高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)56函數(shù)Y=ASINωXφ一課件新

5.6函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(一)【情境探究】問題1.φ對y=sin(x+φ)(x∈R)的圖象的影響觀察如圖所示的圖象,思考下面的問題:必備知識生成(1)比較函數(shù)y=sin與函數(shù)y=sinx的圖象的形狀和位置,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:兩圖象形狀完全相同,只是位置不同,函數(shù)y=sin,x∈R的圖象可看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度而得到.

(2)同樣比較函數(shù)y=sin與函數(shù)y=sinx的圖象,你有什么發(fā)現(xiàn)呢?提示:函數(shù)y=sin的圖象可看作是把正弦曲線y=sinx上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度而得到.

(3)推廣到一般,函數(shù)y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的?提示:y=sin(x+φ)的圖象可以由y=sinx的圖象通過左右平移得到.問題2.ω(ω>0)對y=sin(ωx+φ)的圖象的影響觀察下面的圖象,思考下面的問題:(1)比較函數(shù)y=sin與y=sin的圖象的形狀和位置,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:函數(shù)y=sin的圖象是由函數(shù)y=的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)不變而得到的.

(2)同樣比較函數(shù)y=sin與y=sin的圖象的形狀和位置,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:函數(shù)y=sin的圖象是由函數(shù)y=sin的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變得到的.

(3)推廣到一般,函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ≠0)的圖象是由y=sin(x+φ)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的?提示:y=sin(ωx+φ)的圖象可以由y=sin(x+φ)的圖象通過左右伸縮得到.問題3.A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響觀察下面函數(shù)的圖象,思考下面的問題:(1)比較函數(shù)y=sin與y=3sin的圖象的形狀和位置,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:函數(shù)y=3sin的圖象是由y=sin的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標(biāo)不變得到的.

(2)同樣比較函數(shù)y=與y=sin的圖象的形狀和位置,你有什么發(fā)現(xiàn)?提示:函數(shù)y=的圖象是由y=sin的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?橫坐標(biāo)不變得到的.

(3)推廣到一般,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象是由y=sin(ωx+φ)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的?提示:y=Asin(ωx+φ)的圖象可以由y=sin(ωx+φ)的圖象通過上下伸縮得到.【知識生成】1.平移變換函數(shù)y=sinx

2.橫向伸縮變換(周期變換)y=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)的圖象.3.縱向伸縮變換(振幅變換)函數(shù)y=sin(ωx+φ)關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一三角函數(shù)圖象的左右平移【典例1】(1)將函數(shù)y=sinx的圖象沿x軸向右平移π個(gè)單位長度,得到函數(shù)的解析式為 (

)A.y=sinx B.y=-sinxC.y=cosx D.y=-cosx(2)要得到正弦曲線,只要將余弦曲線 (

)A.向右平移個(gè)單位長度B.向左平移個(gè)單位長度C.向右平移個(gè)單位長度D.向左平移π個(gè)單位長度【思維導(dǎo)引】利用三角函數(shù)圖象左右平移的規(guī)律以及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式判斷.【解析】(1)選B.將函數(shù)y=sinx的圖象沿x軸向右平移π個(gè)單位長度,得到函數(shù)的解析式為y=sin(x-π)=-sinx.(2)選A.因?yàn)閟inx=cos,所以要得到正弦曲線,只要將余弦曲線向右平移個(gè)單位.

【類題通法】三角函數(shù)圖象的平移變換左右平移:已知φ>0,平移規(guī)律為“左加右減”,即:(1)若將函數(shù)y=sinx的圖象沿x軸向右平移φ個(gè)單位長度,得到函數(shù)的解析式為y=sin(x-φ).(2)若將函數(shù)y=sinx的圖象沿x軸向左平移φ個(gè)單位長度,得到函數(shù)的解析式為y=sin(x+φ).【定向訓(xùn)練】1.要得到函數(shù)y=cos的圖象,可由函數(shù)y=sin2x (

)A.向左平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向右平移個(gè)單位長度【解析】選A.函數(shù)y=sin2x,即y=

函數(shù)y=cos,即y=cos所以函數(shù)y=sin2x向左平移個(gè)單位長度可得y=cos2.若將函數(shù)f(x)=sin(0<ω<7)的圖象向右平移個(gè)單位長度后恰與f(x)的圖象重合,則ω的值是________.

