2021年高考名校地市數(shù)學(xué)好題全真模擬卷2（廣東專用）2月卷（解析版）

備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)名校、地市好題必刷全真模擬卷2月卷

第二模擬

一、單選題

1.（2021?陜西榆林市?高三一模（文））集合A={3,log?a},B={“,）},若4口3={0},則AUB=（）

A.{0,3}B.{0,1}C.{0,2,3}D.{0,1,3）

【答案】D

【分析】

因為An3={0},求得。=1,則〃=0,得到集合A={3,（）},8={1,0},結(jié)合集合并集的概念及運算，即

可求解.

【詳解】

由題意，集合A={3,k>g2a},8={a,b},

因為An8={0},所以log2a=0,解得。=1,則〃=0

所以集合4={3,0},3={1,0},所以AU8={（）,1,3}.

故選：D.

2.（2020?貴州貴陽市?高三其他模擬（理））設(shè)復(fù)數(shù)Z=二二，則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

1+Z

A.-2/B.-2C.2iD.2

【答案】B

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算法則、虛部的定義即可得出.

【詳解】

3-Z(3-z)(l-z)2-4z

復(fù)數(shù)z="j~：=y——r~~-=——=l-2i,故虛部為-2.

1+z(l+?)(l-?)2

故選：B

3.(2021?云南曲靖市?高三一模(理))定義：abcde=1()0()()?+1()00/?+l()0c+10J+e?當(dāng)五位數(shù)abcde

滿足a<b<c,且c>d>e時，稱這個五位數(shù)為“凸數(shù)”.由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位

數(shù)共120個，從中任意抽取一個，則其恰好為“凸數(shù)”的概率為()

1111

A.—B.—C.—D.—

6101220

【答案】D

【分析】

由列舉法列舉出滿足條件的基本事件，即可根據(jù)古典概型的概率公式求出結(jié)果.

【詳解】

由題意，由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)恰好為“凸數(shù)”的有：

12543,13542,14532,23541,24531,34521,共6個基本事件,

所以恰好為“凸數(shù)”的概率為P=2=L.

12020

故選【)

【點睛】

本題主要考查古典概型，列舉法求古典概型的概率只需熟記古典概型的概率公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

4.(2021?江西高三其他模擬)已知函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意兩個不相等的正數(shù)都

有必止電3<0,記.=型，c=-止生則()

X,-X23'’2

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】

對任意兩個不相等的正數(shù)百,w，都有\(zhòng)/（%）一"/（.）<0,判斷工60在（0,+8）單調(diào)遞減，再證明

Xj-x2X

以D是（3,（））D（0,上的偶函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性判斷即可

X

【詳解】

解：不妨設(shè)0<%<X2,則X1-工2<0，

因為｛2）<0,所以毛/（%）_玉/（赴）>0,

%一芯2

K|J------------->---------------

玉工2

"D在（0,+紇）單調(diào)遞減，

X

因為函數(shù)/（X）是定義在R上的奇函數(shù)，

-X-XX

是（—,0）5°，”）上的偶函數(shù)

X

*

-口=皿c=_ZM=/(=2)=/(a

v7-112-223

所以a<cv〃

故選：A

【點睛】

考查根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)的能力，同時利用單調(diào)性比較大小，基礎(chǔ)題.

5.（2021?陜西寶雞市?高三一模（理））已知雙曲線。：［—馬=1（。>0力>0）的左、右焦點分別為F、，F(xiàn)2,

a~b~

且以6鳥為直徑的圓與雙曲線C的漸近線在第四象限交點為P,交雙曲線左支于。，若2雇=/，

則雙曲線的離心率為（）

A.巫士1B.V10C.亞土1D.75

22

【答案】A

【分析】

寫出圓方程，與漸近線方程聯(lián)立解得得P點坐標(biāo)，由2而=不可表示出。點坐標(biāo)，。點坐標(biāo)代入雙曲線

方程整理后可求得e.

【詳解】

6（-c,0），K（c,0）,圓方程為"+>2=c2,

222

X+JV=Cxc=a

由《b，由。2+力2=02,>0,y<0,解得<,即？（〃,—〃）,

y=-xx[y=-b

設(shè)。和），由雇=詼，得/=--—,

Go,2（?-x0,-￡>-y0）=2（x0+c,y0）,y0=,

因為。在雙曲線上，

.（?一2c）2b22

二=1,（l—2e）2=10,

9a1-處2

z|jA/10+1z1—J10仝土、

解得=舍去)，

e2-------(e=--------

22

故選：A

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a*,c的齊次關(guān)系式，由題意中向量的線性關(guān)系，可得解法，圓與漸近線

相交得P點坐標(biāo)，由向量線性關(guān)系得。點坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得.

