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專題21二次函數(shù)與幾何圖形綜合題(與特殊三角形問題)1.(2023·四川·統(tǒng)考中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;(2)已知為拋物線上一點(diǎn),為拋物線對稱軸上一點(diǎn),以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,求出點(diǎn)的坐標(biāo);【答案】(1);(2)或或;(3),理由見解析【分析】(1)待定系數(shù)法求解析式即可;(2)先求得拋物線的對稱軸為直線,設(shè)與交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),證明,設(shè),則,,進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線解析式,求得的值,同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時的坐標(biāo);當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,求得另一個解,進(jìn)而即可求解;【詳解】(1)解:將點(diǎn),,代入得解得:,∴拋物線解析式為;(2)∵點(diǎn),,∴拋物線的對稱軸為直線:,如圖所示,設(shè)與交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)
∵以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,∴,∵,∴,∴,設(shè),則,∴,∵點(diǎn)在拋物線上∴解得:(舍去)或,∴,如圖所示,設(shè)與交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn)
∵以,,為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,且,∴,∵,∴,∴,設(shè),則,∴,∵點(diǎn)在拋物線上∴解得:(舍去)或,∴,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時,如圖所示,
∵,是等腰直角三角形,且,∴此時,綜上所述,或或;【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰直角三角形的性質(zhì),一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.2.(2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題)如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).
(1)求直線及拋物線的表達(dá)式;(2)在拋物線上是否存在點(diǎn),使得是以為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;【答案】(1)直線的解析式為;拋物線解析式為;(2)存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或;【分析】(1)根據(jù)對稱軸,,得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解析式即可;(2)先求出點(diǎn)D的坐標(biāo),再分兩種情況:①當(dāng)時,求出直線的解析式為,解方程組,即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);②當(dāng)時,求出直線的解析式為,解方程組,即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo);【詳解】(1)解:∵拋物線的對稱軸,,∴,將代入直線,得,解得,∴直線的解析式為;將代入,得,解得,∴拋物線的解析式為;(2)存在點(diǎn),∵直線的解析式為,拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn).∴當(dāng)時,,∴,①當(dāng)時,設(shè)直線的解析式為,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入,得,解得,∴直線的解析式為,解方程組,得或,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為;②當(dāng)時,設(shè)直線的解析式為,將代入,得,解得,∴直線的解析式為,解方程組,解得或,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或綜上,點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或;【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù),二次函數(shù)及圓的綜合題,掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,直角三角形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定和性質(zhì),求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo),正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.3.(2022·山東濱州)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C,連接.(1)求線段AC的長;(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn),當(dāng)時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個動點(diǎn),當(dāng)為直角三角形時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】(1)根據(jù)解析式求出A,B,C的坐標(biāo),然后用勾股定理求得AC的長;(2)求出對稱軸為x=1,設(shè)P(1,t),用t表示出PA2和PC2的長度,列出等式求解即可;(3)設(shè)點(diǎn)M(m,m2-2m-3),分情況討論,當(dāng),,分別列出等式求解即可.(1)與x軸交點(diǎn):令y=0,解得,即A(-1,0),B(3,0),與y軸交點(diǎn):令x=0,解得y=-3,即C(0,-3),∴AO=1,CO=3,∴;(2)拋物線的對稱軸為:x=1,設(shè)P(1,t),∴,,∴∴t=-1,∴P(1,-1);(3)設(shè)點(diǎn)M(m,m2-2m-3),,,,①當(dāng)時,,解得,(舍),,∴M(1,-4);②當(dāng)時,,解得,,(舍),∴M(-2,5);③當(dāng)時,,解得,,∴M或;綜上所述:滿足條件的M為或或或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題,考查了與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段求值、存在直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想,屬于中考壓軸題.4.