廣東省潮州市歸湖中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省潮州市歸湖中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，則A∩B=(

)A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）參考答案：C考點：交集及其運算．專題：集合．分析：求出集合A，然后求出兩個集合的交集．解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，則A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故選：C．點評：本題考查集合的交集的求法，考查計算能力．2.集合M={x|0x2}，N={x|x2-2x-3<0}，則M和N的交集為 （

）A.{x|0x2}

B.{x|0<x<2}

C.{x|-1<x<3}

D.{x|0<x}參考答案：A3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，則（）A．

B．

C.

D．參考答案：D因為，所以因此，選D

4.下列命題中是真命題的個數(shù)是（

）（1）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行（2）與同一個平面夾角相等的兩條直線互相平行（3）平行于同一個平面的兩條直線互相平行（4）兩條直線能確定一個平面（5）垂直于同一個平面的兩個平面平行A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：A分析：逐一分析判斷每一個命題的真假.詳解：對于（1），垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，也可能異面或相交.所以是錯誤的.對于（2），與同一個平面夾角相等的兩條直線可能互相平行，也可能相交或異面，所以是錯誤的.對于（3），平行于同一個平面的兩條直線可能互相平行，也可能異面或相交，所以是錯誤的.對于（4）兩條直線能不一定確定一個平面，還有可能不能確定一個平面,所以是錯誤的.對于（5），垂直于同一個平面的兩個平面不一定平行，還有可能相交,所以是錯誤的.故答案為：A點睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的判斷，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握能力和空間想象能力.(2)判斷空間位置關(guān)系命題的真假，可以直接證明或者舉反例.5.已知f（x）=Asin（wx+θ），（w＞0），若兩個不等的實數(shù)x1，x2∈，且|x1﹣x2|min=π，則f（x）的最小正周期是(

) A．3π B．2π C．π D．參考答案：A考點：正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由題意可得?=π，求得ω的值，可得f（x）的最小正周期是的值．解答： 解：由題意可得sin（wx+θ）=的解為兩個不等的實數(shù)x1，x2，且?=π，求得ω=，故f（x）的最小正周期是=3π，故選：A．點評：本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的周期性，屬于中檔題．6.已知是空間中兩條不同的直線，為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是若，則

若，則若，則

若，則參考答案：C7.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減

B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上單調(diào)遞減

D．在區(qū)間上單調(diào)遞增參考答案：B

8.已知為虛數(shù)單位，則（

）A．5

B．

C．

D．參考答案：A9.已知拋物線y2=8x，P為其上一點，點N（5，0），點M滿足||=1，?=0，則||的最小值為（）A．B．4C．D．2參考答案：C考點：拋物線的簡單性質(zhì)．

專題：平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由||=1，?=0，可得M在以N（5，0）為圓心，1為半徑的圓上，⊥，即MN為圓的切線，由勾股定理和兩點的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值，即可得到所求最小值．解答：解：由||=1，?=0，可得M在以N（5，0）為圓心，1為半徑的圓上，⊥，即MN為圓的切線，由勾股定理可得|MP|2=|NP|2﹣|MN|2=|NP|2﹣1，要求|MP|的最小值，只要求|NP|的最小值．設(shè)P（n2，n），則|NP|==，當(dāng)n2=8即n=時，|NP|取得最小值，且為2，即有|MP|取得最小值．故選C．點評：本題考查拋物線的方程的運用，同時考查直線和圓的位置關(guān)系，以及向量的垂直和勾股定理的運用，二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．10.下列函數(shù)是在（0，1）上為減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（x+3），則f（﹣1）=．參考答案：﹣2考點：對數(shù)的運算性質(zhì)；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：根據(jù)給出的函數(shù)解析式求出f（1）的值，然后利用函數(shù)的奇偶性求f（﹣1）．解答：解：因為當(dāng)x＞0時，f（x）=log2（x+3），所以f（1）=log2（1+3）=2．又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故答案為﹣2．點評：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了函數(shù)的奇偶性，是基礎(chǔ)的運算題．12.已知為第二象限角，，則=___________；參考答案：略13.投到某報刊的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評審．若能通過至少一位初審專家的評審，則初審?fù)ㄟ^，進(jìn)入下一輪復(fù)審，否則不予錄用；通過初審專家的稿件再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為，且各專家獨立評審．則投到該報刊的篇稿件被錄用的概率為

。參考答案：14.有六名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽選拔賽，他們的編號分別是1～6號，得第一名者將參加全國數(shù)學(xué)競賽。今有甲、乙、丙、丁四位老師在猜誰將得第一名，甲猜：不是1號就是2號；乙猜：3號不可能；丙猜：4號、5號、6號都不可能；丁猜：是4號、5號、6號中的某一個。以上只有一個人猜測對，則他應(yīng)該是_____________.

