映射與函數(shù)課件

一、集合二、映射三、函數(shù)§1.1映射與函數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1.集合集合集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.

集合可用大寫的字母A,B,C,D等標(biāo)識.元素組成集合的事物稱為集合的元素.

集合的元素可用小寫的字母a,b,c,d等標(biāo)識.

a是集合M的元素記為a

M,讀作a屬于M.

a不是集合M的元素記為a

M,讀作a不屬于M.一、集合下頁集合的表示列舉法

把集合的全體元素一一列舉出來.

例如A

{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成,則M可表示為

M

{x|x具有性質(zhì)P}.

例如M

{(x,y)|x,y為實數(shù),x2

y2

1}.下頁幾個數(shù)集所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N,稱為自然數(shù)集.

所有實數(shù)構(gòu)成的集合記為R,稱為實數(shù)集.

所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z,稱為整數(shù)集.

所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q,稱為有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,則稱A是B的子集,記為A

B(讀作A包含于B).A

B

若x

A,則x

B.

顯然,N

Z,Z

Q,Q

R.下頁2.集合的運算

設(shè)A、B是兩個集合,則

A

B

{x|x

A或x

B}稱為A與B的并集(簡稱并).

A

B

{x|x

A且x

B}稱為A與B的交集(簡稱交).A?B

{x|x

A且x

B}稱為A與B的差集(簡稱差).AC

I?A

{x|x

A,x

I}為稱A的余集或補(bǔ)集,其中I為全集.提示:

如果研究某個問題限定在一個大的集合I中進(jìn)行,所研究的其他集合A都是I的子集.則稱集合I為全集或基本集.下頁集合運算的法則

設(shè)A、B、C為任意三個集合,則有

(1)交換律A

B

B

A,

A

B

B

A;(2)結(jié)合律(A

B)

C

A

(B

C),(A

B)

C

A

(B

C);(3)分配律(A

B)

C

(A

C)

(B

C),(A

B)

C

(A

C)

(B

C);(4)對偶律(A

B)C

AC

BC,(A

B)C

AC

BC.(A

B)C

AC

BC的證明下頁所以(A

B)C

AC

BC.

x

AC

BC,

x

AC且x

BC

x

A

B

x

A且x

B

x

(A

B)C直積(笛卡兒乘積)

設(shè)A、B是任意兩個集合,則有序?qū)?/p>

A

B

{(x,y)|x

A且y

B}稱為集合A與集合B的直積.

例如,R

R

{(x,y)|x

R且y

R}即為xOy面上全體點的集合,R

R常記作R2.

下頁

數(shù)集{x|a<x<b}稱為開區(qū)間,記為(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.

[a,b]={x|a

x

b}——閉區(qū)間.

[a,b)={x|a

x<b}——半開區(qū)間,(a,b]={x|a<x

b}——半開區(qū)間.有限區(qū)間

上述區(qū)間都是有限區(qū)間,其中a和b稱為區(qū)間的端點,b-a稱為區(qū)間的長度.下頁3.區(qū)間和鄰域

(-

,b]={x|x

b},

(-

,+

)={x||x|<+

}.

[a,+

)={x|a

x},無限區(qū)間

(-

,b)={x|x<b},

(a,+

)={x|a<x},下頁3.區(qū)間和鄰域鄰域以點a為中心的任何開區(qū)間稱為點a的鄰域,記作U(a).

設(shè)

>0,則稱

U(a,

)=(a-

,a+

)={x||x-a|<

}為點a的

鄰域,其中點a稱為鄰域的中心,

稱為鄰域的半徑.去心鄰域U(a,

)={x|0<|x-a|<

}.。首頁二、映射1.映射的概念

設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:X

Y.

定義

y稱為元素x(在映射f下)的像,并記作f(x),即y

f(x),X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f的值域,記為Rf,或f(X),即

Rf

f(X)

{f(x)|x

X}.元素x稱為元素y(在映射f下)的一個原像;集合X稱為映射f的定義域,記作Df,即Df

X.下頁二、映射1.映射的概念

設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:X

Y.

定義(1)構(gòu)成一個映射必須具備以下三個要素:集合X,即定義域Df

X;集合Y,即值域的范圍:Rf

Y;對應(yīng)法則f,使對每個x

X,有唯一確定的y

f(x)與之對應(yīng).需要注意的問題下頁二、映射1.映射的概念

設(shè)X、Y是兩個非空集合,如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記作

f:X

Y.