(2023·重慶·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn),其中,.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo);(3)在(2)的條件下,將該拋物線向右平移個單位,點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn),平移后的拋物線與軸交于點(diǎn),為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn).寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo),并把求其中一個點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來.【答案】(1);(2)取得最大值為,;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或【分析】(1)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解;(2)直線的解析式為,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),設(shè),則,則,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(3)根據(jù)平移的性質(zhì)得出,對稱軸為直線,點(diǎn)向右平移5個單位得到,,勾股定理分別表示出,進(jìn)而分類討論即可求解.【詳解】(1)解:將點(diǎn),.代入得,解得:,∴拋物線解析式為:,(2)∵與軸交于點(diǎn),,當(dāng)時,解得:,∴,∵.設(shè)直線的解析式為,∴解得:∴直線的解析式為,如圖所示,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),交于點(diǎn),
設(shè),則,∴,∵,,∴,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時,取得最大值為,,∴;(3)∵拋物線將該拋物線向右平移個單位,得到,對稱軸為直線,點(diǎn)向右平移5個單位得到∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn),令,則,∴,∴∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn).則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,設(shè),∴,,當(dāng)時,,解得:或,當(dāng)時,,解得:綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題,解直角三角形,待定系數(shù)法求解析式,二次函數(shù)的平移,線段周長問題,特殊三角形問題,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5.(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題)如圖,已知拋物線與軸交于和兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn).直線過拋物線的頂點(diǎn).(1)求拋物線的函數(shù)解析式;(2)若直線與拋物線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn).①當(dāng)取得最大值時,求的值和的最大值;②當(dāng)是等腰三角形時,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1);(2)①當(dāng)時,有最大值,最大值為;②或或【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)①先求出,進(jìn)而求出直線的解析式為,則,進(jìn)一步求出,由此即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案;②設(shè)直線與x軸交于H,先證明是等腰直角三角形,得到;再分如圖3-1所示,當(dāng)時,如圖3-2所示,當(dāng)時,如圖3-3所示,當(dāng)時,三種情況利用等腰三角形的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)解:∵拋物線與軸交于和兩點(diǎn),∴拋物線對稱軸為直線,在中,當(dāng)時,,∴拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為,設(shè)拋物線解析式為,∴,∴,∴拋物線解析式為(2)解:①∵拋物線解析式為,點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn),∴,設(shè)直線的解析式為,∴,∴,∴直線的解析式為,∵直線與拋物線交于點(diǎn),與直線交于點(diǎn)∴,∴,∵,∴當(dāng)時,有最大值,最大值為;②設(shè)直線與x軸交于H,∴,,∴,∴是等腰直角三角形,∴;如圖3-1所示,當(dāng)時,過點(diǎn)C作于G,則∴點(diǎn)G為的中點(diǎn),由(2)得,∴,∴,解得或(舍去),∴;如圖3-2所示,當(dāng)時,則是等腰直角三角形,∴,即,∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為5,∴,解得或(舍去),∴如圖3-3所示,當(dāng)時,過點(diǎn)C作于G,同理可證是等腰直角三角形,∴,∴,∴,∴,解得或(舍去),∴,,∴,∴綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合,勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì)與判斷,一次函數(shù)與幾何綜合,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等等,利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.6.(2022·四川省遂寧市)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,E為△ABC邊AB上的一動點(diǎn),F(xiàn)為BC邊上的一動點(diǎn),D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),求△DEF周長的最小值;
(3)如圖2,N為射線CB上的一點(diǎn),M是拋物線上的一點(diǎn),M、N均在第一象限內(nèi),B、N位于直線AM的同側(cè),若M到x軸的距離為d,△AMN面積為2d,當(dāng)△AMN為等腰三角形時,求點(diǎn)N的坐標(biāo).【解析】解:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(0,-3).
∴1-b+c=0c=-3,
∴b=-2c=-3,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3;
(2)如圖,設(shè)D1為D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn),D2為D關(guān)于ZX直線BC的對稱點(diǎn),連接D1E,D2F,D1D2.
