專題21 二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與特殊三角形問題）（解析版）

專題21二次函數(shù)與幾何圖形綜合題（與特殊三角形問題）1．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，，與軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)已知為拋物線上一點，為拋物線對稱軸上一點，以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，求出點的坐標(biāo)；【答案】(1)；(2)或或；(3)，理由見解析【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求得拋物線的對稱軸為直線，設(shè)與交于點，過點作于點，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當(dāng)點F在x軸下方時的坐標(biāo)；當(dāng)點與點重合時，求得另一個解，進(jìn)而即可求解；【詳解】（1）解：將點，，代入得解得：，∴拋物線解析式為；（2）∵點，，∴拋物線的對稱軸為直線：，如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或,∴，如圖所示，設(shè)與交于點，過點作于點

∵以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形，且，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵點在拋物線上∴解得：（舍去）或，∴，當(dāng)點與點重合時，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，∴此時，綜上所述，或或；【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點的直線交于點，與軸交于點．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線上是否存在點，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點M的坐標(biāo)為或或；【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出點D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標(biāo)；②當(dāng)時，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點M的坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，∴，將代入直線，得，解得，∴直線的解析式為；將代入，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）存在點，∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點．∴當(dāng)時，，∴，①當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將點A坐標(biāo)代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，得或，∴點M的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，設(shè)直線的解析式為，將代入，得，解得，∴直線的解析式為，解方程組，解得或，∴點M的坐標(biāo)為或綜上，點M的坐標(biāo)為或或；【點睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點坐標(biāo)，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．3.（2022·山東濱州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，連接．(1)求線段AC的長；(2)若點Р為該拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)；(3)若點M為該拋物線上的一個動點，當(dāng)為直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長；（2）求出對稱軸為x=1，設(shè)P（1，t），用t表示出PA2和PC2的長度，列出等式求解即可；（3）設(shè)點M（m,m2-2m-3），分情況討論，當(dāng)，，分別列出等式求解即可．(1)與x軸交點：令y=0，解得，即A（-1，0），B（3，0），與y軸交點：令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴;(2)拋物線的對稱軸為：x=1，設(shè)P（1，t），∴，，∴∴t=-1，∴P（1，-1）；(3)設(shè)點M（m,m2-2m-3），，，,①當(dāng)時，，解得，（舍），，∴M（1，-4）；②當(dāng)時，，解得，，（舍），∴M（-2，5）；③當(dāng)時，，解得，，∴M或；綜上所述：滿足條件的M為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點、線段求值、存在直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)點是直線下方拋物線上一動點，過點作于點，求的最大值及此時點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個單位，點為點的對應(yīng)點，平移后的拋物線與軸交于點，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點的坐標(biāo)，并把求其中一個點的坐標(biāo)的過程寫出來．【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點的坐標(biāo)為或或【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）直線的解析式為，過點作軸于點，交于點，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．【詳解】（1）解：將點，．代入得，解得：，∴拋物線解析式為：，（2）∵與軸交于點，，當(dāng)時，解得：，∴,∵．設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，如圖所示，過點作軸于點，交于點，