6.(2021?河南鄭州市高三一模(文))設(shè)“力是/?上的奇函數(shù)且滿足/5-1)="%+1),當(dāng)()《兀41時，

/(x)=5x(l—％)，貝廳(一2020.6)=()

21786

A.—B.—C.---D.---

251055

【答案】D

【分析】

由題意可知，/(%)是以2為周期的周期函數(shù)，進而可得(-2020.6)=/(-0.6),再利用奇函數(shù)的性質(zhì)

可求得結(jié)果.

【詳解】

對任意的xwR，/(x-l)=/(x+l),即/(x)=f(x+2),

所以，函數(shù)/(x)是以2為周期的周期函數(shù)，2020.6)=〃-0.6),

由于函數(shù)f(x)為R的奇函數(shù),且當(dāng)OWxWl時，/(x)=5x(l—力，

因此,/(-2020.6)=/(-0.6)=-f(0.6)=-5x0.6x(1-0.6)=-1.

故選：D.

【點睛】

方法點睛：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將它們綜合

在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多以選擇題、

填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；

（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.

（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值

的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；

（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用

奇偶性和單調(diào)性求解.

2*3

7.（2021?河南鄭州市?高三一模（理））函數(shù)y="的圖象大致為（）

4、+1

【答案】B

【分析】

判斷函數(shù)奇偶性得函數(shù)為奇函數(shù)，排除C,再根據(jù)特殊值即可得答案.

【詳解】

2X+Ix32x3

解:函數(shù)/(X)，函數(shù)定義域為R，

4V+12A'+2-v

-2r32無3

由于〃r)=,入=一—所以函數(shù)為奇函數(shù)，

v

」、)2T+2“2T+2')

故排除C,由于x>0時，/(x)>0,故排除D.

再根據(jù)A8選項，考慮特殊值/(4)="￡=8x4：+88-8一8；故排除人，

V'44+144+144+1

故選：B

【點睛】

思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置：從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

8.(2021?安徽淮北市?高三一模(理))某地氣象局把當(dāng)?shù)啬吃?共3()天)每一天的最低氣溫作了統(tǒng)計，并繪

制了如下圖所示的統(tǒng)計圖.記這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為M,中位數(shù)為M平均數(shù)為P,則()

A.M<N<PB.N<M<PC.P〈M=ND.P<N<M

【答案】A

【分析】

由統(tǒng)計圖分別求出該月溫度的中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，由此能求出結(jié)果.

【詳解】

解：由統(tǒng)計圖得：

該月溫度的中位數(shù)為村=孚=5.5,

2

眾數(shù)為M=5，

平均數(shù)為P」(2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10)=5.97.

30

..M<N<P.

故選：A.

二、多選題

9.(2021?湖南長沙市?長沙一中高三月考)設(shè)x,y為實數(shù)滿足1WXW4,0<^<2,則下列結(jié)論錯誤的是

()

A.1<x+y<6B.\<x—y<2

Y

C.0<xy<8D.—>2

y

【答案】BD

【分析】

由不等式同向可加判斷出A正確：由0<y42得出一2?—y<0,再利用不等式同向可加判斷出B錯誤;

由不等式同向且正可乘判斷出C正確；由0<y42得出:再利用不等式同向且正可乘判斷出D錯誤.

2y

【詳解】

V1<X<4,0<y<2,.,.!<%+^<6,A正確；

Vl<x<4,-2<-y<0,：.-\<x-y<4,8錯誤；

V1<%<4,0<y<2,/.0<Ay<8,C正確；

,、1/%、1

1<x<4>0<-,D錯誤.

