ch12數字邏輯基礎

1.2數制與碼制數制數制轉換常用的編碼十進制數十進制（Decimal)=3

102

+

3

101+

3

100+3

10-1

+3

10-2權權權權權特點：1)基數10，逢十進一，即9+1=103)不同數位上的數具有不同的權值10i。(333.33)10位置計數法

2)有0-9十個數字符號二進制(Binary)特點：1）基數2，逢二進一，即1+1=10

3）不同數位上的數具有不同的權值2i。(N)2=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)2=Kn-12n-1++K121+K020+K-12-1+K-m2-m2)有0、1兩個數字符號和小數點，數碼K

i從0-1二進制數

3）不同數位上的數具有不同的權值Ri。(N)R=(Kn-1

K1K0.K-1

K-m)R=Kn-1Rn-1++K1R1+K0R0+K-1R-1+K-mR-m

特點：1）基數R，逢R進一，2)有R個數字符號和小數點，數碼K

i從0~R-1，任意進制任意進制數常用數制對照表數制轉換二進制十進制十進制二進制二進制八、十六進制八、十六進制二進制十進制與二進制間的轉換非十進制間的轉換二進制轉成十進制方法：將二進制數按權展成多項式，按十進制求和。(1101.11)2例：=

1×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+1×2-2=

8+4+0+1+0.5+0.25=13.75

整數部分的轉換除基取余法：用目標數制的基數（R=2）去除十進制數。例：（81）10=（？）2得：（81）10=（1010001）2402010520

2

2

2

2

2

2

21K00K10K20K31K40K51K6181十進制轉換成二進制0.65

2K-110.3

2K-200.6

2K-310.2

2K-400.4

2K-500.8例：（0.65）10=(?)2

要求精度為小數五位。由此得：(0.65)10=(0.10100)2十進制轉換成二進制乘基取整法：小數乘以目標數制的基數（R=2）

小數部分的轉換小數點為界非十進制間的轉換

二進制與十六進制間的轉換從小數點開始，將二進制數的整數和小數部分每四位分為一組，不足四位的分別在整數的最高位前和小數的最低位后加“0”補足，然后每組用等值的十六進制碼替代，即得目的數。例9：

111011.10101B=?H

111011.10101B=3B.A8H111011.1010100000B3A8思考題本章自我檢測題1，2，18，19，20，25碼制編碼：用一組二進制碼按一定規(guī)則排列起來以表示數字、符號等特定信息。常用的編碼：BCD碼、格雷碼、ASCII碼等狀態(tài)編碼含義redlight100stopyellowlight010cautiongreenlight001go1.二—十進制碼（BinaryCodedDecimalCode，BCD碼）（1）

8421BCD碼十進制數8421BCD碼十進制數8421BCD碼00000501011000160110200107011130011810004010091001

根據上表，請總結出8421BCD碼的特點碼制例：（276.8）10=（？）8421BCD276.8↓↓↓↓0010011101101000（276.8）10=（001001110110.1000）8421BCD（2）其它BCD編碼2421BCD碼、5421BCD碼、余3BCD碼碼制

2.格雷碼（GrayCode)DecimalBinaryGrayDecimalBinaryGray000000000810001100100010001910011101200100011101010111130011001011101111104010001101211001010501010111131101101160110010114111010017011101001511111000

思考：根據上表，請總結出Gray碼的特點碼制例：有一叉車數控調速系統(tǒng)，分為10檔速度，這10檔速度分別用BCD碼和格雷碼表示如下：速度BCD碼格雷碼速度BCD碼格雷碼000000000501010111100010001601101111200100011701111110300110010810001100401000110910011000現將3檔速度調到4檔速度。如果速度用BCD碼編碼，即：0011→0100。如果由0→1比由1→0快，在轉換過程種將會短暫出現0111（七檔），從而出現振動。0011

