陜西省西安市師范大學(xué)錦園國際中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

陜西省西安市師范大學(xué)錦園國際中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線與函數(shù)的圖象恰有四個公共點(diǎn)，，，其中，則有A．

B．C.

D.參考答案：B2.已知點(diǎn)P（x，y）為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，則3x+4y的最小值為（）A．5 B．1 C．0 D．﹣5參考答案：D【考點(diǎn)】圓方程的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；規(guī)律型；方程思想；直線與圓．【分析】利用三角變換化簡所求表達(dá)式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求出最小值．【解答】解：點(diǎn)P（x，y）為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，令x=cosα，y=sinα，3x+4y=3cosα+4sinα=5（cosα+sinα）=5sin（α+θ），其中tanθ=．5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值為：﹣5．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查圓的方程的綜合應(yīng)用，考查計算能力．3.已知點(diǎn)、，直線與線段相交，則的最小值為A. B.

C. D.參考答案：由已知有，作出可行域，令，則的最小值為點(diǎn)到直線的距離，此時，所以的最小值為，選B.4.設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=x2﹣4（x＞0），則f（x﹣2）＞0的解集為(

)A．（﹣4，0）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（4，+∞） C．（﹣∞，0）∪（4，+∞） D．（﹣4，4）參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知中定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=x2﹣4（x＞0），先求出f（x）＞0的解集，進(jìn)而求出f（x﹣2）＞0的解集．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4（x＞0），∴當(dāng)x＞0時，若f（x）＞0，則x＞2，又由函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，若f（x）＞0，則f（﹣x）＜0，則0＜﹣x＜2，即﹣2＜x＜0，故f（x）＞0的解集為（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0時，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集為（0，2）∪（4，+∞）．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查不等式的解法，利用函數(shù)的奇偶性求出當(dāng)x＜0時，f（x）＞0的解集，是解決本題的關(guān)鍵．5.存在實(shí)數(shù)x，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[－2,2]

B．(－∞,－2]∪[2,+∞)

C．(－2,2)

D．(－∞,－2)∪(2,+∞)參考答案：D6.下列關(guān)于命題的說法錯誤的是(

)A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”；B．“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件；C．若命題：，則：；

D．命題“”是真命題．參考答案：D【知識點(diǎn)】命題及其關(guān)系A(chǔ)2因?yàn)槊}“若x2-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x2-3x+2≠0”，所以A正確；由a=2能得到函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，反之，函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，a不一定大于2，所以“a=2”是“函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)”的充分不必要條件，所以選項B正確；命題P：n∈N，2n＞1000，的否定為￢P：n∈N，2n≤1000，所以C正確；因?yàn)楫?dāng)x＜0時恒有2x＞3x，所以命題“x∈（-∞，0），2x＜3x”為假命題，所以D不正確【思路點(diǎn)撥】選項A是寫一個命題的逆否命題，只要把原命題的結(jié)論否定當(dāng)條件，條件否定當(dāng)結(jié)論即可；選項B看由a=2能否得到函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，反之又是否成立；選項C、D是寫出特稱命題的否定，注意其否定全稱命題的格式．7.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角B為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：8.下列各式中，值為的是

A．

B．C．D．參考答案：D9.現(xiàn)有A，B，C，D，E，F(xiàn)六支足球隊參加單循環(huán)比賽（即任意兩支球隊只踢一場比賽），第一周的比賽中，A，B各踢了3場，C，D各踢了4場，E踢了2場，且A隊與C隊未踢過，B隊與D隊也未踢過，則在第一周的比賽中，F(xiàn)隊踢的比賽的場數(shù)是（

）A．

1

B．

2

C.