設(shè)，則，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，取得最大值為，，∴；（3）∵拋物線將該拋物線向右平移個單位，得到，對稱軸為直線，點向右平移5個單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點，令，則，∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點．則點的橫坐標(biāo)為，設(shè)，∴，，當(dāng)時，，解得：或，當(dāng)時，，解得：綜上所述，點的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線與軸交于和兩點，與軸交于點．直線過拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)若直線與拋物線交于點，與直線交于點．①當(dāng)取得最大值時，求的值和的最大值；②當(dāng)是等腰三角形時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)①當(dāng)時，有最大值，最大值為；②或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，則，進(jìn)一步求出，由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案；②設(shè)直線與x軸交于H，先證明是等腰直角三角形，得到；再分如圖3-1所示，當(dāng)時，如圖3-2所示，當(dāng)時，如圖3-3所示，當(dāng)時，三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于和兩點，∴拋物線對稱軸為直線，在中，當(dāng)時，，∴拋物線頂點P的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為（2）解：①∵拋物線解析式為，點C是拋物線與y軸的交點，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵直線與拋物線交于點，與直線交于點∴，∴，∵，∴當(dāng)時，有最大值，最大值為；②設(shè)直線與x軸交于H，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴；如圖3-1所示，當(dāng)時，過點C作于G，則∴點G為的中點，由（2）得，∴，∴，解得或（舍去），∴；如圖3-2所示，當(dāng)時，則是等腰直角三角形，∴，即，∴點E的縱坐標(biāo)為5，∴，解得或（舍去），∴如圖3-3所示，當(dāng)時，過點C作于G，同理可證是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，解得或（舍去），∴，，∴，∴綜上所述，點E的坐標(biāo)為或或【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷，一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．6.(2022·四川省遂寧市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標(biāo)為（-1，0），點C的坐標(biāo)為（0，-3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，E為△ABC邊AB上的一動點，F(xiàn)為BC邊上的一動點，D點坐標(biāo)為（0，-2），求△DEF周長的最小值；

（3）如圖2，N為射線CB上的一點，M是拋物線上的一點，M、N均在第一象限內(nèi)，B、N位于直線AM的同側(cè)，若M到x軸的距離為d，△AMN面積為2d，當(dāng)△AMN為等腰三角形時，求點N的坐標(biāo)．【解析】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），點C（0，-3）．

∴1-b+c=0c=-3，

∴b=-2c=-3，

∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3；

（2）如圖，設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點，D2為D關(guān)于ZX直線BC的對稱點，連接D1E，D2F，D1D2．

由對稱性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周長=D1E+EF+D2F，

∴當(dāng)D1，E．F．D2共線時，△DEF的周長最小，最小值為D1D2的長，

令y=0，則x2-2x-3=0，

解得x=-1或3，

∴B（3，0），

∴OB=OC=3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），

∴D2（1，-3），

∵D，D1關(guān)于x軸的長，

∴D1（0，2），

∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，

∴△DEF的周長的最小值為26．

（3）∵M(jìn)到x軸距離為d，AB=4，連接BM．

∴S△ABM=2d，

又∵S△AMN=2d，

∴S△ABM=S△AMN，

∴B，N到AM的距離相等，

∵B，N在AM的同側(cè)，

∴AM∥BN，

設(shè)直線BN的解析式為y=kx+m，

則有m=-33k+m=0，

∴k=1m=-3，

∴直線BC的解析式為y=x-3，

∴設(shè)直線AM的解析式為y=x+n，

∵A（-1，0），

∴直線AM的解析式為y=x+1，

由y=x+1y=x2-2x-3，解得x=1y=0或x=4y=5，

∴M（4，5），

∵點N在射線BC上，

∴設(shè)N（t，t-3），

過點M作x軸的平行線l，過點N作y軸的平行線交x軸于點P，交直線l于點Q．

∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），

∴AM=52，AN=(t+1)2+(t-3)2，MN=(t-4)2+(t-8)2，

∵△AMN是等腰三角形，

當(dāng)AM=AN時，52=(t+1)2+(t-3)2，

解得t=1±21，

當(dāng)AM=MN時，52=(t-4)2+(t-8)2，

解得t=6±21，

當(dāng)AN=MN時，(t+1)2+(t-3)2=(t-4)2+(t-8)7．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．【答案】(1)；(2)或；【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進(jìn)而得出頂點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性，即可求解．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，，則拋物線．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時，此情況不存在．【詳解】（1）∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)．∵，點和點關(guān)于直線對稱．∴．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，∴，拋物線．∴當(dāng)時，可得．①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直線軸，∴．∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵當(dāng)時，可得，此時重合，舍去．當(dāng)時，符合題意．將代入，得．

