概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習(xí)題答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章課后習(xí)題答案PAGEPAGE17習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XXY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1）常數(shù)A；（2）隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.【解】（1）由得A=12（2）由定義，有(3)5.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）確定常數(shù)k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.【解】（1）由性質(zhì)有故（2）(3)(4)題5圖6.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1）X與Y的聯(lián)合分布密度；（2）P{Y≤X}.題6圖10.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)11.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.題11圖【解】所以12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1）求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2）X與Y是否相互獨立？【解】（1）X與Y的聯(lián)合分布律如下表YYX345120300(2)因故X與Y不獨立13.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨立.14.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.【解】（1）因故題14圖(2)方程有實根的條件是故X2≥Y，從而方程有實根的概率為：15.設(shè)X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設(shè)X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1)當(dāng)z≤0時，（2）當(dāng)0<z<1時，（這時當(dāng)x=1000時,y=）(如圖a)題15圖(3)當(dāng)z≥1時，（這時當(dāng)y=103時，x=103z）（如圖b）即故16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，202）分布.隨機地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則Xi~N（160，202），從而17.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….證明隨機變量Z=X+Y的分布律為P{Z=i}=，i=0，1，2，….【證明】因X和Y所有可能值都是非負整數(shù)，所以于是18.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，…，2n.方法二：設(shè)μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服從兩點分布（參數(shù)為p），則X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項分布.19.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布律為XXY012345012300.010.030.050.070.090.010.020.040.050.060.080.010.030.050.050.050.060.010.020.040.060.060.05(1)求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.【解】（1）（2）所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3)于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）設(shè)M=max{X，Y}，求P{M＞0}.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1）(2)21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX123.設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布.【解】(1).(2)24.設(shè)隨機變量X和Y獨立，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為由于X和Y獨立，可見由此，得U的概率密度為25.25.設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}.解：因為隨即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有因為X，Y相互獨立，所以推得.26.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率分布為XXY101101a00.20.1b0.200.1其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}.解(1)由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由，可得.再由,得.解以上關(guān)于a，b，c的三個方程得.(2)Z的可能取值為2，1，0，1，2，，，，，，即Z的概率分布為Z21012P0.20.10.30.30.1(3).習(xí)題四1.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)2.已知100個產(chǎn)品中有10個次品，求任意取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故3.設(shè)隨機變量X的分布律為X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因……①,又……②,……③由①②③聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球為白球的概率是多少？【解】記A={從袋中任取1球為白球}，則5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)(2)7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)(2)8.設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性，得方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機變量X，Y的概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】從而(1)(2)11.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求（1）系數(shù)c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由得.(2)(3)故12.袋中有12個零件，其中9個合格品，3個廢品.安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機變量X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個值：100元和200元故(元).14.設(shè)X1，X2，…，Xn是相互獨立的隨機變量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，記，S2=.（1）驗證=μ，=；（2）驗證S2=；（3）驗證E（S2）=σ2.【證】(1)(2)因故.(3)因,故同理因,故.從而15.對隨機變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,計算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解】(因常數(shù)與任一隨機變量獨立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】設(shè).同理E(Y)=0.而,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨立性，當(dāng)|x|≤1時，當(dāng)|y|≤1時，.顯然故X和Y不是相互獨立的.17.設(shè)隨機變量（X，Y）的分布律為XXY1011011/81/81/81/801/81/81/81/8驗證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X101PY101PXY101P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨立的.18.設(shè)二維隨機變量（