3

D．4參考答案：D10.已知點(diǎn)M（a，b）在由不等式組確定的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)N（a+b，a﹣b）所在平面區(qū)域的面積是(

)A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．【專題】壓軸題．【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出，據(jù)已知求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的約束條件，畫出可行域，求出圖象的面積．【解答】解：令s=x+y，t=x﹣y，則P（x+y，x﹣y）為P（s，t）

由s=x+y，t=x﹣y可得2x=s+t，2y=s﹣t因?yàn)閤，y是正數(shù)，且x+y≤2有在直角坐標(biāo)系上畫出P（s，t）

s橫坐標(biāo)，t縱坐標(biāo)，即可得知面積為4故選C【點(diǎn)評】求出點(diǎn)滿足的約束條件，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，求出圖象的面積，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

．參考答案：12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1﹣2i對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是．參考答案：【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義、兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z=1﹣2i對應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣2）到原點(diǎn)的距離d==．故答案：．13.函數(shù)的最小值是

．參考答案：試題分析：，當(dāng)且僅當(dāng)14.

已知函數(shù),若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，），則___;若函數(shù)是上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

參考答案：2；若函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3，），則，解得。若函數(shù)是上的增函數(shù)，則有，即，所以，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是。15.不等式組表示的平面區(qū)域的面積是___________.參考答案：不等式組表示的區(qū)域?yàn)槿切?，由題意知，所以平面區(qū)域的面積。16.若雙曲線－=1的漸近線與圓相切，則此雙曲線的離心率為

．參考答案：217.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：a1=1，a2=2，Sn+1=an+2﹣an+1（n∈N*），若不等式λSn＞an恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是．參考答案：λ＞1【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】由題知，當(dāng)n≥2時，有Sn+1=an+2﹣an+1，Sn﹣1+1=an+1﹣an，兩式相減得an+2=2an+1，利用等比數(shù)列的通項公式與求和公式可得an，Sn，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出．【解答】解：由題知，當(dāng)n≥2時，有Sn+1=an+2﹣an+1，Sn﹣1+1=an+1﹣an，兩式相減得an+2=2an+1，又a1=1，a2=2，a3=4，故an+1=2an對任意n∈N*成立，∴，，∴恒成立只需的最大值，當(dāng)n=1時，右式取得最大值1，∴λ＞1．故答案為：λ＞1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修，可供利用的舊墻足夠長），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬2m的進(jìn)出口，如圖所示．已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價為180元/m．設(shè)利用舊墻的長度為x（單位：m），修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用為y（單位：元）．（1）將y表示為x的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域；（2）若要求用于維修舊墻的費(fèi)用不得超過修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用的15%，試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．參考答案：【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)矩形場地的寬為am，然后求出y的表達(dá)式，注明x＞0．（2）利用基本不等式直接求出費(fèi)用的最小值即可．【解答】（本小題滿分14分）解：（1）設(shè)矩形場地的寬為am，則y=45x+180（x﹣2）+180×2a=225x+360a﹣360，…∵ax=360∴a=，…∴y=225x+，x＞0；…（2）∵x＞0∴y=225x+≥2﹣360=10440

…當(dāng)且僅當(dāng)225x=，即x=24時，等號成立．…當(dāng)x=24時，修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用的15%為：1566元，用于維修舊墻的費(fèi)用為：1080元．∵1080＜1566，…∴當(dāng)x=24m時，修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，最小總費(fèi)用是10440元．…【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．19.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓及其內(nèi)部所覆蓋．(Ⅰ)試求圓的方程．(Ⅱ)若斜率為1的直線與圓C交于不同兩點(diǎn)滿足,求直線的方程．參考答案：(Ⅰ)由題意知此平面區(qū)域表示的是以構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,且△是直角三角形,所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓,故圓心是(2,1),半徑是,所以圓的方程是．

(Ⅱ)設(shè)直線的方程是:．因?yàn)?所以圓心到直線的距離是,即解得:．

所以直線的方程是:

．

20.（本大題滿分12分）

已知冪函數(shù)是增函數(shù)，（注：x的指數(shù)是）（1）當(dāng)與垂直時，求的值；

（2）求的最值以及取最值時x的取值集合。參考答案：解：（1）依題設(shè)得

，……（6分）21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，記函數(shù)在上的最大值為m，證明：.參考答案：（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）對求導(dǎo)，得，因?yàn)?，所以，令，求?dǎo)得在上單調(diào)遞增，，使得，進(jìn)而得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以，令，求導(dǎo)得