高考數學一輪復習知識點歸納與總結：隨機事件的概率

eq\a\vs4\al(第四節(jié)隨機事件的概率)[備考方向要明了]考什么怎么考1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率意義以及頻率與概率的區(qū)別．2.了解兩個互斥事件的概率加法公式.1.隨機事件的概率是高考的必考內容，主要考查互斥事件的概率公式以及對立事件的求法為主，其中對立事件的概率是“正難則反”思想的具體應用，在高考中?？疾椋?.多以選擇和填空的形式考查，有時也滲透在解答題中，屬容易題，如2012江蘇T6等.[歸納·知識整合]1．事件的分類2．頻率和概率(1)在相同的條件S下重復n次實驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數，稱事件A出現的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事件A出現的頻率．(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數上，把這個常數記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率．[探究]1.概率和頻率有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：頻率隨著試驗次數的變化而變化，概率卻是一個常數，它是頻率的科學抽象．當試驗次數越來越大時，頻率也越來越向概率接近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率．3.事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關系若B?A且A?B，那么稱事件A與事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，那么事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝U[探究]2.互斥事件和對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的．在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生；而對立事件則是必有一個發(fā)生，但不能同時發(fā)生．所以兩個事件互斥但未必對立；反之兩個事件對立則它們一定互斥．4．概率的幾個基本性質(1)概率的取值范圍：[0,1]．(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A與B互為對立事件，則A∪B為必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[自測·牛刀小試]1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件．那么()A．甲是乙的充分但不必要條件B．甲是乙的必要但不充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件解析：選B對立事件一定互斥，互斥事件不一定對立．2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有1個白球，都是白球B．至少有1個白球，至少有1個紅球C．恰有1個白球，恰有2個白球D．至少有1個白球，都是紅球解析：選CA、B中的事件可同時發(fā)生，不是互斥事件，D為對立事件．3．從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175]的概率為0.5，那么該同學的身高超過175cm的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8解析：選B由對立事件的概率可求該同學的身高超過175cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3.4．某城市2012年的空氣質量狀況如下表所示：污染指數T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數T≤50時，空氣質量為優(yōu)；50<T≤100時，空氣質量為良；100<T≤150時，空氣質量為輕微污染．該城市2012年空氣質量達到良或優(yōu)的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(1,180)C.eq\f(1,19) D.eq\f(5,6)解析：選A由表知空氣質量為優(yōu)的概率為eq\f(1,10)，空氣質量為良的概率為eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).故空氣質量為優(yōu)或良的概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,5).5．甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是eq\f(1,2)，乙獲勝的概率是eq\f(1,3)，則乙不輸的概率是________．解析：“乙不輸”包含“兩人和棋”和“乙獲勝”這兩個事件，并且這兩個事件是互斥的，故“乙不輸”的概率為eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).答案：eq\f(5,6)隨機事件間的關系[例1]從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”．[自主解答]任取3只球，共有以下4種可能結果：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件．(2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，可能同時不發(fā)生，故不是對立事件．(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有一只白球”不可能同時發(fā)生，故互斥．其中必有一個發(fā)生，故對立．(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件．———————————————————理解互斥事件與對立事件應注意的問題(1)對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不可能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這可類比集合進行理解；(2)具體應用時，可把試驗結果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而判斷所給事件的關系．1．判斷下列每對事件是否為互斥事件？是否為對立事件？從一副橋牌(52張)中，任取1張，(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數為3的倍數”與“抽出的牌點數大于10”．解：(1)是互斥事件但不是對立事件．因為“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時不可能同時發(fā)生，因而是互斥的．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對立．(2)是互斥事件又是對立事件．因為兩者不可同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生．(3)不是互斥事件，更不是對立事件．因為“抽出的牌點數為3的倍數”與“抽出的牌點數大于10”這兩個事件有可能同時發(fā)生，如抽得12.隨機事件的頻率與概率[例2]某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，各次訓練的成績如下表：射擊次數100120150100150160150擊中飛碟數819512382119127121擊中飛碟的頻率(1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中；(2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？