指數(shù)函數(shù)10種常見考法歸類（原卷版）

4.2指數(shù)函數(shù)10種常見考法歸類1、指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.注：為什么底數(shù)應(yīng)滿足a>0且a≠1?①當(dāng)a≤0時(shí)，ax可能無意義；②當(dāng)a>0時(shí)，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)a＝1時(shí)，ax＝1(x∈R)，無研究價(jià)值．因此規(guī)定y＝ax中a>0，且a≠1.2、兩類指數(shù)模型（1）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)a>1時(shí)為指數(shù)增長型函數(shù)模型．（2）y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，當(dāng)0<a<1時(shí)為指數(shù)衰減型函數(shù)模型．3、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域R值域(0，＋∞)過定點(diǎn)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時(shí)，y＝1函數(shù)值的變化當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，y>1單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)對(duì)稱性y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱注：（1）指數(shù)函數(shù)的圖象只能出現(xiàn)在第一、二象限，不可能出現(xiàn)在第三、四象限．（2）指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象“升”“降”主要取決于底數(shù)a.當(dāng)a>1時(shí)，圖象具有上升趨勢；當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象具有下降趨勢．4、比較冪的大小一般地，比較冪大小的方法有(1)對(duì)于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個(gè)冪的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷．(2)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個(gè)冪的大小，利用冪函數(shù)的單調(diào)性來判斷．(3)對(duì)于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個(gè)冪的大小，則通過中間值來判斷．5、解指數(shù)方程、不等式簡單指數(shù)不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的單調(diào)性求解．(2)形如af(x)>b的不等式，可將b化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解．(3)形如ax>bx的不等式，可借助兩函數(shù)y＝ax，y＝bx的圖象求解．6、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函數(shù)的性質(zhì)(1)函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)有相同的定義域．(2)當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與y＝f(x)具有相同的單調(diào)性；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性相反．注：（1）指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的單調(diào)性與其底數(shù)a有關(guān)，當(dāng)a>1時(shí)，y＝ax在定義域上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝ax在定義域上是減函數(shù)．（2）如何判斷形如y＝f(ax)(a>0，a≠1)的函數(shù)的單調(diào)性？①定義法，即“取值－作差－變形－定號(hào)”．其中，在定號(hào)過程中需要用到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；②利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律．7、判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法①看形式:只需判斷其解析式是否符合(a>0，且a≠1)這一結(jié)構(gòu)特征；②明特征：看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式的三個(gè)特征．只要有一個(gè)特征不具備，則該函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)．(1)底數(shù)的值是否符合要求．(2)ax前的系數(shù)是否為1.(3)指數(shù)是否符合要求．8、已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的方法①依據(jù)指數(shù)函數(shù)形式列方程：令底數(shù)大于0且不等于1，系數(shù)等于1列出不等式與方程；②求參數(shù)值：解不等式與方程求出參數(shù)的值．注：解決指數(shù)函數(shù)問題時(shí)，要特別注意底數(shù)大于0且不等于1這一條件.9、求指數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值(1)求指數(shù)函數(shù)的解析式時(shí)，一般采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)函數(shù)的概念是解決這類問題的關(guān)鍵．(2)求指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的關(guān)鍵是掌握指數(shù)函數(shù)的解析式．10、解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施(1)解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長(衰減)率的意義：增長(衰減)率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)間”內(nèi)比它在“前單位時(shí)間”內(nèi)的增長(衰減)率，切記并不總是只和開始單位時(shí)間內(nèi)的比較．(2)分析具體問題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫出前3～4個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)律后，再概括為數(shù)學(xué)問題，最后求解數(shù)學(xué)問題即可．(3)在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式．11、函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法(1)定義域：形如y＝af(x)形式的函數(shù)的定義域是使得f(x)有意義的x的取值集合．(2)值域：①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通過建立不等關(guān)系求定義域時(shí)，要注意解集為各不等關(guān)系解集的交集．(2)當(dāng)指數(shù)型函數(shù)的底數(shù)含字母時(shí)，在求定義域、值域時(shí)要注意分類討論．12、利用變換作圖法作圖要注意：①選擇哪個(gè)指數(shù)函數(shù)作為起始函數(shù)．②平移的方向及單位長度．③常用的變換作圖法主要有：