②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵，∴．此時符合題意．將代入，得．③當(dāng)時，此情況不存在．綜上，所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊三角形問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，面積問題，分類討論是解題的關(guān)鍵．8．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標(biāo)；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，的最大值為，；(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進(jìn)而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當(dāng)時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的對稱軸為直線，設(shè)，，，，，，解得：，；設(shè)直線的解析式為，則有，解得，直線解析式為，，且經(jīng)過，直線解析式為，當(dāng)時，，

；綜上所述：存在，的坐標(biāo)為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)中動點最值問題，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出動點坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．9.（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點，其中點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，連接、．動點從點出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點做勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點做勻速運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動，連接，設(shè)運動時間為秒．（1）求、的值；（2）在、運動的過程中，當(dāng)為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？（3）在線段上方的拋物線上是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值為4；（3）（，）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點P作PE⊥x軸，垂足為E，利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積，求出t的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（3）畫出圖形，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A（3，0），B（-1，0），則，解得：；（2）由（1）得：拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），∴△OAC是等腰直角三角形，由點P的運動可知：AP=，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，∴AE=PE==t，即E（3-t，0），又Q（-1+t，0），∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點隨之停止運動，AC=，AB=4，∴0≤t≤3，∴當(dāng)t==2時，四邊形BCPQ的面積最小，即為=4；（3）∵點M是線段AC上方的拋物線上的點，如圖，過點P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，，∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=或（舍），∴M點的坐標(biāo)為（，）．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．10.（2021·江蘇中考真題）如圖，拋物線與軸交于A(-1，0)，B(4，0)，與軸交于點C．連接AC，BC，點P在拋物線上運動．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，當(dāng)∠CAQ=∠CBA45°時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F，過點P作軸的垂線交BC于點H，當(dāng)△PFH為等腰三角形時，求線段PH的長．

【答案】（1）；（2）（6，-7）；（3）PH=或1.5或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；（2）求得點C的坐標(biāo)后先利用勾股定理的逆定理判斷∠ACB=90°，繼而可得∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，易得△OCE是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，進(jìn)一步可推出∠ACE=∠CAQ，可得CE∥PQ，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的解析式，再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求解即可；（3）設(shè)直線AP交y軸于點G，如圖，由題意可得若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，設(shè)G（0，m），求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點F的坐標(biāo)，然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進(jìn)而可求出點P的坐標(biāo)，于是問題可求解．【詳解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入，得，解得：，∴拋物線的解析式是；（2）令x=0，則y=2，即C（0，2），∵，，AB2=25，∴，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA，在x軸上取點E（2，0），連接CE，如圖，則CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ，∴CE∥PQ，∵C（0，2），E（2，0），∴直線CE的解析式為y=-x+2，設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+n，把點A（-1，0）代入，可得n=-1，∴直線PQ的解析式為y=-x-1，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（6，-7）；（3）設(shè)直線AP交y軸于點G，如圖，∵PH∥y軸，∴∠PHC=∠OCB，∠FPH=∠CGF，∴若△PFH為等腰三角形，則△CFG也為等腰三角形，∵C（0，2），B（4，0），∴直線BC的解析式為，設(shè)G（0，m），∵A（-1，0），∴直線AF的解析式為y=mx+m，解方程組，得，∴點F的坐標(biāo)是，∴，當(dāng)CG=CF時，，解得：（舍去負(fù)值），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（，），此時點H的坐標(biāo)是（，），∴PH=；當(dāng)FG=FC時，，解得m=或m=（舍）或m=2（舍），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（3，2），此時點H的坐標(biāo)是（3，），∴PH=2-=1.5；當(dāng)GF=GC時，，解得或m=2（舍去），此時直線AF的解析式為y=x+，解方程組，得或，∴點P的坐標(biāo)是（，），此時點H的坐標(biāo)是（，），∴PH=；綜上，PH=或1.5或．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有相當(dāng)?shù)碾y度，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．11.（2021·湖北中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點的坐標(biāo)為．