由對稱性可知DE=D1E,DF=D2F,△DEF的周長=D1E+EF+D2F,
∴當(dāng)D1,E.F.D2共線時,△DEF的周長最小,最小值為D1D2的長,
令y=0,則x2-2x-3=0,
解得x=-1或3,
∴B(3,0),
∴OB=OC=3,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∵BC垂直平分DD2,且D(-2,0),
∴D2(1,-3),
∵D,D1關(guān)于x軸的長,
∴D1(0,2),
∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26,
∴△DEF的周長的最小值為26.
(3)∵M(jìn)到x軸距離為d,AB=4,連接BM.
∴S△ABM=2d,
又∵S△AMN=2d,
∴S△ABM=S△AMN,
∴B,N到AM的距離相等,
∵B,N在AM的同側(cè),
∴AM∥BN,
設(shè)直線BN的解析式為y=kx+m,
則有m=-33k+m=0,
∴k=1m=-3,
∴直線BC的解析式為y=x-3,
∴設(shè)直線AM的解析式為y=x+n,
∵A(-1,0),
∴直線AM的解析式為y=x+1,
由y=x+1y=x2-2x-3,解得x=1y=0或x=4y=5,
∴M(4,5),
∵點(diǎn)N在射線BC上,
∴設(shè)N(t,t-3),
過點(diǎn)M作x軸的平行線l,過點(diǎn)N作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)P,交直線l于點(diǎn)Q.
∵A(-1,0),M(4,5),N(t,t-3),
∴AM=52,AN=(t+1)2+(t-3)2,MN=(t-4)2+(t-8)2,
∵△AMN是等腰三角形,
當(dāng)AM=AN時,52=(t+1)2+(t-3)2,
解得t=1±21,
當(dāng)AM=MN時,52=(t-4)2+(t-8)2,
解得t=6±21,
當(dāng)AN=MN時,(t+1)2+(t-3)2=(t-4)2+(t-8)7.(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的頂點(diǎn)為.直線過點(diǎn),且平行于軸,與拋物線交于兩點(diǎn)(在的右側(cè)).將拋物線沿直線翻折得到拋物線,拋物線交軸于點(diǎn),頂點(diǎn)為.
(1)當(dāng)時,求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)連接,若為直角三角形,求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(3)在(2)的條件下,若的面積為兩點(diǎn)分別在邊上運(yùn)動,且,以為一邊作正方形,連接,寫出長度的最小值,并簡要說明理由.【答案】(1);(2)或;【分析】(1)將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式,進(jìn)而得出頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)對稱性,即可求解.(2)由題意得,的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對稱,,則拋物線.進(jìn)而得出可得,①當(dāng)時,如圖1,過作軸,垂足為.求得,代入解析式得出,求得.②當(dāng)時,如圖2,過作,交的延長線于點(diǎn).同理可得,得出,代入解析式得出代入,得;③當(dāng)時,此情況不存在.【詳解】(1)∵,∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).∵,點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對稱.∴.(2)由題意得,的頂點(diǎn)與的頂點(diǎn)關(guān)于直線對稱,∴,拋物線.∴當(dāng)時,可得.①當(dāng)時,如圖1,過作軸,垂足為.∵,∴.∵∴.∴.∵,∴.∵直線軸,∴.∴.∵,∴.∴.又∵點(diǎn)在圖像上,∴.解得或.∵當(dāng)時,可得,此時重合,舍去.當(dāng)時,符合題意.將代入,得.
