t，得：x=5-3∴點(diǎn)E（5-3把x=5-34t代入y=-即F(5-3∴EF=(2t-1∴△BCF的面積=12×EF×BD=32∴當(dāng)t＝2時(shí)，△BCF的面積最大，且最大值為32②如圖，連接AC，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，∴sin∠ACD=AD過點(diǎn)P作PG⊥AC于G，則在Rt△PCG中，PG=PC?sin∠ACD=3∴35過點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，則PG+PH≥BH，∴線段BH的長就是35∵S△ABC又∵S△ABC∴52即BH=24∴35PC+PB的最小值為22.（2019·海南）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5經(jīng)過A（–5，0），B（–4，–3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連結(jié)CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值；②該拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）y=x2+6x+5．（2）①△PBC的面積的最大值為．②存在滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）和（–，–）.【解析】（1）將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2+6x+5．（2）①如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F.在拋物線y=x2+6x+5中，令y=0，則x2+6x+5=0，解得x=–5，x=–1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（–1，0）.由點(diǎn)B（–4，–3）和C（–1，0），可得直線BC的表達(dá)式為y=x+1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2+6t+5），由題知–4<t<–1，則點(diǎn)F（t，t+1），∴FP=（t+1）–（t2+6t+5）=–t2–5t–4，∴S△PBC=S△FPB+S△FPC=·FP·3===.∵–4<–<–1，∴當(dāng)t=–時(shí)，△PBC的面積的最大值為．②存在．∵y=x2+6r+5=（x+3）2–4，∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（–3，–4）.由點(diǎn)C（–l，0）和D（–3，–4），可得直線CD的表達(dá)式為y=2x+2.分兩種情況討論：（i）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，有∠PBC=∠BCD，如圖2.若∠PBC=∠BCD，則PB∥CD，∴設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=2x+b.把B（–4，–3）代入y=2x+b，得b=5，∴直線PB的表達(dá)式為y=2x+5.由x2+6x+5=2x+5，解得x1=0，x2=–4（舍去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）.（ii）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC下方時(shí)，有∠PBC=∠BCD，如圖3.設(shè)直線BP與CD交于點(diǎn)M，則MB=MC.過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N（–4，0），∴NB=NC=3，∴MN垂直平分線段BC.設(shè)直線MN與BC交于點(diǎn)G，則線段BC的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為，由點(diǎn)N（–4，0）和G，得直線NG的表達(dá)式為y=–x–4.∵直線CD:y=2x+2與直線NG:y=–x–4交于點(diǎn)M，由2x+2=–x–4，解得x=–2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（–2，–2）.由B（–4，–3）和M（–2.–2），得直線BM的表達(dá)式為y=．由x2+6x+5=，解得x1=–，x2=–4（含去），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（–，–）.綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）和（–，–）.【名師點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰三角形性質(zhì)、圖形的面積計(jì)算等，其中（2），要主要分類求解，避免遺漏．23.（2019?廣西南寧）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，拋物線C2的頂點(diǎn)也在拋物線C1上時(shí)，那么我們稱拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．如圖1，已知拋物線C1：y1=x2+x與C2：y2=ax2+x+c是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，點(diǎn)A，B分別是拋物線C1，C2的頂點(diǎn)，拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)D（6，–1）．（1）直接寫出A，B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；（2）拋物線C2上是否存在點(diǎn)E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)F（–6，3）在拋物線C1上，點(diǎn)M，N分別是拋物線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)相同，記△AFM面積為S1（當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A，F(xiàn)重合時(shí)S1=0），△ABN的面積為S2（當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A，B重