【解題指南】將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度得y=sin的圖象,由已知條件只需滿足=2kπ,k∈Z,從而得到ω值.【解析】將函數(shù)f(x)=sin(ω>0,x∈R)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,可得y=sin的圖象.根據(jù)所得的圖象與原函數(shù)圖象重合,所以

=2kπ,k∈Z,即ω=6k,k∈Z,又0<ω<7,則ω=6.答案:6探究點(diǎn)二三角函數(shù)圖象的伸縮變換【典例2】(1)將函數(shù)y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)伸長到原來的三倍,得到函數(shù)圖象的解析式為 (

)A.y=3sin2x B.y=2sin3xC.y=3sinx D.y=sinx(2)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?所得到的圖象的函數(shù)解析式為________.

【思維導(dǎo)引】利用三角函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的伸縮變換規(guī)律求解.【解析】(1)選C.將函數(shù)y=f(x)=sinx的圖象的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,得到y(tǒng)=sinx,縱坐標(biāo)伸長到原來的三倍,得到y(tǒng)=3sinx.(2)將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?所得到圖象的函數(shù)的最小正周期是原來的一半,所以ω?cái)U(kuò)大到原來的2倍,所以所得函數(shù)解析式為y=sin2x.答案:y=sin2x

【類題通法】三角函數(shù)圖象的伸縮變換(1)橫向伸縮:已知ω>0,橫向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倒數(shù)”,即:若將函數(shù)y=sinx的圖象的橫坐標(biāo)伸長(或縮短)到原來的ω倍,得到函數(shù)的解析式為y=sinx.(2)縱向伸縮:已知A>0,縱向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倍數(shù)”,即:若將函數(shù)y=sinx的圖象的縱坐標(biāo)伸長(或縮短)到原來的A倍,得到函數(shù)的解析式為y=Asinx.【定向訓(xùn)練】把函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長度,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍,則所得函數(shù)的解析式為 (

)A.y=sin B.y=sinC.y=sin D.y=sin

【解析】選D.把函數(shù)y=sin的圖象向左平移個(gè)單位長度,可得y=sin的圖象,即函數(shù)解析式為y=sin再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍,可得y=sin的圖象.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如何由y=sinx的圖象得到函數(shù)y=3sin的圖象?【解析】

探究點(diǎn)三三角函數(shù)圖象的畫法與應(yīng)用【典例3】已知函數(shù)y=3sin+3(x∈R),用“五點(diǎn)法”畫出它在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.【思維導(dǎo)引】畫圖時(shí)把看成一個(gè)整體,分別取0,,π,,2π,畫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】令=Z,則函數(shù)y=3sin+3化為y=3sinZ+3,列表:描點(diǎn)畫圖:【延伸探究】在本例中,如何求函數(shù)y=3sin+3,x∈R的零點(diǎn)?【解析】方法一:由函數(shù)y=3sin+3的圖象可知,函數(shù)圖象的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為函數(shù)的零點(diǎn),即x=4kπ+,k∈Z為所求.方法二:由函數(shù)y=3sin+3=0,得sin=-1,由=2kπ+,k∈Z,解得x=4kπ+,k∈Z.所以函數(shù)的零點(diǎn)為x=4kπ+,k∈Z.

【類題通法】1.“五點(diǎn)法”作圖的實(shí)質(zhì)利用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象,實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)最值點(diǎn)畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象.2.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的步驟第一步:列表.第二步:在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn).第三步:用光滑曲線連接這些點(diǎn),形成圖象.提醒:三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律,體現(xiàn)了函數(shù)圖象的內(nèi)在聯(lián)系,作為畫三角函數(shù)的圖象的方法并不簡便,畫三角函數(shù)圖象的一般方法,還是運(yùn)用“五點(diǎn)畫圖法”.【定向訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)=sinx+sin,不畫圖,說明函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.【解析】f(x)=sinx+sinxcos+cosxsin=sinx+sinx+cosx=

sinx+

cosx

y=sinx橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?得y=sinx;然后y=sinx向左平移個(gè)單位長度,得f(x)=sin【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos3x的圖象 (

)A.向右平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向左平移個(gè)單位長度【解析】選B.y=sin3x+cos3x=可以將函數(shù)y=cos3x的圖象向右平移個(gè)單位長度即可.2.函數(shù)y=sin的圖象可由y=cos的圖象如何得到 (

)A.向左平移個(gè)單位長度B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度D.向右平移個(gè)單位長度【解析】選D.y=sin

即