（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖1，若點在拋物線上且滿足，求點的坐標(biāo)；（3）如圖2，是直線上一個動點，過點作軸交拋物線于點，是直線上一個動點，當(dāng)為等腰直角三角形時，直接寫出此時點及其對應(yīng)點的坐標(biāo)【答案】（1）；（2），；（3），；，；，；，；，；，．【分析】（1）由和，且D為頂點列方程求出a、b、c，即可求得解析式；（2）分兩種情況討論：①過點作，交拋物線于點，②在下方作交于點，交拋物線于；（3）為等腰直角三角形，分三種情況討論：當(dāng)；②當(dāng)；③當(dāng)．【詳解】解：（1）將和代入得又∵頂點的坐標(biāo)為∴∴解得∴拋物線的解析式為：．（2）∵和∴直線的解析式為：∵拋物線的解析式為：，拋物線與軸交于點，與軸交于點和點，則C點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為．①過點作，交拋物線于點，則直線的解析式為，結(jié)合拋物線可知，解得：（舍），，故．②過點作軸平行線，過點作軸平行線交于點，由可知四邊形為正方形，∵直線的解析式為∴與軸交于點，在下方作交于點，交拋物線于∴又∵OC=CG，∴≌，∴，，又由可得直線的解析式為，結(jié)合拋物線可知，解得（舍），，故．綜上所述，符合條件的點坐標(biāo)為：，．（3）∵，∴直線的解析式為設(shè)M的坐標(biāo)為，則N的坐標(biāo)為∴∵，∴直線的解析式為∵為等腰直角三角形∴①當(dāng)時，如下圖所示則Q點的坐標(biāo)為∴∴解得：（舍去），，∴此時，；，；②當(dāng)時，如下圖所示則Q點的坐標(biāo)為∴∴解得：（舍去），，∴此時，；，；③當(dāng)時，如圖所示則Q點縱坐標(biāo)為∴Q點的坐標(biāo)為∴Q點到MN的距離=∴（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）解得：（舍去），，∴此時，；，．綜上所述，點及其對應(yīng)點的坐標(biāo)為：，；，；，；，；，；，．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形．該題綜合性較強，屬于中考壓軸題．12.（2021·湖南中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點為“雁點”．例如……都是“雁點”．（1）求函數(shù)圖象上的“雁點”坐標(biāo)；（2）若拋物線上有且只有一個“雁點”E，該拋物線與x軸交于M、N兩點（點M在點N的左側(cè)）．當(dāng)時．①求c的取值范圍；②求的度數(shù)；（3）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），P是拋物線上一點，連接，以點P為直角頂點，構(gòu)造等腰，是否存在點P，使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）和；（2）①；②45°；（3）存在，P點坐標(biāo)為或或【分析】（1）根據(jù)“雁點”的定義可得y=x，再聯(lián)立求出“雁點”坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)和y=x可得，再利用根的判別式得到，再求出a的取值范圍；將點c代入解析式求出點E的坐標(biāo)，令y=0，求出M的坐標(biāo)，過E點向x軸作垂線，垂足為H點，如圖所示，根據(jù)EH=MH得出為等腰直角三角形，∠EMN的度數(shù)即可求解；（3）存在，根據(jù)圖1，圖2，圖3進(jìn)行分類討論，設(shè)C（m，m），P（x，y），根據(jù)三角形全等得出邊相等的關(guān)系，再逐步求解，代入解析式得出點P的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）聯(lián)立，解得或即：函數(shù)上的雁點坐標(biāo)為和．（2）①聯(lián)立得∵這樣的雁點E只有一個，即該一元二次方程有兩個相等的實根，∴∵∵∴②將代入，得解得，∴對于，令有解得∴過E點向x軸作垂線，垂足為H點，EH=，MH=∴∴為等腰直角三角形，（3）存在，理由如下：如圖所示：過P作直線l垂直于x軸于點k，過C作CH⊥PK于點H設(shè)C（m，m），P（x，y）∵△CPB為等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP≌△PKB，∴CH=PK，HP=KB，即∴當(dāng)時，∴如圖2所示，同理可得：△KCP≌△JPB∴KP=JB，KC=JP設(shè)P（x，y），C（m，m）∴KP=x-m，KC=y-m，JB=y，JP=3-x，即解得令解得∴或如圖3所示，∵△RCP≌△TPB∴RC=TP，RP=TB設(shè)P（x，y），C（m，m）即解得令解得∴此時P與第②種情況重合綜上所述，符合題意P的坐標(biāo)為或或【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圖形與坐標(biāo)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合運用，理解題意和正確作圖逐步求解是解題的關(guān)鍵．13.（2021·湖南中考真題）如圖所示，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且，，，拋物線的對稱軸與直線BC交于點M，與x軸交于點N．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P是對稱軸上的一個動點，是否存在以P、C、M為頂點的三角形與相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．（3）D為CO的中點，一個動點G從D點出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．要使動點G走過的路程最短，請找出點E、F的位置，寫出坐標(biāo)，并求出最短路程．（4）點Q是拋物線上位于x軸上方的一點，點R在x軸上，是否存在以點Q為直角頂點的等腰？若存在，求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

