橢圓人教A版數(shù)學(xué)選擇性教師

課題：橢圓知識點一、橢圓的定義1.第一定義：（1）文字形式：在平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡（或集合）叫橢圓．這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．（2）代數(shù)式形式：集合①若，則動點P的軌跡為橢圓；②若，則動點P的軌跡P為線段F1F2；③若，則動點P的軌跡P為空集．2.第二定義：（1）若動點P（x,y）和定點F（c,0）的距離與它到定直線:的距離的比是常數(shù)（0<c<a）,則動點P的軌跡是橢圓.（2）橢圓的標準方程：焦點在軸，；焦點在軸，．滿足條件：（3）離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）知識點二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程（）（）橫、縱坐標取值范圍，，頂點，，，軸長短軸長＝，長軸長＝短半軸長=a長半軸長=b焦點坐標焦距半焦距=c對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點【三對稱圖形】離心率，當(dāng)越接近1時，越接近，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，越接近0，橢圓越接近圓；知識點三：求橢圓標準方程常用結(jié)論1、與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為：2、有相同離心率：（，焦點在軸上）或（，焦點在軸上）3、橢圓的焦點位置不明確而無法確定其標準方程時，可設(shè)方程為，或者設(shè)為（A＞0，B＞0且A≠B），可以避免討論和繁雜的計算。知識點四：直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置關(guān)系：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于或的一元二次方程，其判別式為.①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點（或兩個公共點）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點（或一個公共點）；③直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．2、直線與橢圓的相交弦：直線與橢圓問題（韋達定理的運用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形：；（2）結(jié)論1：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標為，則的斜率為運用點差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故結(jié)論2：弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：（3）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，．求：的面積（用、、表示）．設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·①由橢圓定義知：②，則得故題型一：利用橢圓的定義與幾何性質(zhì)求值典型例題例題1．設(shè)是橢圓上任意一點，則m的取值范圍是_________．【答案】由題可知：例題2．直線與橢圓的位置關(guān)系是（）A．相離

B．相切

C．相交

D．無法確定【答案】C聯(lián)立，則所以直線與橢圓相交故選：C例題3．橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于A，B兩點．若，則的值為（）A．10