2y>2

故選：BD

10.(2021?江蘇泰州市?高三期末)已知函數(shù)/(x)=sin(cosx),則下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)說法正確的有()

A.f(x)的一個周期是2"B./(x)的值域是[—1,1]

C.f(x)的圖象關(guān)于點(萬,0)對稱D.f(x)在區(qū)間(0,%)上單調(diào)遞減

【答案】AD

【分析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

A：因為/(x+2;r)=sin[cos(x+2))]=sin(cosx)=/(x),

所以2〃是函數(shù)/(x)的周期，故本選項說法正確；

B：因為—IWCOSXWI，[-1」]￡[一彳,治，

22

所以sin(-l)〈sin(cosx)〈sinl=/(x)G(-sinl,sinl],

故本選項說法不正確；

C：因為/'(%)=sinfcos(^)]=sin(-l)=-sin100,

所以/(X)的圖象不關(guān)于點(肛0)對稱,

故本選項說法不正確；

D：因為xe(0,乃)，所以函數(shù)丁=(^$了是單調(diào)遞減函數(shù)，

因此有—1WCOSXW1,而［—1,1］。［—工，之，所以/(幻在區(qū)間(0,乃)上單調(diào)遞減，

22

故本選項說法正確.

故選：AD

近.皆一甘心轉(zhuǎn)川、口后2m(x2+l)/.、2

11.(2021?福建高二其他模擬)已知/(幻=__Z-l，g(x)=(//z+2)(x2+l).若

0(x)=e-/(x)-駕有唯一的零點，則機的值可能為()

e

A.2B.3C.-3D.-4

【答案】ACD

【分析】

通過以x)=e'U(x)一里只有一個零點，化為(〃?+2)(q>-2加￥?+1=0只有一個實數(shù)根.

eee

*2+

令f=二1，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象，通過①當(dāng)機=2時，②當(dāng)陽=3時,

ex

③當(dāng)機=一3時，④當(dāng)，〃=-4時;驗證函數(shù)的零點個數(shù)，推出結(jié)果即可.

【詳解】

22

解：/(?=2〃心:型)_［,gW=(w+2)(x+l).

e

???夕(x)=^Uf(x)一駕只有一個零點，

e

2

：.2m(x+1)-g._(>^+2)(-v-+ir=o只有?個實數(shù)根，

即(加+2)(。)2一2詞白1+1=0只有?個實數(shù)根.

ee

X2+1(x2+\)'ex-(x2+l)e*-(x-I)2

令『=上工L則/'=,,o,

e'(e')2

x2+1

.?.函數(shù)1在R上單調(diào)遞減，且時，^->0,

ex

/+]

.?.函數(shù)方=上上L的大致圖象如圖所示,

eA

所以只需關(guān)于，的方程(機+2)/一2"/+1=0(*)有且只有一個正實根.

①當(dāng)機=2時，方程(*)為4r—由+1=().解得『=’，符合題意;

2

②當(dāng)加=3時，方程(*)為5/—6f+l=0,解得f或f=l，不符合題意:

③當(dāng)加=—3時，方程(*)為產(chǎn)_6/—1=0,得r=3土而，只有3+屈>0,符合題意.

④當(dāng)〃?=T時，方程(*)為2“一8—1=0,得y4±3佟只有4+3&>o,符合題意.

22

故選：ACD.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點以及數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬

于難題.

12.（2021?福建高三其他模擬）在正三棱錐A-BCD中，側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E,尸分別為棱AB,

CD的中點，則下列命題正確的是（）

32

A.EF與AO所成角的正切值為一B.EF與AO所成角的正切值為§

2

C.A5與面4。所成角的余弦值為述7

D.A8與面AC。所成角的余弦值為§

12

【答案】BC

【分析】

如圖所示，先找出EF與所成角再求解,再找出AB與面ACD所成角求解.

【詳解】

（1）設(shè)AC中點為G，BC的中點為“，連接EG、FG、AH、DH，

因為AE=BE，AG=GC,CF=DF,

所以EG//BC,FG//AD.

所以DEFG就是直線與所成的角或補角,

3

在三角形E/G中，EG=1,FG=j

2

由于三棱錐A-BCD是正三棱錐，BC1DH,BCLAH,

乂因為AH,HOu平面AO”，AHcDH=H，所以BC，平面ADH，

QADu平面4）”，所以3C_LA￡>,所以EGJ_EG,

/尸巾=空=_1=2

所以ianz"u-而-—所以A錯誤B正確.

2

（2）過點5作8。垂直A尸，垂足為。.

因為COLBE,CD1AF,BEnAE=F,B￡AEu平面A3戶,

所以8,平面45/，:BOu平面AB尸，所以CDL8O,

因為B0L4E，AEnC7)=F,AE,Cr>u平面AC。，所以5O_L平面ACD,

所以N84O就是AB與平面ACD所成角.