此外，函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)y＝|ax－b|的圖象可由函數(shù)y＝ax－b的圖象保持在x軸上及其上方的部分不動(dòng)，把x軸下方的部分翻折到x軸上方得到．13、處理函數(shù)圖象問題的策略(1)抓住特殊點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的x，y的值，即可得函數(shù)圖象所過的定點(diǎn)．(2)巧用圖象變換：函數(shù)圖象的平移變換(左右平移、上下平移)．(3)利用函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性與單調(diào)性．14、比較冪值大小的3種類型及處理方法15、指數(shù)方程的類型可分為：①形如af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)的方程化為f(x)＝g(x)求解；②形如a2x＋b·ax＋c>0(<0)型不等式，用換元法求解．16、簡單的指數(shù)不等式的解法(1)利用指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依據(jù)是指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性，要養(yǎng)成判斷底數(shù)取值范圍的習(xí)慣，①當(dāng)a>1時(shí)，化為f(x)>g(x)求解；②當(dāng)0<a<1時(shí)，化為f(x)<g(x)求解．若底數(shù)不確定，就需進(jìn)行分類討論，即af(x)>ag(x)?f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．17、指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性(1)求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考察f(u)和φ(x)的單調(diào)性，利用同增異減原則，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．(2)關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)(a>0，且a≠1)的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)a>1還是0<a<1；二是f(x)的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù)y＝au，u＝f(x)復(fù)合而成．18、指數(shù)型函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷方法：(1)奇偶性按照函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷，注意定義域優(yōu)先原則，判斷過程中要進(jìn)行必要的指數(shù)冪的運(yùn)算．(2)單調(diào)性按照函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷，先確定單調(diào)區(qū)間，作差變形后再進(jìn)行符號(hào)的判斷．考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念考點(diǎn)二求指數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值考點(diǎn)三指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的定義域和值域考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用（一）指數(shù)函數(shù)的圖象特征（二）指數(shù)函數(shù)的圖象變換（三）指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題（四）指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用考點(diǎn)六比較大小考點(diǎn)七簡單的指數(shù)不等式的解法考點(diǎn)八指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與最值考點(diǎn)九指數(shù)型函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)十指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)為指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列函數(shù)：①；②；③；④．其中為指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A． B．C． D．3．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A．B．C．D．（且）4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給定下列函數(shù)：①；②；③，且；④；⑤；⑥；⑦；⑧.其中是指數(shù)函數(shù)的有.（填序號(hào)）考點(diǎn)二求指數(shù)函數(shù)的解析式或函數(shù)值5．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．7．（2023秋·湖南岳陽·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B． C．3 D．98．（2023·全國·高一課堂例題）已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求和．9．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．2 B．4 C．5 D．710．（2023秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．11．（2023秋·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則.12．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則.考點(diǎn)三指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用13．（2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某廠1995年的產(chǎn)值為萬元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以5%遞增，則該廠到2007年的產(chǎn)值（萬元）是（

）A． B． C． D．14．（2023秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某化工廠生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的廢氣含有大量的有毒、有害物質(zhì)，需經(jīng)過濾后排放．過濾過程中廢氣中的有毒、有害物質(zhì)的含量（單位：與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為（為常數(shù)），若在過濾后消除了的有毒、有害物質(zhì)，則后剩余的有毒、有害物質(zhì)大約為原來有毒、有害物質(zhì)的（

）（附：）A． B． C． D．15．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）某城市2007年底人口為500萬，人均住房面積為，到2023年底該市的人均住房面積翻了一番．假定該市人口的年平均增長率為1％，求這10年中該市每年新增住房的平均面積（精確到）．16．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子．寫出第n代得到的種子數(shù)與n的函數(shù)關(guān)系式，并求第5代得到的種子數(shù)．（結(jié)果寫成（，n為正整數(shù)）的形式，a精確到0.01）考點(diǎn)四指數(shù)函數(shù)的定義域和值域17．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是．19．（2023·上海·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是.20．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)；(4)．21．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．22．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)23．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．24．（2023·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)，在上的值域.25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的值域?yàn)?，則x的取值范圍可以為（

）A． B． C． D．26．（2023秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?8．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：(1)；(2)．29．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為.30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象特征31．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)，，中一個(gè)的是（

）A．① B．② C．③ D．④32．（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學(xué)考試）函數(shù)（，且）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

33．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

34．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象是（

）A． B．C． D．35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

36．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

指數(shù)函數(shù)的圖象變換37．（2023·全國·高一課堂例題）說明下列函數(shù)的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象的關(guān)系，并畫出它們的示意圖：(1)；(2).38．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象.39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

40．（2023秋·吉林·高三輝南縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)，且的圖象大致是（

）A． B．C． D．41．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)（，且）與在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．.

B．

C．

D．

指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題42．（2023秋·福建泉州·高一?？计谥校┖瘮?shù)（且）的圖像一定過點(diǎn).43．（2023秋·天津?yàn)I海新·高一天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考期中）不論且為何值，函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，無論取何值，函數(shù)圖像恒過一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.45．（2023春·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)，則過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．46．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)（且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.47．（2023秋·重慶石柱·高三?？茧A段練習(xí)）已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用48．（2023·福建·高考真題）函數(shù)的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．49．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，則（

）A． B． C． D．50．（2023秋·湖南永州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖象恒過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限51．【多選】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)（且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．52．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，，.已知函數(shù)的圖象如圖所示，求a，b的取值范圍.53．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限,則的取值范圍為.54．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過第一?三?四象限，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．55．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若直線y＝2a與函數(shù)y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．考點(diǎn)六比較大小56．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大小：(1)，；(2)，．57．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)數(shù)的大?。?1)，；(2)，；(3)，；(4)，．58．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)，，；(2)，，．59．（2023秋·安徽·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．60．（2023秋·北京東城·高一?？计谥校┮阎瑒t的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七簡單的指數(shù)不等式的解法61．（2023秋·北京海淀·高三?？茧A段練習(xí)）已知集合，則（

）A． B． C． D．62．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求使下列不等式成立的實(shí)數(shù)x的集合：(1)；(2)．63．（2023秋·山東泰安·高一泰安一中?？计谥校┎坏仁降慕饧癁?64．（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為．65．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為．66．（2023春·江蘇南通·高一金沙中學(xué)校考階段練習(xí)）若指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則不等式的解集是．67．（2023秋·浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)則滿足的x取值范圍為．68．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為．考點(diǎn)八指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與最值69．（2023秋·河北唐山·高一唐山市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．70．（2023秋·北京東城·高一校考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．71．【多選】（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上單調(diào)遞減72．【多選】（2023秋·河南·高三滎陽市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)?B．的單調(diào)遞增區(qū)間為C．的最小值為3 D．的圖象關(guān)于對(duì)稱73．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．74．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．75．（2024·黑龍江大慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則t的取