[自主解答]利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率．(1)射中次數100，擊中飛碟數是81，故擊中飛碟的頻率是eq\f(81,100)＝0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792，0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81.———————————————————概率和頻率的關系概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學抽象，當試驗次數越來越多時頻率向概率靠近，只要次數足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率．2．某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習，如下表所示：(1)計算表中進球的頻率并填表；(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約是多少？投籃次數n8101520304050進球次數m681217253238進球頻率eq\f(m,n)解：(1)頻率是在試驗中事件發(fā)生的次數與試驗次數的比值，由此得進球頻率依次是eq\f(6,8)，eq\f(8,10)，eq\f(12,15)，eq\f(17,20)，eq\f(25,30)，eq\f(32,40)，eq\f(38,50)，即表中依次填入0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.(2)由(1)知進球頻率穩(wěn)定在0.8，所以這位運動員投籃一次，進球時概率約是0.8.互斥事件、對立事件的概率[例3]某戰(zhàn)士射擊一次，問：(1)若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？(2)若命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，則至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？[自主解答](1)記中靶為事件A，不中靶為事件eq\x\to(A)，根據對立事件的概率性質，有P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.故不中靶的概率為0.05.(2)記命中10環(huán)為事件B，命中9環(huán)為事件C，命中8環(huán)為事件D，至少8環(huán)為事件E，不夠9環(huán)為事件F.由B、C、D互斥，E＝B∪C∪D，F＝eq\x\to(B∪C)，根據概率的基本性質，有P(E)＝P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72；P(F)＝P(eq\x\to(B∪C))＝1－P(B∪C)＝1－(0.27＋0.21)＝0.52.所以至少8環(huán)的概率為0.72，不夠9環(huán)的概率為0.52.———————————————————求復雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率求和，運用互斥事件的概率求和公式計算．(2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運用逆向思維，特別是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便．3．某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．解：(1)P(A)＝eq\f(1,1000)，P(B)＝eq\f(10,1000)＝eq\f(1,100)，P(C)＝eq\f(50,1000)＝eq\f(1,20).故事件A，B，C的概率分別為eq\f(1,1000)，eq\f(1,100)，eq\f(1,20).(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎．設“1張獎券中獎”這個事件為M，則M＝A∪B∪C.∵A、B、C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券的中獎概率為eq\f(61,1000).(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(1,100)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).1個難點——對頻率和概率的理解(1)依據定義求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個常數，而頻率隨著試驗次數的變化而變化．(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現象的客觀規(guī)律，與我們日常所說的“可能”“估計”是不同的．也就是說，單獨一次結果的不確定性與積累結果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質屬性．1個重點——對互斥事件與對立事件的理解(1)對于互斥事件要抓住如下特征進行理解：①互斥事件研究的是兩個事件之間的關系；②所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；③兩個事件互斥是從試驗的結果中不能同時出現來確定的．(2)對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且只有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作eq\x\to(A).從集合的角度來看，事件eq\x\to(A)所含的結果的集合正是全集U中由事件A所含結果組成的集合的補集，即A∪eq\x\to(A)＝U，A∩eq\x\to(A)＝?.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.易誤警示——誤判事件間的關系導致概率計算失誤[典例](2013·臨沂模擬)拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標有數字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的數是奇數”，事件B表示“朝上一面的數不超過3”，則P(A∪B)＝________.[解析]事件A∪B可以分成事件C為“朝上一面的數為1、2、3”與事件D為“朝上一面的數為5”這兩件事，則事件C和事件D互斥，故P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(3,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).[答案]eq\f(2,3)eq\a\vs4\al([易誤辨析])1．因未分清事件A、B的關系，誤以為事件A、B是互斥事件，從而造成概率計算錯誤；2．因不能把所求事件轉化為幾個互斥事件，思維受阻，從而得不到正確答案．3．求解隨機事件的概率問題時還有如下錯誤：解決互斥與對立事件問題時，由于對事件的互斥與對立關系不清楚，不能準確判斷互斥與對立事件的關系而致錯．eq\a\vs4\al([變式訓練])某產品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙均屬于次品，若生產中出現乙級品的概率為0.03，出現丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件，恰好得正品的概率為()A．0.99 B．0.98C．0.97 D．0.96解析：選D記事件A＝{甲級品}，B＝{乙級品}，C＝{丙級品}．事件A、B、C彼此互斥，且A與B∪C是對立事件．所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.