②當(dāng)時,如圖2,過作,交的延長線于點(diǎn).同理可得.∵,∴.∵,∴.∴.又∵點(diǎn)在圖像上,∴.解得或.∵,∴.此時符合題意.將代入,得.③當(dāng)時,此情況不存在.綜上,所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),特殊三角形問題,正方形的性質(zhì),勾股定理,面積問題,分類討論是解題的關(guān)鍵.8.(2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn).與y軸交于點(diǎn).(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D,求與的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得是以為一條直角邊的直角三角形:若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2)存在,的最大值為,;(3)或【分析】(1)將、、代入拋物線解析式求解即可;(2)可求直線的解析式為,設(shè)(),可求,從而可求,即可求解;(3)過作交拋物線的對稱軸于,過作交拋物線的對稱軸于,連接,設(shè),可求,,由,可求,進(jìn)而求出直線的解析式,即可求解.【詳解】(1)解:由題意得,解得:,拋物線的解析式為.(2)解:設(shè)直線的解析式為,則有,解得:,直線的解析式為;設(shè)(),,解得:,,,,,,,當(dāng)時,的最大值為,,.故的最大值為,.(3)解:存在,如圖,過作交拋物線的對稱軸于,過作交拋物線的對稱軸于,連接,∵拋物線的對稱軸為直線,設(shè),,,,,,解得:,;設(shè)直線的解析式為,則有,解得,直線解析式為,,且經(jīng)過,直線解析式為,當(dāng)時,,
;綜上所述:存在,的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)中動點(diǎn)最值問題,直角三角形的判定,勾股定理等,掌握解法及找出動點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.9.(2021·四川廣安市·中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于、、三點(diǎn),其中點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)坐標(biāo)為,連接、.動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),在線段上以每秒個單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動;同時,動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),在線段上以每秒1個單位長度向點(diǎn)做勻速運(yùn)動,當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動,連接,設(shè)運(yùn)動時間為秒.(1)求、的值;(2)在、運(yùn)動的過程中,當(dāng)為何值時,四邊形的面積最小,最小值為多少?(3)在線段上方的拋物線上是否存在點(diǎn),使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)b=2,c=3;(2)t=2,最小值為4;(3)(,)【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可;(2)過點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E,利用S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四邊形BCPQ的面積,求出t的范圍,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可;(3)畫出圖形,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交x軸于E,過M作y軸的垂線,與EP交于F,證明△PFM≌△QEP,得到MF=PE=t,PF=QE=4-2t,得到點(diǎn)M的坐標(biāo),再代入二次函數(shù)表達(dá)式,求出t值,即可算出M的坐標(biāo).【詳解】解:(1)∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),B(-1,0),則,解得:;(2)由(1)得:拋物線表達(dá)式為y=-x2+2x+3,C(0,3),A(3,0),∴△OAC是等腰直角三角形,由點(diǎn)P的運(yùn)動可知:AP=,過點(diǎn)P作PE⊥x軸,垂足為E,∴AE=PE==t,即E(3-t,0),又Q(-1+t,0),∴S四邊形BCPQ=S△ABC-S△APQ==∵當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動,AC=,AB=4,∴0≤t≤3,∴當(dāng)t==2時,四邊形BCPQ的面積最小,即為=4;(3)∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn),如圖,過點(diǎn)P作x軸的垂線,交x軸于E,過M作y軸的垂線,與EP交于F,∵△PMQ是等腰直角三角形,PM=PQ,∠MPQ=90°,∴∠MPF+∠QPE=90°,又∠MPF+∠PMF=90°,∴∠PMF=∠QPE,在△PFM和△QEP中,,∴△PFM≌△QEP(AAS),∴MF=PE=t,PF=QE=4-2t,∴EF=4-2t+t=4-t,又OE=3-t,∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3-2t,4-t),∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上,∴4-t=-(3-2t)2+2(3-2t)+3,解得:t=或(舍),∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合,涉及到全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),三角形面積,用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.10.(2021·江蘇中考真題)如圖,拋物線與軸交于A(-1,0),B(4,0),與軸交于點(diǎn)C.連接AC,BC,點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動.(1)求拋物線的表達(dá)式;(2)如圖①,若點(diǎn)P在第四象限,點(diǎn)Q在PA的延長線上,當(dāng)∠CAQ=∠CBA45°時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖②,若點(diǎn)P在第一象限,直線AP交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)P作軸的垂線交BC于點(diǎn)H,當(dāng)△PFH為等腰三角形時,求線段PH的長.