參考答案：丙；15.函數(shù)在點處的切線方程為___________________________。參考答案：略16.等差數(shù)列，的前項和分別為和，若，則

．參考答案：17.設(shè)直線x﹣3y+m=0（m≠0）與雙曲線=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點A，B．若點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出A，B的坐標(biāo)，可得AB中點坐標(biāo)為（，），利用點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，可得=﹣3，從而可求雙曲線的離心率．【解答】解：雙曲線（a＞0，b＞0）的兩條漸近線方程為y=±x，則與直線x﹣3y+m=0聯(lián)立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中點坐標(biāo)為（，），∵點P（m，0）滿足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（09年宜昌一中10月月考理）（14分）對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動點。如果函數(shù)有且僅有兩個不動點和，且。（1）試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知各項不為零的數(shù)列滿足，求證：；（3）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求證：。參考答案：解析：（1）設(shè)

∴

∴

由，

又∵

∴

∴

……3分

于是

由得或；

由得或

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為和

……4分（2）由已知可得，

當(dāng)時，

兩式相減得

∴或當(dāng)時，，若，則這與矛盾∴

∴

……6分于是，待證不等式即為。為此，我們考慮證明不等式令則，再令，

由知∴當(dāng)時，單調(diào)遞增

∴

于是即

①令，

由知∴當(dāng)時，單調(diào)遞增

∴

于是即②由①、②可知

……10分所以，，即

……11分（3）由（2）可知

則

在中令，并將各式相加得

即

……14分19.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知：

即對一切恒成立（Ⅱ）函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點即方程有且只有一個實根

化簡得：方程有且只有一個實根

令，則方程有且只有一個正根(1)，不合題意；

(2)或

若，不合題意；若

(3)一個正根與一個負(fù)根，即

以上結(jié)果經(jīng)過驗證均滿足（此步?jīng)]有可不扣分）

綜上，實數(shù)的取值范圍是

20.已知，函數(shù).（I）當(dāng)為何值時，取得最大值？證明你的結(jié)論；（II）設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（III）設(shè)，當(dāng)時，恒成立，求的取值范圍.參考答案：（I）∵，∴由得則∴在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又時，且在上單調(diào)遞增∴∴有最大值，當(dāng)時取最大值.（II）由（I）知或或（III）當(dāng)時，即令（）則∴在上單調(diào)遞增，∴時∴又所以的取值范圍是.21.（14分）（2014?濟南二模）已知函數(shù)f（x）=ax++（1﹣a）lnx．（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（Ⅱ）若a≤0，討論函數(shù)求f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）=ax在（0，1）上有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，寫出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意對a分類討論；（3）由f（x）=ax得a=+1（0＜x＜1），令g（x）=+1（0＜x＜1），利用導(dǎo)數(shù)求得g（x）的極值即得結(jié)論．解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=2x+﹣lnx，f′（x）=2﹣﹣，∴f（1）=3，f′（1）=0，∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=3．（Ⅱ）f′（x）=a﹣+=

（x＞0），①當(dāng)a=0時，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；若a≠0，f′（x）==0，解得x=1或x=﹣，②當(dāng)﹣1＜a＜0時，f（x）在（0，1）和（﹣，+∞）單調(diào)遞減，在（1，﹣）單調(diào)遞增；③當(dāng)a=﹣1時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；④當(dāng)a＜﹣1時，f（x）在（0，﹣）和（1，+∞）單調(diào)遞減，在（﹣，1）單調(diào)遞增；（Ⅲ）當(dāng)f（x）=ax時，=（1﹣a）lnx=0，∴a=+1（0＜x＜1），令g（x）=+1（0＜x＜1），g′（x）==0，解得x=．∴當(dāng)x=時，g（x）有極大值1﹣e，∴實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1﹣e）．【點評】：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題及判斷函數(shù)的單調(diào)性求極值問題，考查轉(zhuǎn)化劃歸思想及分類討論思想的運用能力，屬難題．22.如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點．（Ⅰ）求證：AC⊥SD；（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，則側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．參考答案：考點：直線與平面垂直的性質(zhì)；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（Ⅰ）先證明AC⊥面SBD，然后利用線面垂直的性質(zhì)證明AC⊥SD；（Ⅱ）利用線面平行的性質(zhì)定理確定