定義需要注意的問題(2)對每個x

X,元素x的像y是唯一的;而對每個y

Rf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一個子集,即Rf

Y,不一定Rf

Y.下頁說明:Rf

是R的一個真子集.

對于Rf中的元素y,除y

0外,它的原像不是唯一的.如y

4的原像就有x

2和x

2兩個.

例1

設(shè)f:R

R,對每個x

R,f(x)

x2.

f是一個映射,f的定義域Df

R,值域Rf

{y|y

0}.

例2設(shè)X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,對每個(x,y)

X,有唯一確定的(x,0)

Y與之對應(yīng).

f是一個映射,f的定義域Df

X,值域Rf

Y.說明:

在幾何上,這個映射表示將平面上一個圓心在原點的單位圓周上的點投影到x軸的區(qū)間[

1,1]上.下頁

例1

設(shè)f:R

R,對每個x

R,f(x)

x2.

f是一個映射,f的定義域Df

R,值域Rf

{y|y

0}.

例2設(shè)X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,對每個(x,y)

X,有唯一確定的(x,0)

Y與之對應(yīng).

f是一個映射,f的定義域Df

X,值域Rf

Y.

例3

f(x)

sinx.下頁滿射、單射和雙射設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y(jié)上的滿射;若對X中任意兩個不同元素x1

x2,它們的像f(x1)

f(x2),則稱f為X到Y(jié)的單射;若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射).討論:

下述三個映射各是什么映射？

(1)f:R

R,對每個x

R,f(x)

x2.(2)設(shè)X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,對每個(x,y)

X,有唯一確定的(x,0)

Y與之對應(yīng).下頁滿射、單射和雙射設(shè)f是從集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射;若對X中任意兩個不同元素x1

x2,它們的像f(x1)

f(x2),則稱f為X到Y(jié)的單射;若映射f既是單射,又是滿射,則稱f為一一映射(或雙射).討論:

下述三個映射各是什么映射？下頁說明:

記號f和f(x)的區(qū)別:前者表示自變量x和因變量y之間的對應(yīng)法則,而后者表示與自變量x對應(yīng)的函數(shù)值.說明:

為了敘述方便,常用記號“f(x),x

D”或“y

f(x),x

D”來表示定義在D上的函數(shù),這時應(yīng)理解為由它所確定的函數(shù)f.說明:

函數(shù)的記號是可以任意選取的,除了用f外,還可用“g”、“F”、“

”等,此時函數(shù)就記作y

g(x)、y

F(x)、y

(x)等.

但在同一問題中,不同的函數(shù)應(yīng)選用不同的記號.

三、函數(shù)

稱映射f:A

B為定義在A上的函數(shù),若B為數(shù)集.通常簡記為

y

f(x),x

A,其中x稱為自變量,y稱為因變量,A稱為定義域,記為Df.1.函數(shù)概念定義下頁

構(gòu)成函數(shù)的要素是定義域Df及對應(yīng)法則f.

如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.函數(shù)的兩要素

函數(shù)的定義域通常按以下兩種情形來確定:

對有實際背景的函數(shù),根據(jù)實際背景中變量的實際意義確定.函數(shù)的定義域

對抽象地用算式表達(dá)的函數(shù),其定義域是使得算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域稱為函數(shù)的自然定義域.求函數(shù)的定義域舉例>>>下頁單值函數(shù)與多值函數(shù)在函數(shù)的定義中,對每個x

D,對應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的,這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù).

如果給定一個對應(yīng)法則,按這個法則,對每個x

D,總有確定的y值與之對應(yīng),但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數(shù).

例如,由方程x2

y2

r2確定的函數(shù)是一個多值函數(shù):下頁

此多值函數(shù)附加條件“y

0”后可得到一個單值分支下頁

表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).

用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念,坐標(biāo)平面上的點集

{P(x,y)|y

f(x),x

D}稱為函數(shù)y

f(x),x

D的圖形.函數(shù)的表示法

此函數(shù)稱為絕對值函數(shù),其定義域為D=(-

,+

),其值域為Rf

=[0,+

).

例5

例4

函數(shù)y=2.

