考向10 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（重點(diǎn)）-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題（新高考地區(qū)專用）

考向10指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．（2020·全國高考真題（文））設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識點(diǎn)有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.2．（2015·山東高考真題（理））已知函數(shù)的定義域和值域都是，則_____________.【答案】【詳解】若，則在上為增函數(shù),所以，此方程組無解；若，則在上為減函數(shù),所以，解得，所以.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).1.指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)注意：(1)必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運(yùn)算的先后順序.2.當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運(yùn)算結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù).4.有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．(4)根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問題，可以通過直線x＝1與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷．5.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較冪值的大小，先看能否化成同底數(shù)，能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大??；6.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解簡單的指數(shù)方程或不等式，先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解；7.解答指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解。1.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)【知識拓展】1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.3.有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)(1)求復(fù)合函數(shù)的定義域與值域形如的函數(shù)的定義域就是的定義域．求形如的函數(shù)的值域，應(yīng)先求出的值域，再由單調(diào)性求出的值域．若a的范圍不確定，則需對a進(jìn)行討論．求形如的函數(shù)的值域，要先求出的值域，再結(jié)合的性質(zhì)確定出的值域．(2)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性令u=f(x)，x∈[m，n]，如果復(fù)合的兩個函數(shù)與的單調(diào)性相同，那么復(fù)合后的函數(shù)在[m，n]上是增函數(shù)；如果兩者的單調(diào)性相異(即一增一減)，那么復(fù)合函數(shù)在[m，n]上是減函數(shù)．(3)研究函數(shù)的奇偶性一是定義法，即首先是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后分析式子與f(?x)的關(guān)系，最后確定函數(shù)的奇偶性．二是圖象法，作出函數(shù)的圖象或從已知函數(shù)圖象觀察，若圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸對稱，則函數(shù)具有奇偶性．1．（2021·全國高三其他模擬）毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?，則一個新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天2．（2021·玉林市育才中學(xué)高三三模（文））函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在雙曲線上，則m-n的最大值為（）A．6 B．-2 C．1 D．43．（2021·全國高三其他模擬（文））___________.4．（2021·上海市青浦高級中學(xué)高三其他模擬）已知常數(shù)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、，若，則___1．（2021·湖南長沙市·雅禮中學(xué)高三其他模擬）已知，下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．（2021·浙江高三其他模擬）不等式“”成立是不等式成立“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2019·吉林高三其他模擬（文））設(shè)a＝21.2，b＝30.3，c＝40.5，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．（2021·山東濟(jì)南市·高三其他模擬）為了廣大人民群眾的食品健康，國家倡導(dǎo)農(nóng)戶種植綠色蔬菜．綠色蔬菜生產(chǎn)單位按照特定的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行生產(chǎn)，并要經(jīng)過專門機(jī)構(gòu)認(rèn)定，獲得許可使用綠色蔬菜商標(biāo)標(biāo)志資格．農(nóng)藥的安全殘留量是其很重要的一項指標(biāo)，安全殘留量是指某蔬菜使用農(nóng)藥后的殘留量達(dá)到可以免洗入口且對人體無害的殘留量標(biāo)準(zhǔn)．為了防止一種變異的蚜蟲，某農(nóng)科院研發(fā)了一種新的農(nóng)藥“蚜清三號”，經(jīng)過大量試驗，發(fā)現(xiàn)該農(nóng)藥的安全殘留量為0.001mg/kg，且該農(nóng)藥噴灑后會逐漸自動降解，其殘留按照y＝ae﹣x的函數(shù)關(guān)系降解，其中x的單位為小時，y的單位為mg/kg．該農(nóng)藥的噴灑濃度為2mg/kg，則該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少需要（）小時．（參考數(shù)據(jù)ln10≈2.3）A．5 B．6 C．7 D．85．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則（）A． B．C． D．6．（2021·江蘇南通市·高三二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．（2021·全國高三其他模擬（理））函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．8．（2021·湖南高三其他模擬）（多選題）若，則（）A． B． C． D．9．（2021·福建師大附中高三其他模擬）若（，為有理數(shù)），則______．10．（2021·廣東汕頭市·高三三模）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上，其中，，則mn的最大值為___________.11．（2021·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué)高三其他模擬）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________.12．（2021·湖南高三其他模擬）已知函數(shù)且)的圖像過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值的4倍，求實數(shù)的值.1．（2012·四川高考真題（理））函數(shù)的圖像可能是（）．A． B．C． D．2．（2016·全國高考真題（理））已知，，，則A． B．C． D．3．（2014·江西高考真題（文））已知函數(shù)f(x)=(a∈R)，若，則a=（）A． B． C．1 D．24．（2013·全國高考真題（文））若存在正數(shù)x使2x（x-a）＜1成立，則a的取值范圍是A．（-∞，+∞） B．(-2,+∞) C．(0,+∞) D．（-1，+∞）5．（2011·山東高考真題（理））若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為A．0 B． C．1 D．6．（2015·江蘇高考真題）不等式的解集為________.7．