9+8-3_14_J_五

由題得BF=>^,AF=2j5,AB=3,所以cos/BAO

232夜-12后一12

所以C正確D錯誤.

故答案為：BC.

【點睛】

本題主要考查空間異面直線所成的角的求法，考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識

的理解掌握水平.

第II卷（非選擇題）

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三、填空題

13.（2021?江西高三其他模擬）數(shù)列｛4｝中，a,=1,%.=2%+13N*），貝!I

a

C5\+C5a2+C5%+C5a4+C5%+Cg4=------------

【答案】454

【分析】

由。,出+1=2（q+1）,結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式可求出2"-1,結(jié)合二項式定理可求出

+C；%+C；a4+C；a$+的值.

【詳解】

解：因為a,用+1=2%+2=2（%+1）,所以｛%+1｝以2為首項，

2為公比的等比數(shù)列,所以a,+l=2x2"T=2",所以4=2"-1,

則C；%++C5+C：%+C；%+

=^x2+C!x22+C^x23+(^x24+C5x25+C^X26-(€^+C^+C^+C5+C^+C,)

XC5X2+C>22+CSX23+C^X24+C,x25+c^x26

=2X(C^X2°+C^X21+C^X22+C5X23+C5X24+C^X25)

=2x(1+2)5=486，

C；+G+C；+C；+C；+C：=2,=32,所以原式=486—32=454,

故答案為：454.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是求出數(shù)列通項公式后，結(jié)合二項式定理對所求式子進行合理變形，減少計算量.

14.(2021?河南鄭州市?高三一模(理))已知〃x)=(x2+2x+a)/,若/(x)存在極小值，則“的取值范

圍是?

【答案】(…⑵

【分析】

求出函數(shù)〃尤)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f(x)存在極小值，可得對應(yīng)的二次方程有兩個不等的實根，由A>0即可求

解.

【詳解】

(x)=(2x+2)e*+，+2x+a)e*=e*，+4x+a+2),

若存在極小值，則/(x)存在極小值，

所以方程f+4x+a+2=0有兩個不等的實根，

所以八=16—4(。+2)>0,解得：a<2,

所以。的取值范圍是(F,2),

故答案為：（-8,2）

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)有極值點可知導(dǎo)函數(shù)有變號零點，由于導(dǎo)函數(shù)的符號由

y=f+4x+a+2決定，因此拋物線應(yīng)與“軸有兩個交點，這是解題的突破點.

15.（2020?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三其他模擬（理））若直線2x+4y+m=0經(jīng)過拋物線y=2/的焦點，

則加=.

【答案】一二

2

【分析】

由拋物線的方程可得焦點坐標(biāo)，代入直線方程可得加的值.

【詳解】

y=2x?可化為V,焦點坐標(biāo)為（0,1]

由題意可得：2x0+4x』+〃7=0,故m=-』.

82

故答案為：-

2

【點睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)及點在直線上的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2021?河南鄭州市?高三一模（文））如圖所示，正方體ABCO-AgGR的棱長為4,MN是它內(nèi)切球

的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），P為正方體表面上的動點，當(dāng)弦用N的長度最

大時，的兩?兩取值圍是.

Bi

【答案】[0,8]

【分析】

首先確定弦MN過球心O,再通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法得到

~PM?麗=（2-x）2+（2-?-z（4-z）,再通過構(gòu)造幾何意義求~PM-PN的最大值和最小值.

【詳解】

當(dāng)弦MN的長度最大時，弦過球心。，

如圖，建立空間宜角坐標(biāo)系，不妨設(shè)是上下底面的中心,

則“(2,2,4),N(2,2,0),

P(x,y,z),PM=(2-x,2-yA-z),PN=(2-x,2-y,-z),

則兩.而=(2_xy+(2_?_z(4_z)

=(X-2)2+(J-2)2+(Z-2)2-4,

而（x—2）2+&-2）2+（2—2）2表示點尸（工,％2）和定點（2,2,2）距離的平方，很顯然正方體的頂點到定點

（2,2,2）距離的平方最大，最大值是（g"2+42+42）=12正方體面的中心到定點的距離的平方最小，最

小值是4，所以兩.兩的最小值是4-4=0,最大值是12-4=8.