一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．給出以下結論：①互斥事件一定對立．②對立事件一定互斥．③互斥事件不一定對立．④事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A與B互斥，則有P(A)＝1－P(B)．其中正確命題的個數為()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：選C對立必互斥，互斥不一定對立，所以②③正確，①錯；又當A∪B＝A時，P(A∪B)＝P(A)，所以④錯；只有A與B為對立事件時，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤錯．2．將一枚骰子向上拋擲1次，設事件A表示向上的一面出現的點數為偶數，事件B表示向上的一面出現的點數不超過3，事件C表示向上的一面出現的點數不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件D．B與C是對立事件解析：選DA∩B＝{出現點數2}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C為全集，故事件B，C是對立事件，故選D.3．(2013·惠州模擬)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：選D從{1,2,3,4,5}中選取一個數a有5種取法，從{1,2,3}中選取一個數b有3種取法．所以選取兩個數a，b共有5×3＝15個基本事件．滿足b>a的基本事件共有3個．因此b>a的概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).4．從16個同類產品(其中有14個正品，2個次品)中任意抽取3個，下列事件中概率為1的是()A．三個都是正品B．三個都是次品C．三個中至少有一個是正品D．三個中至少有一個是次品解析：選C16個同類產品中，只有2件次品，抽取三件產品，A是隨機事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是隨機事件，又必然事件的概率為1.5．某種飲料每箱裝6聽，其中有4聽合格，2聽不合格，現質檢人員從中隨機抽取2聽進行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是()A.eq\f(1,15) B.eq\f(3,5)C.eq\f(8,15) D.eq\f(14,15)解析：選B記4聽合格的飲料分別為A1、A2、A3、A4，2聽不合格的飲料分別為B1、B2，則從中隨機抽取2聽有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15種不同取法，而至少有一聽不合格飲料有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9種，故所求概率為P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).6．甲、乙二人玩數字游戲，先由甲任想一數字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜出的數字記為b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”，現任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(5,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(7,9)解析：選D甲想一數字有3種結果，乙猜一數字有3種結果，基本事件總數為3×3＝9.設“甲、乙心有靈犀”為事件A，則A的對立事件B為“|a－b|>1”，又|a－b|＝2包含2個基本事件，所以P(B)＝eq\f(2,9)，所以P(A)＝1－eq\f(2,9)＝eq\f(7,9).二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．人在打靶中連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是________________．解析：“至少有1次中靶”包括兩種情況：①有1次中靶；②有2次中靶．其對立事件為“2次都不中靶”．答案：2次都不中靶8．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為________．解析：P＝1－0.2×0.25＝0.95.答案：0.959．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若從中隨機摸出兩只球，則它們顏色不同的概率是________．解析：設3只白球為A，B，C,1只黑球為d，則從中隨機摸出兩只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6種，其中兩只球顏色不同的有3種，故所求概率為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．由經驗得知，在人民商場付款處排隊等候付款的人數及其概率如下：排隊人數012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊的概率；(2)至少2人排隊的概率．解：記“沒有人排隊”為事件A，“1人排隊”為事件B，“2人排隊”為事件C，A，B，C彼此互斥．(1)記“至少2人排隊”為事件E，則P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)記“至少2人排隊”為事件D.“少于2人排隊”為事件A＋B，那么事件D與事件A＋B是對立事件，則P(D)＝1－P(A＋B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.11．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，從6張大小相同、分別標有號碼1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取兩張，x，y分別表示第一次，第二次抽取的卡片上的號碼．(1)求滿足a·b＝－1的概率；(2)求滿足a·b>0的概率．解：(1)設(x，y)表示一個基本事件，則兩次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個．用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，則A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3個，P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).(2)a·b>0，即x－2y>0，在(1)中的36個基本事件中，滿足x－2y>0的事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)共6個，所以所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).12．某次會議有6名代表參加，A，B兩名代表來自甲單位，C，D兩名代表來自乙單位，E，F兩名代表來自丙單位，現隨機選出兩名代表發(fā)言，問：(1)代表A被選中的概率是多少？(2)選出的兩名代表“恰有1名來自乙單位或2名都來自丙單位”的概率是多少？解：(1)從這6名代表中隨機選出2名，共有15種不同的選法，分別為(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)．其中代表A被選中的選法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)共5種，則代表A被選中的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(2)法一：隨機選出的2名代表“恰有1名來自乙單位或2名都來自丙單位”的結果有9種，分別是(A，C)，(A，D)，(B，