（2015·福建高考真題（文））若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實數(shù)的最小值等于_______．8．（2009·江蘇高考真題）已知，函數(shù)，若實數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系為____.9．（2008·湖北高考真題（理））已知函數(shù)，等差數(shù)列的公差為，若，則___________.10．（2008·上海高考真題（理））已知函數(shù).（1）若f(x)＝2，求x的值；（2）若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.1．【答案】C【分析】根據(jù)題意將當(dāng)時代入計算出，然后再代入計算即可求出結(jié)果.【詳解】解析：由題意知，當(dāng)時，有．即，得．所以當(dāng)時，有．即，得．所以．故選：C2．【答案】D【分析】令，求得，由點(diǎn)A在雙曲線上，得到，然后由“1”的代換，利用基本不等式求解.【詳解】令，解得，所以，因為點(diǎn)A在雙曲線上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以m-n的最大值為4故選：D3．【答案】【分析】利用指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算直接求出.【詳解】.故答案為：.4．【答案】；【分析】首先將點(diǎn)代入函數(shù)，并且變形為，，兩式相乘并結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】由條件可知，得①，得②①②得，，又，得.故答案為：1．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)，結(jié)合題意，可判斷A、B、D的正誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷C的正誤，即可得答案.【詳解】對于：構(gòu)造函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為減函數(shù)，又因為，則有，所以錯誤；對于：構(gòu)造函數(shù)，由于，則函數(shù)在上為增函數(shù)，又因為，則，所以B錯誤；對于C：，因為，所以，所以，所以，所以正確;對于D：，由于，所以，所以，所以錯誤；故選：C2．【答案】B【分析】利用充分條件和必要條件的定義求解即可【詳解】因為不等式的解為，所以“”成立是不等式成立“”的必要不充分條件，故選：B3．【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，找到中間量求解即可．【詳解】∵a＝21.2＞21＝2，∴a＞2，∵30＜b＝30.3＜30.5，∴1＜b＜，∵c＝40.5＝2，∴a＞c＞b，故選：D．4．【答案】D【分析】先由可得a的值，再根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則，解不等式2≤0.001，即可．【詳解】解：由題意知，當(dāng)x＝0時，y＝2，所以2＝a?e﹣0，解得a＝2，所以y＝2e﹣x，要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，則2e﹣x≤0.001，解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，因為ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），所以要使該農(nóng)藥噴灑后的殘留量要達(dá)到安全殘留量標(biāo)準(zhǔn)，至少需要8小時．故選：D．5．【答案】B【分析】令得到，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)和函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】令得，即，解得，由圖象知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故排除AD，當(dāng)時，易知是減函數(shù)，當(dāng)時，，，故排除C故選：B6．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件判定f(x)為偶函數(shù)，結(jié)合其單調(diào)性和特殊值，得到f(x)<13的解集，利用平移變換思想得到f(x-2)<13的解集.【詳解】依題意知為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以的解集為.將的圖象沿軸向右平移個單位長度后可得的圖象，所以不等式的解集為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解函數(shù)不等式問題，涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，為了求解關(guān)于f(x-a)的不等式常常可以先求相應(yīng)的關(guān)于f(x)的不等式，然后利用平移變換的方法得到所求不等式的解集.7．【答案】C【分析】先利用定義判斷函數(shù)的奇偶性，排除B選項；然后判斷時，，排除A，D選項．【詳解】，故為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，排除B選項；當(dāng)時，，，所以，且，故，排除A，D選項．故選：C.8．【答案】AD【分析】A．根據(jù)已知條件先分析函數(shù)的單調(diào)性，然后比較出的大?。籅．取，進(jìn)行判斷即可；C．取，進(jìn)行判斷即可；D．根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】A．設(shè)，因為可化為，則，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，因此在上單調(diào)遞增，所以，故正確；B．由A項得，當(dāng)，時，，，此時，故錯誤；C．由A項得，當(dāng)，時，，故錯誤；D．因為在上是減函數(shù)，由，可得，即，故正確；故選：AD.9．【答案】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則計算可得；【詳解】解：因為（，為有理數(shù)）所以故答案為：10．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，利用均值不等式即可求解.【詳解】解：函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)A，，點(diǎn)A在直線上，，又，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以mn的最大值為，故答案為：.11．【答案】(0，1)(2，)【分析】恒成立等價于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】∵，∴∵因此，即∴，即∵∴，即令，∴當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減∴解得故當(dāng)時，，則即當(dāng)時，在恒成立綜上：(0，1)(2，)故答案為：(0，1)(2，)【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.12．【答案】（1）（2）【分析】（1）代入點(diǎn)，即可求出a得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，利用最大值是最小值的4倍求m.【詳解】（1）因為函數(shù)且)的圖像過點(diǎn)，所以，解得，所以（2）由（1）知，所以函數(shù)為遞減函數(shù).故函數(shù)在區(qū)間上的最大值，最小值分別為，，所以，即，解得.1．【答案】D【詳解】試題分析：∵，∴，∴函數(shù)需向下平移個單位，不過（0,1）點(diǎn)，所以排除A，當(dāng)時，∴，所以排除B，當(dāng)時，∴，所以排除C，故選D.考點(diǎn)：函數(shù)圖象的平移.2．【答案】A【詳解】因為，，，因為冪函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，因為指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即b<a<c.故選：A.3．【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案【詳解】解：由題意得，所以，解得a=.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查分段函數(shù)求值問題，屬于基礎(chǔ)題4．【答案】D【詳解】由題意知，存在正數(shù)，使，所以，而函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以，故選D.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查不等式、分離參變量、函數(shù)的單調(diào)性等知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)