0100

0111

G0=B1⊕B0

二進制數中的第i位與第i+1位相同，則格雷碼的第i位為0，否則為1，二進制數的最高位必須與0相比較。

二進制碼與格雷碼的轉換二進制碼1001→格雷碼1101100111100G1=B2⊕B1G2=B3⊕B2

G3=B3ASCII碼:七位代碼表示128個字符，96個為圖形字符，32個控制字符。3.ASCII碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）請同學們參考教材P12表1.8碼制小結自我檢測題3，4，27，28，29習題11.3邏輯代數基礎基本公式和常用公式3種基本邏輯運算復合邏輯運算3個基本規(guī)則3種基本邏輯運算與運算或運算非運算邏輯表達式F=A

B=AB與邏輯真值表與邏輯關系表與邏輯開關A開關B燈F斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABF101101000010ABF

邏輯符號欲使某事件成立，必須所有條件具備，缺一不可。邏輯表達式F=A

+B或邏輯真值表或邏輯ABF≥1邏輯符號使某事件成立的條件有一即可，多也不限ABF101101001110非邏輯當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。非邏輯真值表邏輯符號AF1AF0110邏輯表達式

F=A

“-”非邏輯運算符與非運算或非運算與或非運算同或運算異或運算復合邏輯運算F=ABF=A+BF=AB+CD與非邏輯或非邏輯與或非邏輯復合邏輯運算異或邏輯ABF101101001100邏輯表達式F=A

B=AB+AB

ABF=1邏輯符號ABF101101000011同或邏輯邏輯表達式F=A

B=A

B

ABF=邏輯符號“

”異或邏輯運算符“⊙”同或邏輯運算符邏輯代數的基本公式和常用公式公理00=001=10=0

11=10+0=00+1=1+0=11+1=10-1律自等律A0=0

A+1=1A1=A

A+0=A邏輯代數的基本公式和常用公式交換律結合律分配律A

B=B

A

A+B=B+A

(A

B)C=A(B

C)

(A+B)+C=A+(B+C)A

(

B+C)=A

B+A

C

A+B

C=(A+B)(A+C)互補律A

A=0

A+A=1還原律

A=A重疊律A

A=A

A+A=A邏輯代數的基本公式和常用公式反演律A

B=A+B

A+B=AB吸收律A

B+A

B=A

(A+B)

(A+B)=AA+A

B=A

A

(A+B)=AA+A

B=A+B

A(A+B)=A

B

AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(

A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)常用公式證明例：用真值表證明反演律(摩根定律)ABAB

A+BABA+B001111011011110110000000AB=A+B

AB=A+B

A+B=A

BA+B=A

B“兩項相加，一項含著另一項的非，則非因子多余.”

例：利用基本定律證明常用公式解：常用公式證明“與或表達式中，兩個乘積項分別包含同一因子的原變量和反變量，而兩項的剩余因子包含在第三個乘積項中，則第三項是多余的”公式可推廣：例：證明包含律常用公式證明邏輯代數的四個基本規(guī)則

代入規(guī)則：任何一個含有某變量的等式，如果等式中所有出現此變量的位置均代之以一個邏輯函數式，則此等式依然成立例：

AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個變量：利用反演律

反演規(guī)則對于任意一個邏輯函數式F，做如下處理：

若把式中的運算符“.”換成“+”,“+”換成“.”;

常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；

原變量換成反變量，反變量換成原變量邏輯代數的四個基本定理那么得到的新函數式稱為原函數式F的反函數式F。非號保留，而非號下面的函數式按反演規(guī)則變換。②不屬于單個變量上的非號的兩種處理方法：①保持原函數的運算次序--先與后或，必要時適當地加入括號；應用反演規(guī)則時注意：例：F(A、B、C)其反函數為反演規(guī)則的應用將大非號下面的函數式當作一個變量，去掉大非號即可。

對偶式：1）若把式中的運算符“.”換成“+”，“+”換成“.”；2）常量“0”換成“1”，“1”換成“0”得到新函數式為原函數式F的對偶式F′。

對偶規(guī)則：如果兩個函數式相等，則它們對應的對偶式也相等。即若F1=F2

則F1′=F2′。使公式的數目增加一倍。例：其對偶式邏輯代數的四個基本規(guī)則

函數式中有“

”和“⊙”運算符，求反函數及對偶函數時，要將運算符“

”換成“⊙”，“⊙”換成“

”。

求對偶式時運算順序不變，且它只變換運算符和常量，其變量是不變的。應用對偶規(guī)則時注意：設邏輯函數Y=F（A1,A2,…,Ai,…,An），則有F（A1,A2,…,Ai,…,An）=AiF（A1,A2,…,1,…,An）+F（A1,A2,…,0,…,An）