B．12

C．16

D．18【答案】B由題可知：|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=20，所以|AF1|+|BF1|=12故選：B例題4．若橢圓的離心率為，則（）A．3B．C．D．2【答案】D試題分析：由橢圓的離心率為，即，所以，所以，故選D．舉一反三1．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：由題意可知，所以橢圓方程為2．若點在橢圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)點與橢圓的位置關(guān)系即可求解.，所以故選：B.3．直線和曲線的位置關(guān)系為_____.【答案】相交【解析】曲線為：可得直線恒過，由知定點在橢圓內(nèi)部，所以直線與橢圓的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交.題型二：求橢圓的標準方程典型例題例題1．根據(jù)下列條件求橢圓的標準方程：（1）焦點在軸上，長軸長等于20，離心率等于；（2）焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍，且橢圓經(jīng)過點；（3）在軸上的一個焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直，且焦距為8.【答案】（1）（2）（3）（1）由題意知2a＝20，e＝，所以a＝10，c＝8，從而b＝6.又因為焦點在x軸上，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知焦點在y軸上，所以b＝3.又因為長軸長是短軸長的3倍，所以a＝9，從而橢圓的標準方程為；（3）設(shè)橢圓的標準方程為（a>b>0），短軸的兩頂點分別為A1，A2，則△A1FA2為等腰直角三角形，所以b＝c＝4，從而a2＝b2＋c2＝32，故所求橢圓的標準方程為.例題2．求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1），，焦點在y軸上；（2）與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點（3）經(jīng)過兩點【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由，，得，焦點在y軸上，其標準方程為．（2）橢圓的焦點坐標為，橢圓過點，，，橢圓的標準方程為．（3）設(shè)所求的橢圓方程為．把兩點代入，得，解得，橢圓方程為．舉一反三1．求適合下列條件的橢圓標準方程：（1）與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點；（2）經(jīng)過兩點．【答案】（1）；（2）【解析】（1）橢圓的焦點坐標為，因為橢圓過點，所以，所以，所以橢圓的標準方程為．（2）設(shè)所求的橢圓方程為．把兩點代入，得，解得，所以橢圓方程為．2．（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；（2）求離心率，焦點在x軸，且經(jīng)過點的雙曲線標準方程.【答案】（1）；（2）.（1）設(shè)橢圓的標準方程為.由題意知：；..所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)雙曲線的標準方程為.則所以雙曲線的標準方程為.題型三：利用橢圓的常見結(jié)論求離心率、標準方程等典型例題例題1．若橢圓的離心率為，則（）A．3B．C．D．2【答案】D試題分析：由橢圓的離心率為，即，所以，所以，故選D．例題2．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是（）A.B.C.D.【答案】D試題分析：由題意可知，所以橢圓方程為例題3．、是橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點，且∠，則Δ的面積為（）A.B.C.D.【答案】C試題分析：由題：，則：又：，∠,可得；，解得；，則：．例題4．橢圓的左?右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線l與E交于A，B兩點，若△ABF2的周長為12，則E的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為的周長為12，根據(jù)橢圓的定義可得，解得，則，所以，則橢圓的離心率為.故答案為：A.例題5．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故答案為：A例題6．設(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，P是橢圓上一點，，，則橢圓的離心率的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，令，則，，所以，所以，在中，，則由余弦定理得，所以，所以，令，由，可得，則，所以當(dāng)，即時，取得最小值，所以的最小值為。故答案為：A例題7．已知橢圓的左焦點為F，過原點O的直線l交橢圓C于點A，B，且，若，則橢圓C的離心率是.【答案】【解析】【解答】設(shè)右焦點為，連接，.因為，即，可得四邊形為矩形.在中，，.由橢圓的定義可得，所以，所以離心率.故答案為：.例題8．已知雙曲線方程，則以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．【答案】B設(shè)直線交雙曲線于點、，則，由已知得，兩式作差得，所以，，即直線的斜率為，故直線的斜率為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：B.例題9．已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)點，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A舉一反三1．若橢圓的短軸長是焦距的2倍，則C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得2b=2×2c，則b=2c，則，則.故答案為：C2．設(shè)橢圓（）的左、右焦點分別為，，是上的點，，，則的離心率為（）A．B．C．D．【答案】D試題分析：由題意得，設(shè)，因為，，所以，又，所以，所以橢圓的離心率為，故選D．3．已知橢圓上的點到左焦點的距離為3，為的中點，為坐標原點，則__________.【答案】試題分析：因為橢圓的實軸長為，所以，由橢圓的定義得，而是的中位線，所以.4．已知D是橢圓C：的上頂點，F(xiàn)是C的一個焦點，直線DF與橢圓C的另一個交點為點E，且，則C的離心率為【答案】【解析】由題意，，不妨設(shè)F是C的右焦點，所以，設(shè)，，則，因為，所以，，，解得，代入橢圓方程可得，即，所以。故答案為：。5．橢圓，則該橢圓所有斜率為的弦的中點的軌跡方程為_________________．【答案】設(shè)斜率為的直線方程為，與橢圓的交點為，設(shè)中點坐標為，則，所以，兩式相減可得，，即，由于在橢圓內(nèi)部，由得，所以時，即直線與橢圓相切，此時由解得或，所以，所求得軌跡方程為．故答案為：．6．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于，兩點且線段的中點為，則直線的斜率為________.【答案】解：由題意可得，整理可得，設(shè)，則，兩式相減可得，的中點為，，則直線斜率.故答案為：.題型四：求橢圓的離心率的取值范圍典型例題例題1．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點，若在其右準線上存在P，使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設(shè)出點的坐標，再由題目條件得到，利用兩點間的距離公式列出式子，借助化簡式子，得到關(guān)于離心率的式子，結(jié)合離心率的范圍解出不等式即可.【詳解】設(shè)點，因為線段的中垂線過點，所以，即，化簡得，因為，所以，即，所以，又因為，所以，解得.故選：D.例題2．已知橢圓的左，右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點（其中在第一象限），若四點都在一個圓上，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和圓的性質(zhì)得到以為直徑的圓與橢圓C有公共點，得到c和b的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義，得到關(guān)于的不等關(guān)系，求解即可得到答案．【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為c，半長軸為a,半短軸為b,由橢圓的中心對稱性和四點共圓，則四邊形為矩形，所以以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則，所以，故，故選∶C．例題3．設(shè)、是橢圓的左、右焦點，若橢圓外存在點使得，則橢圓的離心率的取值范圍______．【答案】設(shè)點，易知，，則，故點的軌跡為圓，由題意可知，圓與橢圓相交，由圖可知，即，可得，又因為，故．故答案為：．例題4．橢圓的左、右焦點分別是，斜率為的直線過左焦點且交于兩點，且的內(nèi)切圓的周長是，若橢圓的離心率為，則線段的長度的取值范圍是_________【答案】如圖示，由橢圓定義可得,則的周長為4a,設(shè)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，的內(nèi)切圓的周長是，故，由題意得，得，由于，故，所以由可得，故答案為：舉一反三1．已知點、為橢圓的長軸頂點，為橢圓上一點，若直線，的斜率之積的范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】A由題得：，所以故選：A．2．已知橢圓C：（）的左?右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．.【答案】B由題設(shè)，以線段為直徑的圓為，與直線相交，所以，可得，即，又，所以.故選：B3．已知，是橢圓C：的左、右焦點，O為坐標原點，點M是C上點（不在坐標軸上），點N是的中點，若MN平分，則橢圓C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A因為是的中點，是的中點，所以，因為平分，所以，因為，所以，，由（或），得橢圓的離心率，又，所以橢圓的離心率的取值范圍是．故選：A．4．設(shè)是橢圓的離心率，若，則的取值范圍是_________.【答案】解：當(dāng)時，，所以，所以.當(dāng)時，，所以，所以.所以的取值范圍是.故答案為：課后練習(xí)1．已知橢圓的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C解：因為橢圓的離心率為，所以，解得，則橢圓的離心率.故選：C.2．已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長與焦距之和為6，則橢圓的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意橢圓：的離心率為得，橢圓的長軸長與焦距之和為6，，解得，，則，所以橢圓的標準方程為：，故選D．3．已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，過作直線交于兩點，的周長為8，則的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為橢圓的焦點在軸上，設(shè)橢圓的方程，由的周長為，即，即，橢圓的標準方程為，故選D.4．過橢圓：右焦點的直線：交于，兩點，為的中點，且的斜率為，則橢圓的方程為（