【答案】（1）；（2）存在，或；（3）點，最短路程為，理由見詳解；（4）存在，當(dāng)以點Q為直角頂點的等腰時，點或，理由見詳解．【分析】（1）由題意易得，然后設(shè)二次函數(shù)的解析式為，進(jìn)而代入求解即可；（2）由題意易得，要使以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，則可分①當(dāng)時，②當(dāng)時，進(jìn)而分類求解即可；（3）由題意可得作點D關(guān)于x軸的對稱點H，作點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點I，然后連接HI，分別與x軸、拋物線的對稱軸交于點E、F，此時的點E、F即為所求，HI即為動點G所走過的最短路程，最后求解即可；（4）由題意可分①當(dāng)點Q在第二象限時，存在等腰，②當(dāng)點Q在第一象限時，存在等腰，然后利用“k型”進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵，，，∴，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，代入點C的坐標(biāo)可得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，即為；（2）存在以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，理由如下：由（1）可得拋物線的解析式為，則有對稱軸為直線，設(shè)直線BC的解析式為，代入點B、C坐標(biāo)可得：，解得：，∴直線BC的解析式為，∴點，，∴由兩點距離公式可得，若使以點P、C、M為頂點的三角形與△MNB相似，則有，①當(dāng)時，則有軸，如圖所示：∴點，②當(dāng)時，如圖所示：∴，∴，∴點；（3）由題意得：動點G從點D出發(fā)，先到達(dá)x軸上的點E，再走到拋物線對稱軸上的點F，最后返回到點C．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點之間線段最短可知要使點G走過的路程最短則有作點D關(guān)于x軸的對稱點H，作點C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點I，然后連接HI，分別與x軸、拋物線的對稱軸交于點E、F，此時的點E、F即為所求，HI即為動點G所走過的最短路程，如圖所示：∵OC=8，點D為CO的中點，∴OD=4，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，設(shè)直線HI的解析式為，則把點H、I坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線HI的解析式為，當(dāng)y=0時，則有，解得：，當(dāng)x=1時，則有，∴點，∴點G走過的最短路程為；（4）存在以點Q為直角頂點的等腰，理由如下：設(shè)點，則有：①當(dāng)點Q在第二象限時，存在等腰時，如圖所示：過點Q作QL⊥x軸于點L，過點C作CK⊥QL，交其延長線于點K，如圖所示，∴，∴四邊形COLK是矩形，∴CK=OL，∵等腰，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵點，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴；②當(dāng)點