故答案為：[0,8]

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題第一個關(guān)鍵點是確定MN過球心。，利用對稱性設(shè)M（2,2,4）,N（2,2,0）,第二個關(guān)

鍵點是構(gòu)造兩點間距離的幾何意義麗?麗=（x—2）2+（丁一2）2+（2-2）2-4求最大值和最小值.

四、解答題

4

17.（2020?廣東高三一模）從條件①%—a=2c、cosA,②ctanC-acos3=Z?cosA,@ccosB-a=—b

中任選一個，補充在下面的問題中，并給出解答.

在EIABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為“，b,c,且“=1,6=百，,求DABC的

面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分.

【答案】答案見解析.

【分析】

若選①，利用余弦定理可得02=“人，求出角后可計算三角形的面積.

若選②，利用正弦定理可得tanC=l,求出角后可計算三角形的面積.

4

若選③，利用正弦定理可得cosC=-《，求出角的正弦后可計算三.角形的面積.

【詳解】

解：選擇①，因為26-。=2ccosA,

力2+02—CT〃+。2_CT

所以由余弦定理得2〃—。=2c=，

2bcb

所以=ab，

所以由余弦定理得cosC==@_=_L,而C為三角形內(nèi)角,

2ab2ab2

所以sinC=^~,

2

所以口48。的面積為』a6sinC=LxlxGx巫=』.

2224

選擇②，因為ctanC-acos3=Z?cosA,

所以由正弦定理得sinCtanC—sinAcosB-sinBcosA,

所以sinCtanC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A4-B)=sinC.

又0＜。＜%，所以sinCVO,

所以tanC=l,而C為三角形內(nèi)角，所以C=工，所以sinC=Y2，

42

所以口48。的面積為』ab.sinC=」xlxGx^=^.

2224

4

選擇③，因為ccosB-a=，

4

所以由正弦定理得$抽。(：003-§皿4=1$也3,

即5sinCcosB-5sin(B+C)=5sinCcos3-(5sinBcosC+5cosBsinC)=4sinB,

所以sinB(4+5cosC)=0.

又0<3<%，所以sinBwO,

43

所以cosC=一《，而C為三角形內(nèi)角，所以sinC=—，

55

所以DABC的面積為』H.sinC=LxlxGx3=￡L

22510

【點睛】

思路點睛：在解三角形中，如果題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理把這

種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.

18.（2021?云南曲靖市?高三一模（理））已知數(shù)列｛叫的前〃項和為S“=g（23”+-2）（〃€N）

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

111

⑵設(shè)a=log2%，^T7-+TT-+---+TT—

她她“%

【答案】（1）a“=23i（〃eN*）；⑵-^―

3〃+1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)a,=S“-S,i得出遞推關(guān)系式，再計算％,從而可求出數(shù)列｛4｝的通項公式；（2）由

111

（1）得數(shù)列也｝的通項公式,結(jié)合裂項相消法即可求得工廠+工+…+工丁

她b2b3bnbn+i

3,,+|3,,23,!2

試題解析：(1)當(dāng)“N2時，an=S?-S?_,=1(2-2)-^(2--2)=2-

當(dāng)〃=1時，q=R=2=23+2,符合上式

所以4=23"2(〃eN)

3n2

(2)由⑴=log22-=3?-2.

?---+---+…+----=-------+---------+…+--------------------------=-[(]-—)4-(----------)+???+(?)]

她b力3她,“1x44x7(3〃-2)(3〃+1)34473/1—23H+1

n

3〃+1)-

3〃+1

點睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項以及裂項相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求

和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點，常見的裂

項技巧：（1）---=------7；（2）/尸=；（，〃+后一6）;（3）

n[n+k）k\nn+kJ\Jn+kI+\Jnk\'

1If111「11]”

-------------=--------------I?（4）--------------=.葉夕卜.

（2〃-1）（2”+1）2（2〃-12n+lJ++2------+++

需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.

19.（2021?陜西寶雞市?高三一模（理））如圖三棱柱ABC-A￡C中，底面口ABC是邊長為2的等邊三角

形，E,b分別為AB,A4的中點，CE±FBt,AB=&入=^~EB「

（1）證明：所，平面CEB.

（2）求兩面角E-C6-4的平面角大小.

71

【答案】（1）證明見解析（2）-

3

【分析】

（1）通過計算可得收，七與，通過證明CE_L平面AB44,可得?！?，砂，再根據(jù)直線與平面垂直的

判定定理可得防J_平面CEB}.