）A．B．C．D．【答案】A依題意，焦點，即橢圓C的半焦距，設(shè)，，則有，兩式相減得：，而，且，即有，又直線的斜率，因此有，而，解得，經(jīng)驗證符合題意，所以橢圓的方程為.故選：A5．已知橢圓的一個頂點為，直線與橢圓交于兩點，若的左焦點為的重心，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B解：設(shè)，，，，橢圓的左焦點為，點，且橢圓左焦點恰為的重心，，，①，，兩式相減得：將①代入得：，即直線的斜率為，直線過中點，直線的方程為所以直線的方程為.故選：B6．將上各點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到曲線C，若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB中點坐標為M（1，），那么直線l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)點為曲線C上任一點，其在上對應(yīng)在的點為，則，得，所以，所以曲線C的方程為，設(shè)，則，兩方程相減整理得，因為AB中點坐標為M（1，），所以，即，所以，所以，所以直線l的方程為，即，故選：A7．已知橢圓，則以點為中點的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)弦的兩個端點分別為，，則，①﹣②得：，即，所以．故以點為中點的弦所在的直線方程為y，整理得：.故選：C.8．已知橢圓的左焦點為，過作一條傾斜角為的直線與橢圓交于兩點，若為線段的中點，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點，依題意，，相減得，因直線AB的傾斜角為，即直線AB的斜率為，又為線段的中點，則，，因此有，即，所以橢圓的離心率.故選：A9．已知直線與橢圓：（）相交于，兩點，且線段的中點在直線：上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將直線代入橢圓方程得，，即，設(shè)，，，，則，即中點的橫坐標是，縱坐標是，由于線段的中點在直線上，則，又，則，，即橢圓的離心率為.故選：A10．已知分別為橢圓的左?右焦點，是橢圓上兩點，線段經(jīng)過點，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得，結(jié)合勾股定理列方程，化簡求得橢圓的離心率.【詳解】依題意線段經(jīng)過點，且，設(shè)，則，，，在直角三角形中，有，整理得，解得或（舍去），所以，在直角三角形中，有，.故選：C11．已知橢圓，，分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點（）使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用結(jié)論建立不等式即可求解.【詳解】根據(jù)題意作圖如下：由圖可得：當(dāng)點P在橢圓的上（下）頂點處時，最大，要滿足橢圓C上存在點（）使得，則，∴，即：，整理得：，又，∴得到：，∴，∴橢圓離心率的取值范圍為，故選:B．12．已知橢圓，P是橢圓C上的點，是橢圓C的左右焦點，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)出點坐標后將用坐標表示，結(jié)合在橢圓上，將點坐標代入橢圓方程，二者聯(lián)立后化簡即可得出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡后得：，，，又因為橢圓離心率，.故選：A.13．橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當(dāng)時，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題干條件得到，表達出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點A?關(guān)于原點對稱，，，，則，，又，即，，由得