2023-2024學(xué)年廈門市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中考試卷附答案解析

2023-2024學(xué)年廈門市高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期中考試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）考試時(shí)間：2024年4月28日考試時(shí)長120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知復(fù)數(shù)，則對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量，則（

）A． B． C． D．3．下列命題中正確的是（）A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形4．在空間四邊形ABCD中，AC=BD，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，順次連接各邊中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，所得四邊形EFGH的形狀是（

）A．梯形 B．矩形C．正方形 D．菱形5．某校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上舉行升旗儀式，在坡度為的看臺(tái)上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為和，第一排和最后一排的距離為（如圖所示），則旗桿的高度為（

）A．10m B．30m C． D．6．在中，若，且，則的范圍為（

）A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．B．C． D．8．已知，，．若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A．13 B． C． D．二、多選題：本小題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A．的實(shí)部為 B． C．的虛部為 D．10．已知的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，下列說法正確的是（

）A．若，則是鈍角三角形B．若，則C．若，則是銳角三角形D．若，，，則只有一解11．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）

A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若，，M為的外心，則D．若M為的垂心，，則三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，則此三角形的最大邊長為.13．將邊長為2的正方形卷成一個(gè)圓柱的側(cè)面，所得圓柱的體積為．14．在中，角所對的邊分別為.若，，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知．(1)若，，求的值：(2)若，判斷的形狀．16．如圖，在平行四邊形中，，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，．(1)若，求，的值；(2)求的值；(3)求．17．如右圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：BD1∥平面C1DE；(2)求三棱錐D－D1BC的體積18．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為；①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長的最小值；②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；(3)設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．1．C【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)化簡，再由實(shí)部、虛部符號(hào)確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】因?yàn)?，所以對?yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第三象限，故選：C2．A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以；故選：A3．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，如圖所示滿足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，但該幾何體不是棱柱，故A不正確；對于B中，正六棱柱中有四對互相平行的面，但只有一對面為底面，所以B不正確；對于C中，長方體、正方體的底面都是平行四邊形，故C不正確；對于D中，根據(jù)棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，可得棱柱的側(cè)棱都相等，且側(cè)面都是平行四邊形，所以D正確.故選：D.4．D【分析】根據(jù)空間四邊形中各點(diǎn)的位置，結(jié)合中位線的性質(zhì)可得EFGH是平行四邊形，再由AC=BD即可判斷四邊形EFGH的形狀.【詳解】如圖所示，空間四邊形ABCD中，連接AC，BD可得一個(gè)三棱錐，將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形EFGH，由中位線的性質(zhì)及基本性質(zhì)4知，EH∥FG，EF∥HG；∴四邊形EFGH是平行四邊形，又AC=BD，∴HG=AC=BD=EH，∴四邊形EFGH是菱形.故選：D5．B【分析】先根據(jù)正弦定理求出，再根據(jù)直角三角形三角函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】如圖，由題可知：在中，，，所以．根據(jù)正弦定理得，，所以，在中，．故選：B6．A【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理化簡得到，結(jié)合和余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，則，又因?yàn)?，可得，所以，所以的范圍?故選：A.7．D【分析】對于A，根據(jù)結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對于B,根據(jù)結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對于C，根據(jù)，結(jié)合線面平行的判斷定理即可判斷；對于D，根據(jù)四邊形是等腰梯形，與所在的直線相交，即可判斷.【詳解】對于A,如下圖所示，易得,則，又平面,平面,則平面，故A滿足；對于B，如下圖所示，為所在棱的中點(diǎn)，連接,易得,則四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)共面，又易知，又平面,平面,則平面，故B滿足；對于C,如下圖所示，點(diǎn)為所在棱的中點(diǎn)，連接,易得四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)共面，且,又平面,平面,則平面，故C滿足；對于D，連接,由條件及正方體的性質(zhì)可知四邊形是等腰梯形，所以與所在的直線相交，故不能推出與平面不平行，故D不滿足，故選：D.8．B【分析】以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)P（x，y）則，可得，，所以，即，故，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．故選：B．9．AB【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法求出，由復(fù)數(shù)的概念判斷AC，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)判斷B，根據(jù)模的定義判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以的?shí)部為，虛部為，，，故選：AB10．ABD【分析】對于A，利用正弦定理及大邊對大角，結(jié)合余弦定理的推論即可求解；對于B，利用正弦定理的角化邊即可求解；對于C，利用向量的數(shù)量積的定義即可求解；對于D，利用正弦定理及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角即可求解.【詳解】對于A，因?yàn)榈娜齻€(gè)角滿足，所以由正弦定理化簡得，設(shè)，為最大邊，由余弦定理得，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故A正確；對于B，由及正弦定理，得,解得，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以，所以為銳角，但無法確定和是否為銳角，故C錯(cuò)誤；對于D，由正弦定理得，解得，因?yàn)?所以，所以只有一解，故D正確.故選：ABD.11．ABD【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；【詳解】對A選項(xiàng)，因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)，則，所以，故，，三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，所以為的重心，A正確；

對B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；對C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，C錯(cuò)誤；

對D選項(xiàng)，若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋?，所以，即，，則，D正確；故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.12．【詳解】解：利用正弦定理可知，B角對的邊最大，因?yàn)楣蚀鸢笧椋?3．【分析】先計(jì)算底面積，再計(jì)算體積.【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的體積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.14．【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式化簡計(jì)算可得.【詳解】，則，，的最大值為.故答案為：.15．(1)(2)等邊三角形．【分析】（1）由正弦定理邊化角，求出，再利用余弦定理可得答案；(2)由余弦定理得結(jié)合得，進(jìn)而，從而可得答案.【詳解】（1）由正弦定理，，故，再由余弦定理得，,從而；（2）因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼媒Y(jié)合得，進(jìn)而，所以是等邊三角形．16．(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的運(yùn)算法則求解（2）分解后由數(shù)量積的運(yùn)算求解（3）由數(shù)量積的定義求夾角【詳解】（1），故（2）（3），17．(1)見解析；(2).【分析】（1）利用三角形中位線的性質(zhì)，證明線線平行，從而可得線面平行；（2）利用等體積，即可求得三棱錐D﹣D1BC的體積．【詳解】（1）證明：連接D1C交DC1于F，連接EF，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四邊形DCC1D1為矩形，∴F為D1C的中點(diǎn)．又E為BC的中點(diǎn)，∴EF∥D1B．∴BD1∥平面C1DE．（2）解：連接BD，又△BCD的面積為．故三棱錐D﹣D1BC的體積．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18．(1)(2)長的最小值為，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進(jìn)而求出；（2）由面積公式求出，進(jìn)而根據(jù)向量的模長公式結(jié)合不等式即可求解的最值，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合等面積法，利用基本不等式可求解的最值.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）①由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)取得到，所以；②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)取得到，故，故，19．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡可得，即可求得答案；（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.（3）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）