（2）先說明直線EB，CE.兩兩垂直，再以麗，EC，成的方向為x,y,z軸的正方向，以點E

為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量可求得結(jié)果.

【詳解】

（1）證明：設(shè)AA=2。，,??48=044|=￥破］，

則AB=2形a，EBi=屈a，BB】=2a,

:點E為棱A8的中點，，￡8=缶，

EB；=EB2+BB；,/.EB1BB「

.?三棱柱ABC-A&G的側(cè)面為平行四邊形，

?ABB{\

...四邊形43用4為矩形，

,??點尸為棱AA|的中點,

FB：=4尸+aB：=9a2,FE2=AF2+AE2=3a2，

二FB；=EF2+EB；,：.EF±EB「

三棱柱的底面ABC是正三角形，E為AB的中點,

：.CE±AB

且ABi平面ABgA，口片（=平面43d4,且AB,尸耳相交，

二CE_L平面ABB|A，平面AB耳A「CELE/L

ECQEB^E,：.EF±平面CEB,

(2)由(1)可知CE_L平面BB|_L平面ABC,

二三棱柱ABC—AgG是正三棱柱，

設(shè)AB|的中點為歷，則直線￡5，CE，EM兩兩垂直，

分別以麗，反，防的方向為x,y,z軸的正方向，以點E為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)E(0,0,0),C(0,V6cz,0),F(-應(yīng)a,0,a),耳(血a,0,2a),

CIVIU,—Clcall.—.—UUUL

則EF=(,-yj2a,0,a)，F(xiàn)C=(V2?,y/6a,-a)FB]=(2J2a,0,a).

n-FC=Qyflax+\/6ay-az=0

設(shè)平面C尸耳的一個法向量為另=(x,y,z),則v一，則〈L，則

n-FB,=02yl2ax+0xy+az=0

不妨取x=l,則y=—G，則z=_2a，所以5=(1,-62&),

-[m-FC=0,[V2ar+V6a>'-az=0

設(shè)平面CM的一個法向量為叫(“z)，則[和麗=o,則「夜…。,)-°

JA/2X+瓜y-z=0

[-V2x+z=0

令尤=1,則y=0,z=血，

所以2=(1,O,J5)

—>—>1X1一6xO-2夜X0

cos(?,m)

71+2-71+3+8-6_2

乂因為該二面角為銳角,

TT

則二面角￡一。尸一片的平面角的大小為一.

3

【點睛】

方法點睛：利用空間向量求二面角時，首先要建立合適的空間直角坐標(biāo)系，其次要正確寫出點的坐標(biāo)，特

別注意遇到不容易寫的點坐標(biāo)可以單獨分離出底面直角坐標(biāo)系求解，在計算平面法向量時，注意不定方程

求解方法，最后利用向量夾角公式求解.

20.（2021?陜西寶雞市?高三一模（理））自從新型冠狀病毒爆發(fā)以來，美國疫情持續(xù)升級，以下是美國2020

年4月9日-12月14日每隔25天統(tǒng)計1次共11次累計確診人數(shù)（萬）.

日期（月/日）4/095/045/296/237/188/13

統(tǒng)計時間順序X123456

累計確診人數(shù)y43.3118.8179.4238.8377.0536.0

日期（月/日）9/0610/0110/2611/1911/14

統(tǒng)計時間順序X7891011

累計確診人數(shù)646.0744.7888.91187.41673.7

（1）將4月9日作為第1次統(tǒng)計，若將統(tǒng)計時間順序作為變量X,每次累計確診人數(shù)作為變量V,得到函

數(shù)關(guān)系y=ad"(a力＞0).對上表的數(shù)據(jù)作初步處理，得到部分數(shù)據(jù)已作近似處理的一些統(tǒng)計量的值

IH1111/_____、

y=603.09,—Z1”,=5.98,-x)(yf-y)=15835.70,丈為一工)(始yt-lny)=35.10,

11/=1/=1/=1

1111______

Z(x,-x)=110,Xfy)2=11.90,e406?57.97?e407?58.56?e”屋59.15.根據(jù)相關(guān)數(shù)

1=1/=]

據(jù)，確定該函數(shù)關(guān)系式(函數(shù)的參數(shù)精確到0.01).