F(A1,A2,…,Ai,…,An)=[Ai+F(A1,A2,…,0,…,An)]·[+F（A1，A2，…，1，…，An）]

邏輯代數的四個基本規(guī)則

展開規(guī)則：一、邏輯函數的定義和特點定義：輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的邏輯關系。二、邏輯函數的表示方法真值表邏輯函數式

邏輯圖波形圖輸入變量不同取值組合與函數值間的對應關系列成表格用邏輯符號來表示函數式的運算關系特點：輸入變量和輸出變量只有邏輯0、邏輯1兩種取值。反映輸入和輸出波形變化的圖形又叫時序圖1.4邏輯函數及其表示方法把輸入和輸出的關系寫成與、或、非等運算的組合式F

=f（A、B、C、...）ABCF00000100101100100110101111001101101111101111邏輯函數表示方法之一——真值表A、B、C：斷“0”，合“1”F：燈滅“0”，燈亮“1”邏輯函數的真值表是唯一的。

五種常用表達式“與―或”式“或―與”式“與非―與非”式“或非―或非”式“與―或―非”式基本形式邏輯函數表示方法之二——表達式

表達式形式轉換“與或”式→“與非-與非”式“與或”式→“或與”式邏輯函數表示方法之二——表達式乘積項用與門實現，和項用或門實現邏輯函數表示方法之三——邏輯圖邏輯函數表示方法之四——波形圖邏輯函數波形圖ABCF00000100101100100110101111111010librayIEEE；useIEEE.std_logic_1164.all；entityZUHEisport（A，B，C：instd_logic；

F：outstd_logic）；endZUHEarchitectureoneofZUHEisbeginF<=（AandB）or（notAandC）；end；邏輯函數表示方法之五——硬件描述語言真值表——邏輯函數式

挑出函數值為1的輸入組合

寫出函數值為1的輸入組合對應的乘積項

這些乘積項作邏輯加邏輯函數表示方法的互相轉換ABCF00000100101100100110101111111010邏輯函數式——邏輯圖邏輯函數表示方法的互相轉換邏輯圖——邏輯函數式邏輯函數的標準形式3個變量的邏輯函數有以下8個最小項：最小項：在n個變量的邏輯函數中，P是n個變量的乘積項，如果在P中，每個變量都以原變量或反變量的形式出現一次且僅出現一次，則稱P為最小項。

最小項的定義和表示最小項000001010011100101110111二進制數m0m1m2m3m4m5m6m7簡化表示001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111

最小項的性質：2.任意兩個最小項的乘積恒為0，即mimj=0(i≠j)；3.所有最小項之和恒為1。1.每一最小項與一組變量取值相對應，只有這一組取值使該最小項的值為1；

邏輯函數的標準與-或表達式——最小項之和的形式例：求函數的最小項之和表達式解：=m0+m1+m5+m8=∑m（0，1，5，8）=m3+m2+m1=∑m（1，2，3）邏輯函數的標準形式

函數的最大項及其性質

如果一個或項包含了全部n個變量，且每個變量都以原變量或反變量的形式出現且僅出現一次，則稱該或項為最大項。M0000M4100M1001M5101M2010M6110M3011M7111編號ABC最大項編號ABC最大項邏輯函數的標準形式

函數的最大項的性質

對任一最大項Mi，有且僅有一組變量取值使該最大項的值為0。

任意兩個不同的最大項的和恒為1，即Mi+Mj

=1，i≠j。全部最大項的乘積恒等于0，即編號相同的最小項和最大項是互反的，即

邏輯函數的標準形式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111例：已知函數的真值表，寫出該函數的最小項之和、最大項之積表達式

從真值表找出F為1的對應最小項解:011331101551110661111771

然后將這些項邏輯加=m3+m5+m6+m7=∑m（3，5，6，7）邏輯函數的標準形式ABC000001010011100101110111mi01234567FMi0123456700010111