【答案】(1);(2)(6,-7);(3)PH=或1.5或【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法解答即可;(2)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)后先利用勾股定理的逆定理判斷∠ACB=90°,繼而可得∠ACO=∠CBA,在x軸上取點(diǎn)E(2,0),連接CE,易得△OCE是等腰直角三角形,可得∠OCE=45°,進(jìn)一步可推出∠ACE=∠CAQ,可得CE∥PQ,然后利用待定系數(shù)法分別求出直線CE與PQ的解析式,再與拋物線的解析式聯(lián)立方程組求解即可;(3)設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G,如圖,由題意可得若△PFH為等腰三角形,則△CFG也為等腰三角形,設(shè)G(0,m),求出直線AF和直線BC的解析式后,再解方程組求出點(diǎn)F的坐標(biāo),然后分三種情況求出m的值,再求出直線AP的解析式,進(jìn)而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),于是問題可求解.【詳解】解:(1)把A(-1,0),B(4,0)代入,得,解得:,∴拋物線的解析式是;(2)令x=0,則y=2,即C(0,2),∵,,AB2=25,∴,∴∠ACB=90°,∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°,∴∠ACO=∠CBA,在x軸上取點(diǎn)E(2,0),連接CE,如圖,則CE=OE=2,∴∠OCE=45°,∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ,∴CE∥PQ,∵C(0,2),E(2,0),∴直線CE的解析式為y=-x+2,設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+n,把點(diǎn)A(-1,0)代入,可得n=-1,∴直線PQ的解析式為y=-x-1,解方程組,得或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(6,-7);(3)設(shè)直線AP交y軸于點(diǎn)G,如圖,∵PH∥y軸,∴∠PHC=∠OCB,∠FPH=∠CGF,∴若△PFH為等腰三角形,則△CFG也為等腰三角形,∵C(0,2),B(4,0),∴直線BC的解析式為,設(shè)G(0,m),∵A(-1,0),∴直線AF的解析式為y=mx+m,解方程組,得,∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是,∴,當(dāng)CG=CF時,,解得:(舍去負(fù)值),此時直線AF的解析式為y=x+,解方程組,得或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,),此時點(diǎn)H的坐標(biāo)是(,),∴PH=;當(dāng)FG=FC時,,解得m=或m=(舍)或m=2(舍),此時直線AF的解析式為y=x+,解方程組,得或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,2),此時點(diǎn)H的坐標(biāo)是(3,),∴PH=2-=1.5;當(dāng)GF=GC時,,解得或m=2(舍去),此時直線AF的解析式為y=x+,解方程組,得或,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(,),此時點(diǎn)H的坐標(biāo)是(,),∴PH=;綜上,PH=或1.5或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、直線與拋物線的交點(diǎn)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識,具有相當(dāng)?shù)碾y度,熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.11.(2021·湖北中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn),頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)直接寫出拋物線的解析式;(2)如圖1,若點(diǎn)在拋物線上且滿足,求點(diǎn)的坐標(biāo);(3)如圖2,是直線上一個動點(diǎn),過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn),是直線上一個動點(diǎn),當(dāng)為等腰直角三角形時,直接寫出此時點(diǎn)及其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】(1);(2),;(3),;,;,;,;,;,.【分析】(1)由和,且D為頂點(diǎn)列方程求出a、b、c,即可求得解析式;(2)分兩種情況討論:①過點(diǎn)作,交拋物線于點(diǎn),②在下方作交于點(diǎn),交拋物線于;(3)為等腰直角三角形,分三種情況討論:當(dāng);②當(dāng);③當(dāng).【詳解】解:(1)將和代入得又∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得∴拋物線的解析式為:.(2)∵和∴直線的解析式為:∵拋物線的解析式為:,拋物線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)和點(diǎn),則C點(diǎn)坐標(biāo)為,B點(diǎn)坐標(biāo)為.