這是一個常值函數(shù),其定義域為D=(-

,

+

),其值域為Rf

={2}.下頁函數(shù)舉例

此函數(shù)稱為符號函數(shù),其定義域為D=(-

,+

),其值域為Rf

={-1,0,1}.

例7

函數(shù)y=[x].

例6

下頁注:

設(shè)x為任上實數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分,記作[x].

此函數(shù)稱為取整函數(shù),其定義域為D=(-

,+

),其值域為Rf

=Z.

例8

此函數(shù)的定義域為D=[0,1]

(0,+

)=[0,+

).

f(3)=1+3=4.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù).下頁

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,數(shù)集X

D.

如果存在數(shù)K1,使對任一x

X,有f(x)

K1,則稱函數(shù)f(x)在X上有上界.(1)函數(shù)的有界性

如果存在數(shù)K2,使對任一x

X,有f(x)

K2,則稱函數(shù)f(x)在X上有下界.

如果存在正數(shù)M,使對任一x

X,有|f(x)|

M,則稱函數(shù)f(x)在X上有界;如果這樣的M不存在,則稱函數(shù)f(x)在X上無界.下頁2.函數(shù)的幾種特性

f(x)=sinx在(-

,+

)上是有界的:

|sinx|

1.所以函數(shù)無上界.下頁函數(shù)的有界性舉例有界函數(shù)的和、差、積都是有界函數(shù).

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義,

x1及x2為區(qū)間I上任意兩點,

且x1<x2.

如果恒有f(x1)≤f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)遞增的.(2)函數(shù)的單調(diào)性

如果恒有f(x1)≥f(x2),則稱f(x)在I上是單調(diào)遞減的.

單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).

下頁

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)舉例

y=x2,

y=cosx都是偶函數(shù).

y=x3,

y=sinx都是奇函數(shù).下頁奇函數(shù)的圖形對稱于原點偶函數(shù)的圖形對稱于y軸奇偶函數(shù)的圖形特點下頁

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱,

如果在D上有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函數(shù).

如果在D上有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)的性質(zhì)

（1）兩個奇函數(shù)的和為奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)的和為偶函數(shù).（2）兩個奇函數(shù)或兩個偶函數(shù)的積為偶函數(shù).（3）奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．下頁(4)函數(shù)的周期性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.如果存在一個非零的正數(shù)T,使得對于任一x

D,有(x+T)

D,且f(x+T)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù),T稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點下頁下頁3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

例如,函數(shù)y

x3,x

R是單射,所以它的反函數(shù)存在,其反函數(shù)為

函數(shù)y

x3,x

R的反函數(shù)是提問:下列結(jié)論是否正確？3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).

若f是定義在D上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),則f:D

f(D)是單射,于是f的反函數(shù)f

1必定存在,而且容易證明f

1也是f(D)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).下頁

相對于反函數(shù)y

f

1(x)來說,原來的函數(shù)y

f(x)稱為直接函數(shù).

函數(shù)y

f(x)和y

f

1(x)的圖形關(guān)于直線y

x是對稱的.3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)f:D

f(D)是單射,則它存在逆映射

f

1:f(D)

D,稱此映射f

1為函數(shù)f的反函數(shù).

按習(xí)慣,y

f(x),x

D的反函數(shù)記成y

f

1(x),x

f(D).下頁3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

設(shè)函數(shù)y

f(u)的定義域為D1,函數(shù)u

g(x)在D上有定義,且g(D)

D1,則由

y

f[g(x)],x

D確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u

g(x)和函數(shù)y

f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.復(fù)合函數(shù)

函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f

o

g,即

(f

o

g)(x)

f[g(x)].說明:g與f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f

o

g的條件是:是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f的定義域Df內(nèi),即g(D)

Df.否則,不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).

例如>>>下頁4.函數(shù)的運算

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D

D1

D2

,則可以定義這兩個函數(shù)的下列運算:

和(差)f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;

積f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;下頁

例9

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(

l,l),證明必存在(

l,l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x),使得f(x)

g(x)

h(x).提示:

如果f(x)

g(x)

h(x),則f(

x)

g(x)

h(x),于是

證

則f(x)

g(x)

h(x),且下頁基本初等函數(shù)常函數(shù):y

C(C為常數(shù));

冪函數(shù):y

x

(

R是常數(shù));