依次找出所有函數值等于0的輸入組合；把變量值為1的寫成反變量，變量值為0的寫成原變量，相和即得到最大項；把這些最大項作邏輯乘，就得到標準或-與表達式。思考：最小項表達式和最大項表達式有什么關系。1.5邏輯函數的化簡邏輯函數公式法化簡邏輯函數圖形法化簡例：已知邏輯圖，求函數表達式

乘積項中的變量最少邏輯函數化簡的意義

乘積項最少最簡與或式邏輯函數化簡的意義

每個門的輸入端個數少

邏輯電路所用門的數量少

降低成本，提高可靠性根據最簡與或式得到的電路圖為：邏輯函數的變換

從工程的角度，成本最低邏輯函數的變換

與或表達式的簡化公式法化簡函數方法：

并項：利用將兩項并為一項，且消去一個變量B。

消項：利用A+AB=A消去多余的項AB

配項：利用和互補律、重疊律先增添項，再消去多余項BC

消元：利用消去多余變量代數法化簡函數例：試化簡函數解：利用公式利用公式利用公式利用公式卡諾圖定義：按照一定規(guī)律編號的一長方形或正方形的方格圖，每一方格代表一個最小項。卡諾圖化簡函數2~4變量卡諾圖（K圖）A

B00011011

m0

m1

m2

m3AABBABBAABABAB1010

m0

m1

m2

m3

miABC01000111100001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD二變量K圖三變量K圖四變量K圖圖形法化簡函數

邏輯相鄰:兩個最小項如果只有一個因子不同,則稱這兩個最小項邏輯相鄰；

幾何相鄰：直接相鄰、上下相鄰、左右相鄰、四角相鄰。0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD直接相鄰

左右相鄰

上下相鄰

四角相鄰

卡諾圖特點:幾何上相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的。化簡的依據圖形法化簡函數0001111000011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m11ABCD四變量K圖兩個相鄰格圈在一起，結果消去一個變量ABD

ADA1四個相鄰格圈在一起，結果消去兩個變量八個相鄰格圈在一起，結果消去三個變量十六個相鄰格圈在一起，結果

mi=1

因為卡諾圖中幾何上相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的。因此可以利用公式和消去一個變量，達到化簡的目的。圖形法化簡函數

用卡諾圖化簡邏輯函數步驟

畫邏輯函數的卡諾圖畫包圍圈，其原則為：1、要將所有的1方格都畫入包圍圈；2、包圍圈越大越好，包圍圈個數越少越好；3、同一個1可以多次參加畫圈，但每個圈中都要有新的1；4、先畫大圈，后畫小圈，單獨的1也不要漏掉；5、包圍圈內的1個數只能是1、2、4、8…。

每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則。

最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式例1：圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數的卡諾圖并化簡。ABCF0000010100111001011101110011100011100000ABABC得：圖形法化簡函數ABC0100011110F例2：將F(A，B，C，D)=∑m（0，1，4，6，7，9，10，11，12，13，14，15）化為最簡與非—與非式解：ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：圖形法化簡函數0100011110001110CDAB111111111111F圖形法化簡函數

用卡諾圖化簡邏輯函數步驟

畫邏輯函數的卡諾圖畫包圍圈，其原則為：1、要將所有的1方格都畫入包圍圈；2、包圍圈越大越好，包圍圈個數越少越好；3、同一個1可以多次參加畫圈，但每個圈中都要有新的1；4、先畫大圈，后畫小圈，單獨的1也不要漏掉；5、包圍圈內的1個數只能是1、2、4、8…。

每個圈寫出一個乘積項。按取同去異原則。

最后將全部積項邏輯加即得最簡與或表達式解：圖形法化簡函數利用卡諾圖化簡邏輯函數F（A，B，C，D）=∑m(1,5,6,7,11,12,13,15)11111111ACD多余包圍圈0100011110001110CDABF

根據函數畫卡諾圖的方法1.已知函數為最小項表達式，存在的最小項對應的格填1，其余格均填0。2.若已知函數的真值表，將真值表中使函數值為1的那些最小項對應的方格填1，其余格均填0。3.函數為一個復雜的運算式，則先將其變成與或式，再用直接法填寫。圖形法化簡函數解：0100011110001110CDAB圖形法化簡函數111