①過點(diǎn)作,交拋物線于點(diǎn),則直線的解析式為,結(jié)合拋物線可知,解得:(舍),,故.②過點(diǎn)作軸平行線,過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn),由可知四邊形為正方形,∵直線的解析式為∴與軸交于點(diǎn),在下方作交于點(diǎn),交拋物線于∴又∵OC=CG,∴≌,∴,,又由可得直線的解析式為,結(jié)合拋物線可知,解得(舍),,故.綜上所述,符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為:,.(3)∵,∴直線的解析式為設(shè)M的坐標(biāo)為,則N的坐標(biāo)為∴∵,∴直線的解析式為∵為等腰直角三角形∴①當(dāng)時,如下圖所示則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得:(舍去),,∴此時,;,;②當(dāng)時,如下圖所示則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴∴解得:(舍去),,∴此時,;,;③當(dāng)時,如圖所示則Q點(diǎn)縱坐標(biāo)為∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為∴Q點(diǎn)到MN的距離=∴(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)解得:(舍去),,∴此時,;,.綜上所述,點(diǎn)及其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為:,;,;,;,;,;,.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形.該題綜合性較強(qiáng),屬于中考壓軸題.12.(2021·湖南中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中,如果一個點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,則稱該點(diǎn)為“雁點(diǎn)”.例如……都是“雁點(diǎn)”.(1)求函數(shù)圖象上的“雁點(diǎn)”坐標(biāo);(2)若拋物線上有且只有一個“雁點(diǎn)”E,該拋物線與x軸交于M、N兩點(diǎn)(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)).當(dāng)時.①求c的取值范圍;②求的度數(shù);(3)如圖,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),P是拋物線上一點(diǎn),連接,以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),構(gòu)造等腰,是否存在點(diǎn)P,使點(diǎn)C恰好為“雁點(diǎn)”?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【答案】(1)和;(2)①;②45°;(3)存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為或或【分析】(1)根據(jù)“雁點(diǎn)”的定義可得y=x,再聯(lián)立求出“雁點(diǎn)”坐標(biāo)即可;(2)根據(jù)和y=x可得,再利用根的判別式得到,再求出a的取值范圍;將點(diǎn)c代入解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo),令y=0,求出M的坐標(biāo),過E點(diǎn)向x軸作垂線,垂足為H點(diǎn),如圖所示,根據(jù)EH=MH得出為等腰直角三角形,∠EMN的度數(shù)即可求解;(3)存在,根據(jù)圖1,圖2,圖3進(jìn)行分類討論,設(shè)C(m,m),P(x,y),根據(jù)三角形全等得出邊相等的關(guān)系,再逐步求解,代入解析式得出點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】解:(1)聯(lián)立,解得或即:函數(shù)上的雁點(diǎn)坐標(biāo)為和.(2)①聯(lián)立得∵這樣的雁點(diǎn)E只有一個,即該一元二次方程有兩個相等的實(shí)根,∴∵∵∴②將代入,得解得,∴對于,令有解得∴過E點(diǎn)向x軸作垂線,垂足為H點(diǎn),EH=,MH=∴∴為等腰直角三角形,(3)存在,理由如下:如圖所示:過P作直線l垂直于x軸于點(diǎn)k,過C作CH⊥PK于點(diǎn)H設(shè)C(m,m),P(x,y)∵△CPB為等腰三角形,∴PC=PB,∠CPB=90°,∴∠KPB+∠HPC=90°,∵∠HPC+∠HCP=90°,∴∠KPB=∠HCP,∵∠H=∠PKB=90°,∴△CHP≌△PKB,∴CH=PK,HP=KB,即∴當(dāng)時,∴如圖2所示,同理可得:△KCP≌△JPB∴KP=JB,KC=JP設(shè)P(x,y),C(m,m)∴KP=x-m,KC=y-m,JB=y,JP=3-x,即解得令解得∴或如圖3所示,∵△RCP≌△TPB∴RC=TP,RP=TB設(shè)P(x,y),C(m,m)即解得令解得∴此時P與第②種情況重合綜上所述,符合題意P的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,圖形與坐標(biāo),等腰三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的綜合運(yùn)用,理解題意和正確作圖逐步求解是解題的關(guān)鍵.13.