(2)經(jīng)過醫(yī)學(xué)研究，發(fā)現(xiàn)新型冠狀病毒極易傳染，一個病毒的攜帶者在病情發(fā)作之前通常有長達14天的

潛伏期，這個期間如果不采取防護措施，則感染者與一位健康者接觸時間超過15秒，就有可能傳染病毒.

如果一位新型冠狀病毒的感染者傳染給他人的概率為0.3,在一次36人的家庭聚餐中，只有一位感染者參

加了聚餐，記余下的人員中被感染的人數(shù)為X,求X=Z最有可能(即概率最大)的值是多少.

【答案】(1)y=57.9712'(2)k=l0

【分析】

(1)根據(jù)y=aehx,化為Iny=反+Ina,求線性回歸方程即可；

CP(X=A)2P(X=I)

(2)由題意知*~8(35,0.3),要使尸(*=6最大，建立不等式《八，求解即可.

P(X=k)＞P(X=k+l)

【詳解】

(1)因為y=ae"*(。,。＞0),所以lny="r+lna,

11_____

35.10

由已知得g=———-------------=0.32,

以一十110

1=1

Ina=Iny-0.32元=5.98-0.32x6?4.06,a=e406?57.97,

所以所求函數(shù)方程為y=57.97e032,

(2)設(shè)余下35人中被感染的人數(shù)為X,則X?8(35,0.3),

P(X=k)=牖03*xO.735-*,要使p(x=k)最大,

P(X=k)NP(X=k—l)

<

'[P(X=A)2P(X=Z:+1)'

Ai-136-Jt

C*50.3XOX>40.3x0.7

'C^0.3*x0.735-*>C^'0.3A+IxO.734"'

'0.3>0.7

■(35T)!—(1)!(36_幻!

即《，

0.7〉0.3

k1(35-k)C(k+1)1(34-k)l

10.8-0.3左N0.7左

化簡得4,

0.7Z+0.7210.5—0.3%

解得9.8W&W10.8,

,/kGN,:.k=10,

所以X=kX-k最有可能（即概率最大）的值為:10.

爐+/

21.（2021?安徽淮北市?高三一模（理））已知橢圓C:R瓦=13＞。＞0）的離心率為左頂點為A,

右焦點尸，|河|=3.過尸且斜率存在的直線交橢圓于尸，N兩點，P關(guān)于原點的對稱點為M.

（I）求橢圓c的方程;

（2）設(shè)直線AM，AN的斜率分別為勺，k2,是否存在常數(shù)2,使得仁=/1網(wǎng)恒成立？若存在，請求出X

的值，若不存在，請說明理由.

22

【答案】(1)土+二=1,(2)2=3

43

【分析】

（1）依題意得到￡=,，a+c=3,即可求出。、c,再根據(jù)°2=/一62,即可求出橢圓方程；

a2

（2）由（1）知產(chǎn)（1,0）,A（-2,0）,設(shè)直線PN的方程為x=sy+l,P（±,y）,N（x2,y2）,M（一和一X）,

表示出占，k2,聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，即可求出參數(shù)的值；

【詳解】

解：（1）因為離心率為上，所以0=￡=',又|4/|=3,所以。+。=3,解得。=2,c=l，又02="—/，

2a2''

22

所以〃=3,所以橢圓方程為土+上~=1

43

（2）由⑴知尸（1,0）,4（-2,0）,設(shè)直線PN的方程為％=沖+1,P（%，X），Ngyj

因為M與尸關(guān)于原點對稱，所以M（—玉,一y）

所以K=~，&=-匕7

x1-2%+2

若存在4,使得勺=2卷恒成立，所以工7=丸上彳

王一2%+2

所以X（々+2）=X%（百一2）

兩邊同乘Ji得城（工2+2）=Zy2y（不一2）

22

又因為P（x，y）在橢圓上，所以］-+號=1

所以w=3［一斗］=3（2T2+XJ

44

所以3（2-?（2+XJ/+2）=辦詡&_2）

當(dāng)西力2時，則一］（2+內(nèi)）（工2+2）=/'2yl

所以一3A2石一6（々+司）—12=44y2yl①；

當(dāng)Xi=2時,。與A重合,

-9

x=my+\

22

聯(lián)立方程Idy消元得（3〃/+4））2+6沖-9=0,所以《3m+4

—+2-=1-6m

143%+X==。彳