(2021·湖南中考真題)如圖所示,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且,,,拋物線的對稱軸與直線BC交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)N.(1)求拋物線的解析式;(2)若點(diǎn)P是對稱軸上的一個動點(diǎn),是否存在以P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.(3)D為CO的中點(diǎn),一個動點(diǎn)G從D點(diǎn)出發(fā),先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E,再走到拋物線對稱軸上的點(diǎn)F,最后返回到點(diǎn)C.要使動點(diǎn)G走過的路程最短,請找出點(diǎn)E、F的位置,寫出坐標(biāo),并求出最短路程.(4)點(diǎn)Q是拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn),點(diǎn)R在x軸上,是否存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,或;(3)點(diǎn),最短路程為,理由見詳解;(4)存在,當(dāng)以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰時,點(diǎn)或,理由見詳解.【分析】(1)由題意易得,然后設(shè)二次函數(shù)的解析式為,進(jìn)而代入求解即可;(2)由題意易得,要使以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似,則可分①當(dāng)時,②當(dāng)時,進(jìn)而分類求解即可;(3)由題意可得作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)H,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)I,然后連接HI,分別與x軸、拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E、F,此時的點(diǎn)E、F即為所求,HI即為動點(diǎn)G所走過的最短路程,最后求解即可;(4)由題意可分①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時,存在等腰,②當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時,存在等腰,然后利用“k型”進(jìn)行求解即可.【詳解】解:(1)∵,,,∴,設(shè)二次函數(shù)的解析式為,代入點(diǎn)C的坐標(biāo)可得:,解得:,∴二次函數(shù)的解析式為,即為;(2)存在以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似,理由如下:由(1)可得拋物線的解析式為,則有對稱軸為直線,設(shè)直線BC的解析式為,代入點(diǎn)B、C坐標(biāo)可得:,解得:,∴直線BC的解析式為,∴點(diǎn),,∴由兩點(diǎn)距離公式可得,若使以點(diǎn)P、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△MNB相似,則有,①當(dāng)時,則有軸,如圖所示:∴點(diǎn),②當(dāng)時,如圖所示:∴,∴,∴點(diǎn);(3)由題意得:動點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā),先到達(dá)x軸上的點(diǎn)E,再走到拋物線對稱軸上的點(diǎn)F,最后返回到點(diǎn)C.根據(jù)軸對稱的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短可知要使點(diǎn)G走過的路程最短則有作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)H,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)I,然后連接HI,分別與x軸、拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E、F,此時的點(diǎn)E、F即為所求,HI即為動點(diǎn)G所走過的最短路程,如圖所示:∵OC=8,點(diǎn)D為CO的中點(diǎn),∴OD=4,∴,∵拋物線的對稱軸為直線,∴,設(shè)直線HI的解析式為,則把點(diǎn)H、I坐標(biāo)代入得:,解得:,∴直線HI的解析式為,當(dāng)y=0時,則有,解得:,當(dāng)x=1時,則有,∴點(diǎn),∴點(diǎn)G走過的最短路程為;(4)存在以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰,理由如下:設(shè)點(diǎn),則有:①當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時,存在等腰時,如圖所示:過點(diǎn)Q作QL⊥x軸于點(diǎn)L,過點(diǎn)C作CK⊥QL,交其延長線于點(diǎn)K,如圖所示,∴,∴四邊形COLK是矩形,∴CK=OL,∵等腰,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∵點(diǎn),∴,解得:(不符合題意,舍去),∴;②當(dāng)點(diǎn)
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